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文档简介
第三章一元函数的导数及其应用第3讲导数与函数的极值、最值课标要求借助函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；能利用导数求某些函数的极大值、极小值以及给定闭区间上不超过三次的多项式函数的最大
值、最小值；体会导数与单调性、极值、最大
(小)值的关系.命题点五年考情命题分析预测导函数图象的应用该讲一直是高考的重点和难点.基本考法为求极值、最值，已知函数极值、最值求参数值(或范围)，难度中等；综合考法为通过研究函数的性质解决不等式、零点、极值点偏移等问题，更突出应用，难度偏大.预计2025年高考命题常规，在复习备考时，要会构造函数，进而通过研究新构造函数的性质，数形
结合解决问题.利用导数研究函数的极值2023新高考卷ⅡT11；2023新高考卷ⅡT22；2023全国卷乙T21；2022全国卷乙T16；2021全国卷乙T10；2021全国卷乙T20；2019全国卷ⅠT20利用导数研究函数的最值2022新高考卷ⅠT22；2022全国卷乙T11；2022全国卷甲T6；2021新高考卷ⅠT15；2019全国卷ⅢT20
1.函数的极值条件f
'(x0)＝0x0附近的左侧f
'(x)＞0，右侧f
'(x)
＜0x0附近的左侧f
'(x)①
0，右侧f
'(x)②
0图象
＜
＞极值f(x0)为极大值③
为极小值极值点x0为极大值点x0为④
f
(x0)
极小值点
极小值点和极大值点统称为⑤
，极小值和极大值统称为⑥
.极值点
极值
易错警示(1)极值点不是点，若函数
f
(
x
)在
x
＝
x
1时取得极大值，则
x
1为极大值点，极大值为
f
(
x
1).(2)极大值与极小值的大小没有必然关系，极小值可能比极大值大.(3)有极值的函数一定不是单调函数.(4)导数值为0的点不一定是函数的极值点.例如，
f
(
x
)＝
x
3，
f
'(0)＝0，但
x
＝0不是
极值点.2.函数的最大(小)值如果在区间[
a
，
b
]上函数
y
＝
f
(
x
)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大
值和最小值.辨析比较函数极值与最值的区别与联系极值最值区
别(1)极值是个“局部”概念，只能在定义域
内部取得；(2)在指定区间上极值可能不止
一个，也可能一个都没有.(1)最值是个“整体”概念，可以在
区间的端点处取得；(2)最值(最大值
或最小值)最多有一个.联
系(1)极值有可能成为最值，最值只要不在区间端点处必定是极值；(2)在区间[a，b]上图象是一条连续曲线的函数f(x)若有唯一的极值，则这个极值
就是最值.
1.[易错题]下列说法正确的是(
C
)A.函数的极大值比极小值大B.函数在某区间上或定义域内的极大值是唯一的C.函数的最大值不一定是极大值，极大值也不一定是最大值D.f
'(x0)＝0是x0为可导函数y＝f(x)的极值点的充分不必要条件[解析]对于A，由极大值与极小值的概念可知，函数的极大值不一定比极小值大；
对于B，函数在某区间上或定义域内如果有最大值，则最大值是唯一的，但极大值
不一定；对于C，由极大值与最大值的概念可知C正确；对于D，在函数的极值点处
f
'(
x
0)＝0，但是使
f
'(
x
0)＝0成立的
x
0未必是极值点，如当
x
0为定义域的左右端点时
f
'(
x
0)可以等于0，但此时
x
0不是极值点.C12342.设函数
f
(
x
)的定义域为R，
x
0(
x
0≠0)是
f
(
x
)的极大值点，则下列结论一定正确的
是(
D
)A.∀x∈R，
f(x)≤f(x0)B.－x0是y＝f(－x)的极小值点C.－x0是y＝－f(x)的极小值点D.－x0是y＝－f(－x)的极小值点[解析]极值是函数的一种局部性质，因此不能确定在整个定义域上
f
(
x
0)是否最
大，故A错误；因为函数
f
(
x
)与
y
＝
f
(－
x
)的图象关于
y
轴对称，所以－
x
0是
y
＝
f
(－
x
)的极大值点，故B错误；因为函数
f
(
x
)与
y
＝－
f
(
x
)的图象关于
x
轴对称，所
以
x
0是
y
＝－
f
(
x
)的极小值点，而－
x
0是否为
y
＝－
f
(
x
)的极小值点不确定，故C错
误；因为函数
f
(
x
)与
y
＝－
f
(－
x
)的图象关于原点对称，所以－
x
0是
y
＝－
f
(－
x
)
的极小值点，选项D正确.D12343.[2024辽宁省部分学校联考]函数
f
(
x
)＝(－2
x
＋4)e
x
在区间[1，＋∞)上的最大值
为
.[解析]
f
'(
x
)＝(－2
x
＋2)e
x
，当
x
∈[1，＋∞)时，
f
'(
x
)≤0，
f
(
x
)单调递减，所以
f
(
x
)max＝
f
(1)＝2e.2e12344.若函数
f
(
x
)＝
x
3－
ax
2＋2
x
－1有极值，则实数
a
的取值范围是
.
