随机过程：第一章 概率与随机变量

随机过程例题：一个私人牙科诊所很受欢迎，病人络绎不绝。来看的有三种病，一名医生每天上午和下午分别工作3.5小时，都是早8点挂的号，上午和下午分别挂多少号最适合？病名概率治疗时间平均时间A

1/2

20分钟

10分钟B

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30分钟

10分钟C

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90分钟

15分钟问题分析随机过程理论的应用几乎遍及所有科学技术领域、工农业生产和国民经济的各个部门。

气象，水文，地震预报。

化学反应的时变率研究。

生物学医学关于种姓消亡，基因的变异与重组，动植物群落的空间分布，传染病流行，癌症的发生等问题的

物理学领域关于布朗运动，热噪声，发射噪声，原子的分裂，放射性的衰变等问题的研究。研究。

服务系统的研究，如电话通信，船舶装卸，机器维修，病人候诊，存货控制，水库调度，购物排队，红绿灯

经济学领域关于价格波动，商业循环，最优决策，

通信与控制问题的研究，如信号的接收、声音与图像的再现，运动目标的自动跟踪，导航系统的设计，工业生产过程中的控制系统的设计等.稳定增长，人口控制及预测等问题的研究.随机过程理论是描述广泛存在的波动问题（振动、噪声、各种偶发因素的干扰）的最基本，也是最成熟的数学转换.语言。本课程学习的主要内容★随机过程的基本概念★随机过程的统计特性描述★随机信号通过线性系统的分析方法★通信电子系统常见的窄带、正态随机信号★离散随机信号分析★马尔可夫过程和泊松过程学习本课程所需的基础知识一、数学基础课程★《高等数学》★《概率论》★《线性代数》二、专业基础课程★《电路分析基础》★《信号与线性系统》本课程选用的教材书名：《随机过程》作者：何选森出版：人民邮电出版社概率与随机变量第一章概率论知识的回顾与补充本章学习的主要内容★随机变量及其分布★随机变量的数字特征★随机变量的函数★随机变量的特征函数★大数定理及中心极限定理1.1概率★概率论的常见术语★概率与概率空间★条件概率★统计独立性★全概率公式和贝叶斯公式1.2随机变量及其分布★随机变量的定义★离散型随机变量的概率分布★随机变量的分布函数★概率密度1.3二维随机变量及其分布★二维随机变量的定义★二维离散型随机变量的概率分布★二维随机变量的分布函数★二维概率密度★条件分布本堂课的作业★第23页习题1.61.7概率论的常见术语★随机试验如果试验具有以下三个条件，即：1、在相同条件下可重复进行；2、每次试验结果不只一个，所有可能结果能事先明确；3、每次试验之前不能确定出现哪一结果；则该试验称为随机试验，用字母E表示。概率论的常见术语★随机事件在随机试验中，对一次试验可能出现也可能不出现，而在大量重复试验中却具有某种规律性的事情，称为随机事件。★基本事件随机试验中最简单的随机事件。概率论的常见术语★样本空间随机试验E

中所有基本事件组成的集合叫做该随机试验的样本空间，用字母S

表示。概率论的常见术语★必然事件随机试验中，必然会发生的事情，称为必然事件。它对应整个样本空间S。★不可能事件随机试验中不可能发生的事件。它对应一个空集，记作Φ。概率论的常见术语★事件之间的关系与运算设随机试验E的样本空间为S，A和B是E的事件，则有如下关系和运算：1、若事件A发生必然导致B发生，则称事件B包含事件A，记为2、事件A与事件B至少有一个发生，该事件叫做A与B的和，记为3、事件A与事件B同时发生，该事件叫做A和B的积，记为概率论的常见术语★事件之间的关系与运算4、事件A发生而事件B不发生，该事件称为A与B的差，记为5、事件A与事件B不能同时发生，即

，则A与B为不相容事件；如果，，则称A与B互逆，也叫对立事件，记为或。概率与概率空间★概率的定义概率反映事件发生可能性的大小，设试验E的样本空间为S，对于E的每一事件A赋予一实数P(A)，如果它满足下列条件，就称为事件A的概率。1、对于每一事件A有；

2、P(S)=1;

3、对于两两互不相容的事件Ak(k=1,2,…)，有概率与概率空间★概率的性质1、设为A的对立事件，则有；

2、;

3、设A，B为两事件，则有4、设A，B为两事件，若，则有。条件概率★条件概率的定义设A，B为试验E的两个事件，在事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概率，记为。★概率的乘法定理两个事件乘积的概率等于其中一个事件的概率乘以另一事件在此事件发生的条件下的条件概率，即统计独立性★两事件的统计独立性设A，B为试验E的两个事件，若满足，则称A，B为统计独立的事件。★三事件的统计独立性设A，B，C为三事件，若满足等式和则称A，B，C为相互独立的事件。全概率公式和贝叶斯公式★全概率公式设S为试验E的样本空间，B1，B2，…，Bn为E的一组事件，若满足

则称B1，B2，…，Bn为S的一个划分。反之，若B1，B2，…，Bn是S的一个划分，则作一次试验E，事件B1，B2，…，Bn

中必有一个且仅有一个发生。设A为E的事件，B1，B2，…，Bn为S的一个划分，则全概率公式为全概率公式和贝叶斯公式★贝叶斯公式设S为试验E的样本空间，B1，B2，…，Bn为S的一个划分，对于任一事件A，由条件概率的定义有

