随机过程：随机变量的数字特征

随机信号分析第一章概率与随机变量本章学习的主要内容★随机变量及其分布★随机变量的数字特征★随机变量的函数★随机变量的特征函数★大数定理及中心极限定理1.4随机变量的数字特征★数学期望★方差★协方差和相关系数★矩和协方差矩阵1.5随机变量的函数★一维随机变量函数的分析★二维随机变量函数的分析★随机变量函数的数字特征1.6随机变量的特征函数★特征函数的定义★特征函数的性质1.7大数定律及中心极限定理★大数定律的物理意义★中心极限定理的物理意义本堂课的作业★第23页习题1.13随机变量的数学期望★离散型随机变量的数学期望设离散随机变量X的分布律为：

P{X=xk}=pkk=1,2,…

若级数绝对收敛，则定义X的数学期望为

数学期望表示统计平均运算，常记作mX。随机变量的数学期望★连续型随机变量的数学期望对于连续型随机变量X，若它的概率密度为f(x)，并且积分绝对收敛，则定义X的数学期望为随机变量的数学期望★数学期望的性质1、设X为一随机变量，C为常数，则有

E[CX]=C·E[X]2、设X，Y为任意二随机变量，则有

E[X+Y]=E[X]+E[Y]3、设X，Y为相互独立的随机变量，则有

E[X·Y]=E[X]·E[Y]随机变量的方差★方差的定义对于随机变量X，定义下式

D[X]=E[(X-mx)2]

为X的方差，其中mx=E[X]★方差的计算

D[X]=E[(X-mx)2]=E[X2-2mxX+mx2]=E[X2]-mx2

随机变量的方差★方差的性质1、设C为常数，则有D[C]=02、设X为随机变量，C为常数，则有

D[CX]=C2D[X]3、设X，Y为相互独立的随机变量，则有

D[X+Y]=D[X]+D[Y]

协方差和相关系数★协方差对于任意二随机变量X和Y，定义下式

cov[X，Y]=E[(X-mx)(Y-my)]

为随机变量X和Y的协方差。★相关系数定义下式

为随机变量X和Y的相关系数。矩和协方差矩阵★矩对于任意二随机变量X和Y，如果

E[Xk]，k=1,2,…

存在，定义它为X的k阶原点矩；如果

E[(X-mX)k]，k=1,2,…

存在，定义它为X的k阶中心矩；如果

E[Xk

Yl]，k,l=1,2,…

存在，定义它为X和Y的k+l阶混合矩；如果

E[(X-mX)k(Y-my)l]，k,l=1,2,…

存在，定义它为X和Y的k+l阶中心混合矩。矩和协方差矩阵★协方差矩阵二维随机变量(X1,X2)有四个二阶中心矩，分别记为

K11＝E[(X1-mX1)2]

K12＝

E[(X1-mX1)(X2-mX2)]

K21＝

E[(X2-mX2)(X1-mX1)]

K22＝E[(X2-mX2)2]

将它们排成矩阵的形式：

K11

K12

K21

K22

则该矩阵称为(X1,X2)的协方差矩阵。一维随机变量函数的分析★单调变换函数的单值变换设随机变量X和Y存在单调函数关系Y=g(X)，并且存在反函数X=h(Y)。这时，如果X位于(x,x+dx)的很小区间内，则Y必位于(y,y+dy)的对应区间内。于是，这两个事件的概率应该相等，即有fY(y)dy=fX(x)dx

或fY(y)=fX(x)dx/dy一维随机变量函数的分析★单调变换函数的单值变换(续)由于概率密度不能为负值，因此dx/dy应取绝对值，故可得

fY(y)=|dx/dy|·

fX

[h(y)]=|h’(y)|

·

fX

[h(y)]一维随机变量函数的分析★单调变换函数的单值变换(续)[例]设随机变量Y和X之间是线性关系，即有Y=aX+b。已知X服从参数a和σ的正态分布，求Y的概率密度。[解]由给的线性关系可知X=h(Y)=(Y-b)/a，由此可得|h’(y)|=1/|a|，根据fY(y)=|h’(y)|·

fX

[h(y)]，一维随机变量函数的分析★非单调变换函数的多值变换设X=h(Y)为双值函数关系，即一个Y值对应两个X值。当Y位于(y,y+dy)的区间内时，对应两种可能性，即X位于(x1,x1+dx1)和(x2,x2+dx2)区间内。这时应有

