第八章 第3讲 圆的方程

第八章平面解析几何第3讲圆的方程

课标要求命题点五年考情命题分析预测1.探索并掌握圆的标

准方程与一般方程.求圆的方程2022全国卷乙T14；2022

全国卷甲T14；2021全国

卷甲T20本讲命题重点为求

圆的方程，与圆有

关的轨迹问题、最

值问题，题型既有

小题也有大题，难

度中等偏易.与圆有关的

轨迹问题课标要求命题点五年考情命题分析预测2.能用圆的方程解决

一些简单的数学问题

与实际问题.与圆有关

的最值问

题2023全国卷乙T11；

2023全国卷乙T12；

2021新高考卷ⅠT11在2025年高考的复习备

考中要重点掌握圆的方

程的求解方法、圆的几

何性质以及一些隐形圆

的命题.

1.圆的定义与方程规律总结

(2)以

A

(

x

1，

y

1)，

B

(

x

2，

y

2)为直径端点的圆的方程为(

x

－

x

1)(

x

－

x

2)＋(

y

－

y

1)(

y

－

y

2)＝0.2.点与圆的位置关系圆的标准方程为(

x

－

a

)2＋(

y

－

b

)2＝

r

2(

r

＞0)，圆心

C

的坐标为(

a

，

b

)，半径为

r

，设

M

的坐标为(

x

0，

y

0).

1.[2022北京高考]若直线2

x

＋

y

－1＝0是圆(

x

－

a

)2

＋

y

2＝1的一条对称轴，则

a

＝

(

A

)C.1D.－1

A123452.[2021上海高考]已知圆

x

2＋

y

2－2

x

－4

y

＝0，则该圆的圆心坐标为

⁠.

(1，2)

解法二将圆的一般方程化为标准方程得(

x

－1)2＋(

y

－2)2＝5，则圆心坐标为(1，2).123453.[易错题]半径为3，圆心的横、纵坐标相等且与两条坐标轴都相切的圆的方程

为

⁠.[解析]由题意知圆心坐标为(3，3)或(－3，－3)，故所求圆的方程为(

x

－3)2＋(

y

－3)2＝9或(

x

＋3)2＋(

y

＋3)2＝9.(

x

－3)2＋(

y

－3)2＝9或(

x

＋3)2＋(

y

＋3)2＝9

123454.若方程

x

2＋

y

2＋2

ax

＋2

ay

＋2

a

2＋

a

－1＝0表示圆，则

a

的取值范围是

⁠⁠.[解析]

解法一方程

x

2＋

y

2＋2

ax

＋2

ay

＋2

a

2＋

a

－1＝0可化为(

x

＋

a

)2＋(

y

＋

a

)2＝1－

a

，若它表示圆，则需满足1－

a

＞0，故

a

＜1.(－∞，1)

解法二要使方程

x

2＋

y

2＋2

ax

＋2

ay

＋2

a

2＋

a

－1＝0表示圆，则需满足(2

a

)2＋(2

a

)2－4(2

a

2＋

a

－1)＞0，解得

a

＜1.123455.若点(1，1)在圆

x

2＋

y

2＋

x

＋

ay

＋1＝0外，则实数

a

的取值范围为

⁠

⁠.

12345

命题点1

求圆的方程例1

(1)[2022全国卷乙]过四点(0，0)，(4，0)，(－1，1)，(4，2)中的三点的一个圆的

方程为

⁠.x

2＋

y

2－4

x

－6

y

＝0(答案不唯一)

例4训练2例1训练1例2训练3例3

例4训练2例1训练1例2训练3例3(2)[2022全国卷甲]设点

M

在直线2

x

＋

y

－1＝0上，点(3，0)和(0，1)均在☉

M

上，

则☉

M

的方程为

⁠.

(

x

－1)2＋(

y

＋1)2＝5

例4训练2例1训练1例2训练3例3

例4训练2例1训练1例2训练3例3方法技巧求圆的方程的两种方法几何法根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程.待定系

数法①若已知条件与圆心、半径有关，或与切线、弦长、弧长、圆心角、距离

等有关，则选择圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，根据条件列出

方程组，求出a，b，r的值.②选择圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，根据条件

列出方程组，进而求出D，E，F的值.例4训练2例1训练1例2训练3例3训练1

(1)已知

m

为实数，方程(

m

＋2)

x

2＋

m

2

y

2＋8

x

＋4

y

＋5

m

＝0表示圆，则实数

m

的值为

⁠.