将全概率公式代入上式，则得上式称为贝叶斯公式。全概率公式和贝叶斯公式★全概率公式和贝叶斯公式的应用场合全概率公式用于在许多情况(B1，B2，…，Bn)下都可能发生事件A，求发生A的全概率；贝叶斯公式则用于当A已经发生的情况下，求发生事件A的各种可能原因的条件概率。随机变量的定义★随机变量设随机试验E的样本空间S＝｛e}，如果对于每一个e∈S，有一个实数X(e)和它对应，这样就得到一个定义在S上的单值实函数X(e)，称X(e)为随机变量，一般简记为X。离散型随机变量的概率分布★分布律设离散型随机变量X的所有可能取值为xk

(k=1,2,…)，其概率为：

P{X=xk}=pkk=1,2,…

则称上式为离散型随机变量X的概率分布或分布律，并可用如下的表格来表示：

Xx1x2

…

xn

…pkp1p2

…

pn

…离散型随机变量的概率分布★(0-1)分布设离散型随机变量X只可能取0和1两个值，其概率分布为：

P{X=1}=pP{X=0}=1-p(0<p<1)

则称X服从(0-1)分布。离散型随机变量的概率分布★二项式分布设随机试验E只有两个可能的结果A及，且有,，将E独立地重复n次，则称该试验为贝努利试验。现在分析贝努利试验中，事件A发生m(0≤m≤n)次的概率。已知在n次试验中，事件A发生m次的情况可能出现个，而出现每个情况的概率都是，所以事件A发生m次的概率为离散型随机变量的概率分布★二项式分布(续）令X表示贝努利试验中事件A发生的次数，则X为一随机变量，它的可能取值为0,1,…,n，且有：显然有由于恰好是二项式展开式的第m+1项，故称为二项式分布。离散型随机变量的概率分布★泊松分布设随机变量X的可能取值为0,1,…而各个值的概率为：式中λ＞0为常数，则称X服从泊松分布，且有

随机变量的分布函数★分布函数的定义设X为一随机变量，x为任意实数，函数

F(x)=P{X≤x}

称为随机变量X的分布函数。对于任意实数x1，x2(x1<x2)，有

P{x1<X≤x2}=P{X≤x2}-P{X≤x1}=F(x2)-F(x1)随机变量的分布函数★分布函数的性质1、F(x)为一不减函数，即有

F(x2)-F(x1)

=P{X≤x2}-P{X≤x1}≥0(x1<x2)2、0≤F(x)≤1

F(－∞)＝0

F(＋∞)＝1随机变量的分布函数★分布函数的例题[例1.2.1]试求(0-1)分布的分布函数。[例1.2.2]一靶子是半径为2米的圆盘，设击中靶上任一同心圆盘的概率与该圆盘的面积成正比，射击都能中靶。以X表示弹着点与圆心的距离，试求X的分布函数。随机变量的概率密度★概率密度的定义设连续型随机变量X的分布函数F(x)连续可微，则定义F(x)的导数为X的概率分布密度，简称为概率密度，记为

f(x)=F’(x)。随机变量的概率密度★概率密度的性质1、2、3、4、若F(x)在x处连续，则有F’(x)=f(x)。随机变量的概率密度★均匀分布设连续型随机变量X在有限区间(a,b)内取值，且其概率密度为则称X在区间(a,b)内服从均匀分布。随机变量的概率密度★正态分布设连续型随机变量X的概率密度为其中a，σ为常数，则称X服从参数a和σ的正态或高斯分布，记为N(a,σ2)。二维随机变量的定义★二维随机变量设随机试验E的样本空间S＝｛e}，X=X(e)和Y=Y(e)是定义在S上的随机变量，由它们构成的向量(X,Y)叫做二维随机向量或二维随机变量。二维离散型随机变量的概率分布★联合分布律设二维离散型随机变量(X,Y)的所有可能取值为(xi,yj)

(i,j=1,2,…)，其对应的概率为：

P{X=xi,Y=yj}=piji,j=1,2,…

则称上式为二维离散型随机变量(X,Y)的概率分布或分布律，或称为X和Y的联合分布律。二维随机变量的分布函数★二维分布函数的定义设(X,Y)为二维随机变量，对于任意实数x，y的二元函数

F(x，y)=P{X≤x,Y≤y}

称为(X,Y)的分布函数或称为X和Y的联合分布函数。二维随机变量的分布函数★二维分布函数的性质1、F(x,y)为一不减函数，即对固定的y，当x2≥x1时，F(x2,y)≥F(x1,y)

;对固定的x，当y2≥y1时，F(x,y2)≥F(x,y1)

。2、0≤F(x，y)≤1

，且有

F(－∞,y)

＝0F(x,－∞)

＝0

F(－∞,－∞)＝0F(＋∞,＋∞)＝1二维随机变量的分布函数★二维分布函数的性质（续）3、F(x,＋∞)

=FX(x)F(＋∞,y)

=FY(y)4、对于任意(x1，y1)和(x2，y2)

，其中x1<y1，x2<y2，则有：

P{x1<X≤x2;y1<Y≤y2}=F(x2,y2)-F(x2,y1)-F(x1,y2)+F(x1,y1)≥0边缘分布函数二维随机变量的概率密度★二维概率密度的定义设连续型随机变量(X,Y)的分布函数F(x,y