fY(y)dy=fX(x1)dx1＋fX(x2)dx2

将x1用h1(y)，x2用h2(y)表示，则有一维随机变量函数的分析★非单调变换函数的多值变换(续)[例]设随机变量Y和X之间的关系为

Y=sinX-π≤X≤π

已知随机变量X为均匀分布，其概率密度为求随机变量Y的概率密度。一维随机变量函数的分析★非单调变换函数的多值变换(续)[解]函数Y=sinX中一个Y值对应两个X值，且有

x1=sin-1y，x2=π-sin-1y

根据多值变换的公式，可得

二维随机变量函数的分析★单值变换情况下的分析设有二维随机变量(X1,X2)，其概率密度为fX(x1,x2)；它与二维随机变量(Y1,Y2)的关系为

由此来确定二维随机变量(Y1,Y2)的概率密度。二维随机变量函数的分析★单值变换情况下的分析（续）由于二维变换比一维变换更为复杂，所以我们只考虑g1和g2是单值变换的情况，即从(1.5.1)式中解出的反变换(1.5.2)式的解是唯一的。

当一维随机变量X和Y为单值变换时，有fX(x)dx=fY(y)dy。将其推广到二维变换的情况下去。二维随机变量函数的分析★单值变换情况下的分析（续）在二维变换的情况下，当二维随机变量(X1,X2)和(Y1,Y2)为单值变换时，对应地有

fX(x1,x2)dx1dx2=fY(y1,y2)dy1dy2

取dSX=dx1dx2，dSy=dy1dy2，则有

fX(x1,x2)dSX

=fY(y1,y2)dSy

(1.5.3)(1.5.3)式表明，在X域内随机点(X1,X2)落入dSX的概率等于Y域内随机点(Y1,Y2)落入dSy的概率。二维随机变量函数的分析★单值变换情况下的分析（续）在单值变换中，dSX和dSy一一对应，因此二维随机变量(Y1,Y2)的概率密度为：在坐标转换中dSX和dSy之间的变换称为雅可比变换。并有如下的关系：

dSX＝J

·dSyJ为雅可比行列式二维随机变量函数的分析★单值变换情况下的分析（续）在二维变换中，雅可比行列式为下式

因此可得：fY(y1,y2)=|J|·

fX(x1,x2)

=|J|·

fX[h1(y1,y2),h2(y1,y2)]

随机变量函数的数字特征★随机变量函数的数学期望设随机变量X和Y存在函数关系Y=g(X)，fX(x)和fY(y)分别为X和Y的概率密度，则随机变量Y的数学期望为假定g(·)是单调函数，则有，代入上式，可得随机变量函数的数字特征★随机变量函数的方差与数学期望的推导一样，一维随机变量X的函数g(X)的方差可由下式表示，即

式中Y=g(X)，mY=E[Y]，fX(x)是X的概率密度。特征函数的定义★随机变量的特征函数随机变量X的特征函数定义为式中fX(x)是X的概率密度，μ为实数。由定义可知：1、特征函数CX(μ)是随机变量X的函数ejμX的数学期望；2、随机变量X的CX(μ)是概率密度函数f(x)的傅立叶变换对偶。特征函数的性质★特征函数的性质1、若CX(μ)是随机变量X的特征函数，则Y=CX（C为常数）的特征函数为

CY(μ)=CX(Cμ)

2、若Y=aX+b（a,b均为常数），则

CY(μ)=ejbμ

CX(aμ)

3、相互独立的随机变量和的特征函数等于各变量的特征函数的乘积。大数定律的物理意义★大数定律（切比雪夫定理）设相互独立的随机变量X1，X2，…，Xn有数学期望和方差，并且方差是一致有上界的，则X1,X2,…,Xn的算术平均值，当n→∞时，按概率收敛于它们的数学期望的算术平均值。作为特例，有如下推论：设相互独立的随机变量X1，X2，…，Xn服从同一分布，并且有数学期望a和方差σ2，则X1,X2,…,Xn的算术平均值，当n→∞时，按概率收敛于数学期望a。大数定律的物理意义★大数定律的物理意义设测量某一物理量a，在条件不变的情况重复测量n次，这些测量结果可看作是n个相互独立的随机变量X1，X2，…，Xn的试验数值，并且有同一数学期望