第45讲 空间角-高中数学教学资料

第七单元

立体几何第45讲

空间角课前基础巩固课堂考点探究作业手册教师备用习题能用向量方法解决简单的夹角问题,并能描述解决这一类问题的程序,体会向量方法在研究几何问题中的作用.◆

知识聚焦

◆1.异面直线所成的角

角（或夹角）（2）

范围：_______.

2.线面角

（2）直线与平面所成的角的取值范围：_

______.（3）求法：①几何法：求直线与平面所成角的关键是作出直线在平面上的射影，常用方法是寻找经过此直线并与已知平面垂直的平面，利用面面垂直的性质确定直线上一点在平面上的射影.

3.二面角

（3）

求法：

◆

对点演练

◆题组一

常识题

题组二

常错题◆

索引：二面角取值范围出错;异面直线夹角取值范围出错;线面角取值范围出错.

探究点一

异面直线所成的角

A

［思路点拨］（1）思路一：在长方体中建立空间直角坐标系，利用向量法求异面直线所成的角；思路二：在长方体中，通过补充新的长方体，结合平行关系，将异面直线转化在同一平面中，利用解三角形求异面直线所成的角.

[总结反思]（1）用几何法求异面直线所成的角时，可将异面直线通过平移转化为共面直线.（2）用向量法求异面直线所成角的步骤：①选择三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系；②确定异面直线上两个点的坐标，从而确定异面直线的方向向量；③利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值；④两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角余弦值的绝对值.

A

ABD

探究点二

直线与平面所成的角

[总结反思]（1）用几何法求线面角的三个步骤：一作（找）角，二证明，三计算.其中作（找）角是关键，先找出斜线在平面上的射影，关键是作垂线、找垂足，然后把线面角转化到三角形中求解.也可以利用等体积法直接求出直线上一点到平面的距离，使问题得到解决.（2）对于建立空间直角坐标系比较方便的几何体,我们可以通过向量法来解决；如果有特殊的几何背景,还可以通过补形等方法来解决.

B

探究点三

平面与平面的夹角

[总结反思]（1）求解二面角的大小问题，关键是要合理作出它的平面角，当找到二面角棱的一个垂面时，即可确定平面角.（2）对于建立空间直角坐标系比较简便的几何体，我们可以直接利用向量求出两个平面的法向量，并转化为求两个法向量的夹角来完成.

①

②

③

③教师备用习题【备选理由】例1考查异面直线所成的角的求法,需要学生自主画出图形,考查学生的空间想象能力,综合性较强;例2、例3为动点问题，考查空间角的求法,考查了几何转化和逻辑推理能力;例4考查多面体的体积及线面角；例5考查异面直线所成的角及二面角；例6考查求四面体的体积及与函数结合求线面角正弦值的最值，综合性较强.

A

BCD

A

作业手册◆

基础热身

◆

D

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C

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A

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D

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123456789101112131415166.[2023·丹东二模]

如图是电商平台售卖的一种木制“升斗”，底部封闭，上部开口，把该升斗看作一个正四棱台，尺寸如图所示，则该四棱台的侧棱与底面所成角的余弦值为_

___.

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12345678910111213141516◆

综合提升

◆

A

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123456789101112131415168.如图，在某市一建筑物楼顶有一顶部逐级收拢的四面钟楼，四个大钟对称分布在四棱柱的四个侧面（四棱柱看成正四棱柱，钟面圆心在棱柱侧面中心上），在整点时刻（在0点至12点中取整数点，含0点，不含12点），已知在3点时和9点时，相邻B

两钟面上的时针所在的两条直线相互垂直，则在2点时和8点时，相邻两钟面上的时针所在的两条直线所成的角的余弦值为(

)

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ABD

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ABD

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BC

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能力拓展