1234
命题点1
导函数图象的应用例1
(1)[浙江高考]函数
y
＝
f
(
x
)的导函数
y
＝
f
'(
x
)的图象如图所示，则函数
y
＝
f
(
x
)
的图象可能是(
D
)DABCD例1训练1例2例3训练2例4例5训练3[解析]根据题意，已知导函数的图象与
x
轴有三个交点，且每个交点的两边导函数值的符号相反，因此函数
f
(
x
)在这些零点处取得极值，根据
f
(
x
)有两个极小值和一个极大值可排除A，C；记导函数
f
'(
x
)的零点从左到右分别为
x
1，
x
2，
x
3，又在(－∞，
x
1)上
f
'(
x
)＜0，在(
x
1，
x
2)上
f
'(
x
)＞0，所以函数
f
(
x
)在(－∞，
x
1)上单调递减，在(
x
1，
x
2)上单调递增，由
x
2＞0排除B.故选D.例1训练1例2例3训练2例4例5训练3(2)[多选/2024陕西省汉中市联考]设
f
'(
x
)是函数
f
(
x
)的导函数，
y
＝
f
'(
x
)的图象如图
所示，则下列说法正确的是(
BC
)A.函数一定有三个零点B.函数一定有三个极值点C.函数有最小值D.函数图象一定经过坐标原点BC例1训练1例2例3训练2例4例5训练3[解析]易知函数
f
(
x
)在(－∞，0)，(1，2)上单调递减，在(0，1)，(2，＋∞)上单调
递增，所以函数
f
(
x
)一定有三个极值点0，1，2，B正确；函数
f
(
x
)有最小值，为
f
(0)，
f
(2)中的较小者，C正确；函数
f
(
x
)的图象可能都在
x
轴上方，其零点个数可能
是0，A错误；函数
f
(
x
)的图象不一定过原点，D错误.故选BC.例1训练1例2例3训练2例4例5训练3方法技巧根据函数图象判断极值的方法(1)由
y
＝
f
'(
x
)的图象与
x
轴的交点，可得函数
y
＝
f
(
x
)的可能极值点.(2)由
y
＝
f
'(
x
)的图象可以看出
y
＝
f
'(
x
)的值的正负，从而可得函数
y
＝
f
(
x
)的单调
性，进而求得极值(点).注意
要看清楚所给图象是原函数的图象还是导函数的图象.例1训练1例2例3训练2例4例5训练3训练1
[多选]已知函数
y
＝
f
(
x
)的导函数
y
＝
f
'(
x
)的图象如图所示，则下列结论正确
的是(
AB
)A.f(a)＜f(b)＜f(c)B.f(e)＜f(d)＜f(c)C.x＝c时，
f(x)取得最大值D.x＝d时，f(x)取得最小值AB例1训练1例2例3训练2例4例5训练3[解析]由
f
'(
x
)的图象可知，当
x
∈(－∞，
c
)∪(
e
，＋∞)时，
f
'(
x
)＞0；
当
x
∈(
c
，
e
)时，
f
'(
x
)＜0.所以
f
(
x
)在(－∞，
c
)，(
e
，＋∞)上单调递
增，在(
c
，
e
)上单调递减.对于A，因为
a
＜
b
＜
c
，所以
f
(
a
)＜
f
(
b
)＜
f
(
c
)，A正确；对于B，因为
c
＜
d
＜
e
，所以
f
(
e
)＜
f
(
d
)＜
f
(
c
)，B正确；
对于C，由单调性知
f
(
c
)为极大值，当
x
＞
e
时，可能存在
f
(
x
0)＞