－1

例4训练2例1训练1例2训练3例3(2)[2023郑州市一测]经过点

P

(1，1)以及圆

x

2＋

y

2－4＝0与圆

x

2＋

y

2－4

x

＋4

y

－

12＝0交点的圆的方程为

⁠.

x

2＋

y

2＋

x

－

y

－2＝0

例4训练2例1训练1例2训练3例3

例4训练2例1训练1例2训练3例3解法三设过圆

x

2＋

y

2－4＝0和圆

x

2＋

y

2－4

x

＋4

y

－12＝0的交点的圆的方程为

x

2＋

y

2－4

x

＋4

y

－12＋λ(

x

2＋

y

2－4)＝0，因为此圆经过点

P

(1，1)，所以有1＋1－4＋4－12＋λ(1＋1－4)＝0，解得λ＝－5，即所求圆的方程为

x

2＋

y

2－4

x

＋4

y

－12－5(

x

2＋

y

2－4)＝0，化简得，

x

2＋

y

2＋

x

－

y

－2＝0.例4训练2例1训练1例2训练3例3命题点2

与圆有关的轨迹问题例2

(1)若Rt△

ABC

的斜边的两端点

A

，

B

的坐标分别为(－3，0)和(7，0)，则直角顶

点

C

的轨迹方程为(

C

)A.x2＋y2＝25(y≠0)B.x2＋y2＝25C.(x－2)2＋y2＝25(y≠0)D.(x－2)2＋y2＝25C例4训练2例1训练1例2训练3例3[解析]

解法一(定义法)线段

AB

的中点为

D

(2，0)，因为△

ABC

为直角三角形，

C

为直角顶点，

所以｜

CD

｜＝｜

AD

｜＝｜

DB

｜，所以点

C

在以

D

为圆心，｜

AD

｜＝5为半径的圆上，所以点

C

的轨迹方程为(

x

－2)2＋

y

2＝25(

y

≠0).

例4训练2例1训练1例2训练3例3(2)已知线段

AB

的端点

B

的坐标为(8，6)，端点

A

在圆

C

：

x

2＋

y

2＋4

x

＝0上运动，

则线段

AB

的中点

P

的轨迹方程为

⁠.

(

x

－3)2＋(

y

－3)2＝1

例4训练2例1训练1例2训练3例3方法技巧求与圆有关的轨迹问题的几种方法1.直接法：当题目条件中含有与该点有关的等式时，可设出该点的坐标，用坐标表

示等式，直接求解轨迹方程.2.定义法：当题目条件符合圆的定义时，可直接利用定义确定其圆心和半径，写出

圆的方程.3.相关点代入法：当题目条件中已知某动点的轨迹方程，而要求的点与该动点有关

时，常找出要求的点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式求轨迹方程.例4训练2例1训练1例2训练3例3

例4训练2例1训练1例2训练3例3(2)已知点

B

(6，0)，点

A

在轨迹

C

上运动，求线段

AB

上靠近点

B

的三等分点

Q

的轨

迹方程.

例4训练2例1训练1例2训练3例3命题点3

与圆有关的最值问题角度1

几何法求最值例3

(1)[多选/2021新高考卷Ⅰ]已知点

P

在圆(

x

－5)2＋(

y

－5)2＝16上，点

A

(4，0)，

B

(0，2)，则(

ACD

)A.点P到直线AB的距离小于10B.点P到直线AB的距离大于2ACD例4训练2例1训练1例2训练3例3

例4训练2例1训练1例2训练3例3

例4训练2例1训练1例2训练3例3

例4训练2例1训练1例2训练3例3

例4训练2例1训练1例2训练3例3

例4训练2例1训练1例2训练3例3

例4训练2例1训练1例2训练3例3角度2

代数法求最值例4

(1)[2023全国卷乙]已知实数

x

，

y

满足

x

2＋

y

2－4

x

－2

y

－4＝0，则

x

－

y

的最大

值是(

C

)B.4D.7C

例4训练2例1训练1例2训练3例3

A例4训练2例1训练1例2训练3例3

例4训练2例1训练1例2训练3例3

例4训练2例1训练1例2训练3例3

例4训练2例1训练1例2训练3例32.利用代数法求最值通常会利用已知条件通过换元(如利用sin2α＋cos2α＝1)，消元，整体代入等构造函

数或利用不等式求最值.注意

到圆上一点的最值问题通常转化为到圆心的最值问题.例4训练2例1训练1例2训练3例3训练3

(1)[2024安徽太和中学模拟]已知点

P

(

t

，

t

－1)，

t

∈R，

O

是坐标原点，

Q

是

圆

C

：(

x

－3)2＋(

y

＋1)2＝1上的动点，则｜

PQ

｜－｜

PO

｜的最大值为(

C

)A.2C.3D.4C例4训练2例1训练1例2训练3例3

例4训练2例1训练1例2训练3例3

(2)[2023四省联考]若

P

，Q

分别是抛物线

x

2＝

y

与圆(

x

－3)2＋

y

2＝1上的点，则|PQ|的最小值为

⁠.[解析]由题意，知圆的圆心为

C

(3，0)，半径为1.

