第44讲 空间向量及其运算和空间位置关系

第七单元

立体几何第44讲

空间向量及其运算和空间位置关系课前基础巩固课堂考点探究作业手册教师备用习题1.了解空间向量的概念,了解空间向量基本定理及其意义,掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示.4.了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义.5.能够借助空间向量解决向量的共线、共面问题，以及平行垂直问题.◆

知识聚焦

◆1.空间向量及其有关概念名称语言描述共线向量（平行向量）表示若干空间向量的有向线段所在的直线___________________共面向量平行于______________的向量共线向量定理互相平行或重合

平行同一个平面

名称语言描述共面向量定理空间向量基本定理

1续表2.两个向量的数量积

3.空间向量投影①

投影向量

②③

4.向量的坐标运算向量和向量差数量积共线垂直

距离公式夹角公式

续表5.空间位置关系的向量表示

（3）空间位置关系的向量表示位置关系向量表示

◆

对点演练

◆题组一

常识题

1

10

题组二

常错题◆

索引：忽略向量共线与共面的区别;使用向量的数量积公式出错;忽视向量夹角与其余弦值的对应关系.

④

探究点一

空间向量的线性运算

ABC

［思路点拨］

根据空间向量的线性运算,利用三角形法则和平行四边形法则表示即可.

[总结反思]在向量的线性运算中，有以下几个关键点:（1）结合图形，以图形为指导是解题的关键,明确图形中各棱（线段）的几何关系;（2）正确运用向量加法、减法与数乘运算的几何意义;（3）平面向量的三角形法则、平行四边形法则在空间向量中仍然成立.

D

探究点二

共线、共面向量定理的应用

D

［思路点拨］（1）利用共面向量定理即可得出结论.

［思路点拨］（2）利用共线向量的性质即可得出结论.

探究点三

空间向量数量积及应用

BA.7

B.9

C.11

D.13

A

[总结反思]空间向量数量积的3个应用求夹角求长度（距离）解决垂直问题

探究点四

利用空间向量证明平行与垂直

［思路点拨］（3）证明两个平面的法向量垂直即可.[总结反思]（1）利用向量证明平行问题①线线平行:方向向量平行.②线面平行:平面外直线的方向向量与平面的法向量垂直.③面面平行:两平面的法向量平行.（2）利用向量法证垂直问题的类型及常用方法线线垂直问题证明两直线的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零线面垂直问题直线的方向向量与平面的法向量共线，或利用线面垂直的判定定理转化为证明线线垂直面面垂直问题两个平面的法向量垂直，或利用面面垂直的判定定理转化为证明线面垂直

教师备用习题【备选理由】例1考查了空间向量的线性运算;例2考查了空间向量数量积的运算,利用空间向量求异面直线所成角的余弦值;例3考查了共面向量定理的应用;例4考查利用空间向量证明平行与垂直.

B

求证：

作业手册◆

基础热身

◆

BA.3

B.4

C.5

D.6

12345678910111213141516

AA.平行或直线在平面内

B.不能确定C.相交但不垂直

D.垂直

123456789101112131415163.以下四组向量中在同一平面的是(

)

B

12345678910111213141516

12345678910111213141516

B

12345678910111213141516

ABC

12345678910111213141516

12345678910111213141516

12345678910111213141516

12345678910111213141516◆

综合提升

◆

C

12345678910111213141516

B

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12345678910111213141516

D

12345678910111213141516

12345678910111213141516

BD

12345678910111213141516

12345678910111213141516

ACD

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12345678910111213141516

12345678910111213141516

12345678910111213141516

12345678910111213141516

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12345678910111213141516

12345678910111213141516

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