f
(
c
)，C
错误；对于D，由单调性知
f
(
e
)＜
f
(
d
)，D错误.例1训练1例2例3训练2例4例5训练3命题点2
利用导数研究函数的极值角度1
求函数的极值例2
[全国卷Ⅱ]若
x
＝－2是函数
f
(
x
)＝(
x
2＋
ax
－1)e
x
－1的极值点，则
f
(
x
)的极小值
为(
A
)A.－1B.－2e－3C.5e－3D.1A例1训练1例2例3训练2例4例5训练3[解析]因为
f
(
x
)＝(
x
2＋
ax
－1)e
x
－1，所以
f
'(
x
)＝(2
x
＋
a
)e
x
－1＋(
x
2＋
ax
－1)e
x
－1＝[
x
2＋(
a
＋2)
x
＋
a
－1]e
x
－1.因为
x
＝－2是函数
f
(
x
)＝(
x
2＋
ax
－1)e
x
－1的极值点，所以－2是
x
2＋(
a
＋2)
x
＋
a
－1＝0的根，将
x
＝－2代入解得
a
＝－1，所以
f
(
x
)＝(
x
2＋
x
－2)e
x
－1＝(
x
＋2)(
x
－1)e
x
－1.令
f
'(
x
)＞0，解得
x
＜－2或
x
＞1，令
f
'(
x
)＜0，解得－2＜
x
＜1，所以
f
(
x
)在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以当
x
＝1时，
f
(
x
)取得极小值，且
f
(
x
)极小值＝
f
(1)＝－1，故选A.例1训练1例2例3训练2例4例5训练3方法技巧求可导函数
f
(
x
)的极值的步骤(1)确定函数的定义域，求导数
f
'(
x
)；(2)求方程
f
'(
x
)＝0的根；(3)判断
f
'(
x
)在方程
f
'(
x
)＝0的根附近的左右两侧的符号；(4)求出极值.例1训练1例2例3训练2例4例5训练3
A.bc＞0B.ab＞0C.b2＋8ac＞0D.ac＜0BCD例1训练1例2例3训练2例4例5训练3
例1训练1例2例3训练2例4例5训练3(2)[开放题/2023北京市第五十五中学4月调研]已知函数
f
(
x
)＝(
x
－
a
)(
x
－3)2(
a
∈R)，当
x
＝3时，
f
(
x
)有极大值.写出符合上述要求的一个
a
的值：
.
4(答案不唯
一，满足
a
＞3即可)
例1训练1例2例3训练2例4例5训练3方法技巧已知函数极值点或极值求参数的两个要领列
式根据极值以及极值点处导数为0列方程(组)，利用待定系数法求解.验
证因为f
'(x0)＝0不是x0为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验
证根的合理性.注意
若函数
y
＝
f
(
x
)在区间(
a
，
b
)上存在极值点，则
y
＝
f
(
x
)在(
a
，
b
)上不是单
调函数，即函数
y
＝
f
'(
x
)在区间(
a
，
b
)内存在变号零点.例1训练1例2例3训练2例4例5训练3
D.f(x)不存在极值AC例1训练1例2例3训练2例4例5训练3
例1训练1例2例3训练2例4例5训练3(2)已知函数
f
(
x
)＝
x
3＋
ax
2＋
bx
＋
a
2在
x
＝1处有极值10，则
a
＝
，
b
＝
.