例4训练2例1训练1例2训练3例3

1.[命题点1]写出一个截两坐标轴所得的弦长相等且半径为1的圆的标准方程：

⁠

⁠.

12342.[向量法判断点与圆的位置关系/2024北京市陈经纶中学模拟]已知

A

，

B

(异于坐标

原点)是圆(

x

－2)2＋(

y

－1)2＝5与坐标轴的两个交点，则下列点中，在圆内的是

(

D

)A.M(0，0)D1234

1234

[解析]易知直线

l

1恒过点

M

(3，1)，直线

l

2恒过点

1234

12344.[命题点3/2023绵阳市二诊]已知☉

C

：(

x

－1)2＋(

y

－1)2＝3，点

A

为直线

l

：

y

＝

－1上的动点，过点

A

作直线与☉

C

相切于点

P

，若

Q

(－2，0)，则|AP|＋|AQ|的最小值为(

C

)D.4

C1234

1234

1.设

a

∈R，则“

a

＞2”是“方程

x

2＋

y

2＋

ax

－2

y

＋2＝0表示圆”的(

A

)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件[解析]若方程

x

2＋

y

2＋

ax

－2

y

＋2＝0表示圆，则有

a

2＋4－8＞0，解得

a

＞2或

a

＜－2，又“

a

＞2”是“

a

＞2或

a

＜－2”的充分不必要条件，所以“

a

＞2”是

“方程

x

2＋

y

2＋

ax

－2

y

＋2＝0表示圆”的充分不必要条件.故选A.A123456789101112131415162.[2024山西太原师范学院附属中学模拟]圆心在

x

轴上，且过点(－1，－3)的圆与

y

轴相切，则该圆的方程是(

C

)A.x2＋y2＋10y＝0B.x2＋y2－10y＝0C.x2＋y2＋10x＝0D.x2＋y2－10x＝0

C123456789101112131415163.[北京高考]已知半径为1的圆经过点(3，4)，则其圆心到原点的距离的最小值为

(

A

)A.4B.5C.6D.7

A123456789101112131415164.[2024广东茂名检测]已知圆

C

：(

x

－1)2＋(

y

－1)2＝1，

M

是圆上的动点，

AM

与

圆相切，且｜

AM

｜＝2，则点

A

的轨迹方程是(

B

)A.y2＝4xB.x2＋y2－2x－2y－3＝0C.x2＋y2－2y－3＝0D.y2＝－4x

B12345678910111213141516

A.[－3，1]B.[－1，1]C.[－1，3]D.[1，3]

C123456789101112131415166.[多选/2024山东潍坊调研]已知△

ABC

的三个顶点为

A

(－1，2)，

B

(2，1)，

C

(3，

4)，则下列关于△

ABC

的外接圆

M

的说法正确的是(

ABD

)A.圆M的圆心坐标为(1，3)C.圆M关于直线x＋y＝0对称D.点(2，3)在圆M内ABD12345678910111213141516

123456789101112131415167.已知点

P

(2，1)在圆

C

：

x

2＋

y

2＋

ax

－2

y

＋

b

＝0上，点

P

关于直线

x

＋

y

－1＝0

的对称点也在圆

C

上，则圆

C

的半径为

⁠.

2

123456789101112131415168.[2023河北唐山模拟]已知圆

C

与圆

C

1：(

x

－1)2＋

y

2＝1关于直线

y

＝－

x

对称，则

圆

C

的标准方程为

⁠.

x

2＋(

y

＋1)2＝1

123456789101112131415169.[2024衡水联考]已知点

A

(0，2)，点

P

在直线

x

＋

y

＋2＝0上，点

Q

在圆

C

：

x

2＋

y

2－4

x

－2

y

＝0上，则｜

PA

｜＋｜

PQ

｜的最小值是

⁠.

1234567891011121314151610.[2024山东模拟]若

P

(

x

，

y

)是圆

O

：

x

2＋

y

2＝1上任意一点，则｜3

x

－4

y

＋8｜

的取值范围是

.(用区间表示)

[3，13]

1234567891011121314151611.已知

M

为圆

C

：

x

2＋

y

2－4

x

－14

y

＋45＝0上任意一点，且点

Q

(－2，3).(1)若

P

(

a

，

a

＋1)在圆

C

上，求线段

PQ

的长及直线

PQ

的斜率；

12345678910111213141516

(2)求｜

MQ

｜的最大值和最小值.12345678910111213141516

12.[2023江苏南京模拟]在平面直角坐标系

xOy

中，已知点

P

(－3，0)在圆

C

：

x

2＋

y

2＋2

mx

－4

y

＋

m

2－12＝0内，动直线

AB

过点

P

且交圆

C

于

A

，

B

两点，若△

ABC

的面积的最大值为8，则实数

m

的取值范围是(

A

)B.[1，5]A12345678910111213141516

1234567891011121314151613.[多选/