4
－11
例1训练1例2例3训练2例4例5训练3命题点3
利用导数研究函数的最值角度1
求函数的最值例4
[2022全国卷乙]函数
f
(
x
)＝cos
x
＋(
x
＋1)sin
x
＋1在区间[0，2π]的最小值、最
大值分别为(
D
)D例1训练1例2例3训练2例4例5训练3
例1训练1例2例3训练2例4例5训练3方法技巧求函数
f
(
x
)在[
a
，
b
]上的最值的方法(1)若函数
f
(
x
)在区间[
a
，
b
]上单调递增(递减)，则
f
(
a
)为最小(大)值，
f
(
b
)为最大
(小)值；(2)若函数
f
(
x
)在区间(
a
，
b
)内有极值，则要先求出函数在(
a
，
b
)内的极值，再与
f
(
a
)，
f
(
b
)比较，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成；(3)函数
f
(
x
)在区间(
a
，
b
)上有唯一一个极值点，这个极值点就是最值点，此结论
在导数的实际应用中经常用到.例1训练1例2例3训练2例4例5训练3角度2
已知函数的最值求参数例5
[全国卷Ⅲ]已知函数
f
(
x
)＝2
x
3－
ax
2＋
b
.(1)讨论
f
(
x
)的单调性.
例1训练1例2例3训练2例4例5训练3(2)是否存在
a
，
b
，使得
f
(
x
)在区间[0，1]上的最小值为－1且最大值为1？若存
在，求出
a
，
b
的所有值；若不存在，说明理由.
例1训练1例2例3训练2例4例5训练3
例1训练1例2例3训练2例4例5训练3训练3
(1)[2021新高考卷Ⅰ]函数
f
(
x
)＝｜2
x
－1｜－2lnx
的最小值为
.[解析]函数
f
(
x
)＝｜2
x
－1｜－2lnx
的定义域为(0，＋∞).
1
例1训练1例2例3训练2例4例5训练3
例1训练1例2例3训练2例4例5训练3
1.[命题点2/多选/2022新高考卷Ⅰ]已知函数
f
(
x
)＝
x
3－
x
＋1，则(
AC
)A.f(x)有两个极值点B.f(x)有三个零点C.点(0，1)是曲线y＝f(x)的对称中心D.直线y＝2x是曲线y＝f(x)的切线AC1234
1234
12342.[命题点2/2021全国卷乙]设
a
≠0，若
x
＝
a
为函数
f
(
x
)＝
a
(
x
－
a
)2(
x
－
b
)的极大
值点，则(
D
)A.a＜bB.a＞bC.ab＜a2D.ab＞a2
(1)当
a
＞0时，
D1234
1234(2)当
a
＜0时，
综上，
a
＞0且
b
＞
a
满足题意，
a
＜0且
b
＜
a
也满足题意.据此，可知必有
ab
＞
a
2
成立.故选D.(解题技巧：分类讨论之后，需要及时整合，有利于进一步分析、求解)1234解法二(特值排除法)当
a
＝1，
b
＝2时，函数
f
(
x
)＝(
x
－1)2(
x
－2)，画出该函数
的图象如图1所示，可知
x
＝1为函数
f
(
x
)的极大值点，满足题意.从而，根据
a
＝1，
b
＝2可判断选项B，C错误.当
a
＝－1，
b
＝－2时，函数
f
(
x
)＝－(
x
＋1)2(
x
＋2)，
画出该函数的图象如图2所示，可知
x
＝－1为函数
f
(
x
)的极大值点，满足题意.从
而，根据
a
＝－1，
b
＝－2可判断选项A错误.综上，选D.图1图21234解法三(数形结合法)当
a
＞0时，根据题意画出函数
f
(
x
)的大致图象，如图3所
示，观察可知
b
＞
a
.当
a
＜0时，根据题意画出函数
f
(
x
)的大致图象，如图4所示，观察可知
a
＞
b
.综上，可知必有
ab
＞
a
2成立.故选D.图3图412343.[命题点2角度2/2022全国卷乙]已知
x
＝
x
1和
x
＝
x
2分别是函数
f
(
x
)＝2
ax
－e
x
2(
a
＞0且
a
≠1)的极小值点和极大值点.若
x
1＜
x
2，则
a
的取值范围是
.[解析]由题意，f'(
x
)＝2
ax
lna
－2e
x
，根据
f
(
x
)有极小值点
x
＝
x
1和极大值点
x
＝
x
2可知，
x
＝
x
1，
x
＝
x
2为f'(
x
)＝0的两个不同的根，又
x
1＜
x
2，所以易知当
x
∈(－∞，
x
1)，(
x
2，＋∞)时，f'(
x
)＜0；当
x
∈(
x
1，
x
2)时，f'(
x
)＞0.由f'(
x
)＝0可得
ax
lna
＝e
x
.
1234
1234
1234解法二若
a
＞1，则当
x
→＋∞时，f'(
x
)→＋∞，不符合题意，舍去.若0＜
a
＜1，令
g
(
x
)＝
ax
lna
，
h
(
x
)＝e
x
，在同一平面直角坐标系中作出函数
g
(
x
)和
h
(
x
)的大致图象，如图所示.因为f'(
x
)＝0有两个不同的根，所以
g
(
x
)与
h
(
x
)的图象需要有两个交点，则过原点且与
g
(
x
)的图象相切的直线
l
的斜率
k
＜e.1234
12344.[命题点3角度1/江苏高考]若函数
f
(
x
)＝2
x
3－
ax
2＋1(
a
∈R)在(0，＋∞)内有且只
有一个零点，则
f
(
x
)在[－1，1]上的最大值与最小值的和为
.
－3
1234
C12345678910111213142.已知函数
f
(
x
)＝2lnx
＋
ax
2－3
x
在
x
＝2处取得极小值，则
f
(
x
)的极大值为(
B
)A.2C.3＋ln2D.－2＋2ln2
B1234567891011121314
A.－1D.1
B12345678910111213144.若函数
f
(
x
)＝
x
2－(
a
＋2)
x
＋
a
lnx
既有极大值又有极小值，则实数
a
的取值范围
是(
B
)A.(－∞，2)∪(2，＋∞)B.(0，2)∪(2，＋∞)C.(2，＋∞)D.{2}
B12345678910111213145.[多选]函数
y
＝
f
(
x
)的导函数
f
'(
x
)的图象如图所示，则以下命题错误的是
(
BD
)A.x＝－3是函数y＝f(x)的极值点B.x＝－1是函数y＝f(x)的最小值点C.y＝f(x)在区间(－3，1)上单调递增D.曲线y＝f(x)在x＝0处切线的斜率小于零BD1234567891011121314[解析]根据导函数的图象可知当
x
∈(－∞，－3)时，
f
'(
x
)＜0，当
x
∈(－3，＋∞)
时，
f
'(
x
)≥0，所以函数
y
＝
f
(
x
)在(－∞，－3)上单调递减，在(－3，＋∞)上单调
递增，则
x
＝－3是函数
y
＝
f
(
x
)的极值点.因为函数
y
＝
f
(
x
)在(－3，＋∞)上单调递
增，所以
x
＝－1不是函数
y
＝
f
(
x
)的最小值点.因为函数
y
＝
f
(
x
)在
x
＝0处的导数大
于0，所以曲线
y
＝
f
(
x
)在
x
＝0处切线的斜率大于零.故选BD.12345678910111213146.[2024河南省商丘市部分学校联考]若函数
f
(
x
)＝
x
3－12
x
在区间(
a
，
a
＋4)上存在
最大值，则实数
a
的取值范围是
.
(－6，－2)
1234567891011121314
(1)若
a
＝0，则
f
'(1)＝－4，
f
(1)＝1，则曲线
y
＝
f
(
x
)在点(1，
f
(1))处的切线方程为
y
－1＝－4(
x
－1)，即4
x
＋
y
－5＝0.
1234567891011121314
(2)若函数
f
(
x
)在
x
＝－1处取得极值，求
f
(
x
)的单调区间，以及最大值和最小值.1234567891011121314
A.ln2C.1D.2B1234567891011121314
1234567891011121314
C1234567891011121314
A.(－2，0)B.(－1，1)C.(0，2)D.(－1，2)ACD1234567891011121314
所以
x
＝2为极小值点，极小值为0.1234567891011121314
对A，当
x
∈[－2，0]时，由
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