第14讲 函数模型及其应用

第二单元

函数第14讲

函数模型及其应用课前基础巩固课堂考点探究作业手册教师备用习题1.理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具，在实际情境中,会选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律.2.结合现实情境中的具体问题,利用计算工具,比较对数函数、一元一次函数、指数函数增长速度的差异,理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义.3.收集、阅读一些现实生活、生产实际或者经济领域中的数学模型,体会人们是如何借助函数刻画实际问题的,感悟数学模型中参数的现实意义.◆

知识聚焦

◆1.三种函数模型的性质的比较函数性质单调_______单调_______单调_______增长速度越来越快越来越慢相对平稳递增递增递增2.常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数模型二次函数模型反比例函数模型指数函数模型对数函数模型幂函数模型◆

对点演练

◆题组一

常识题

题组二

常错题

探究点一

用函数图象刻画变化过程

D

AabcA.①

B.①②

C.①③

D.①②③

［思路点拨］（2）蓄水量增加,说明进水速度大于出水速度,蓄水量减少,说明出水速度大于进水速度,再结合具体数据进行分析即可.[总结反思]判断函数图象与实际问题变化过程是否相吻合时：首先要关注横轴与纵轴所表达的变量的实际意义;其次根据实际问题中两变量的变化快慢等特点,结合图象变化趋势,验证是否吻合,从中排除不符合实际的情况,选出符合实际的答案.

C&1&

2

&3&

&4&

ABCD[解析]

刚开始交易时，即时价格和平均价格应该相等，故A，D错误；开始交易后，平均价格应该跟随即时价格变动，即时价格与平均价格同增同减，故B错误.故选C.探究点二

已知函数模型解决实际问题

B

［思路点拨］（1）根据已知条件列方程，化简求得正确答案.

AC

[总结反思]用已知函数解决实际问题,解题时要理解题目给出的变量的实际意义,然后建立数学模型,合理地运用函数的基本性质解决问题.

探究点三

构建函数模型解决实际问题角度1

构建二次函数模型

（1）

求年产量为多少吨时，总成本最低，并求最低成本.

［思路点拨］（1）根据总成本的表达式，利用二次函数的性质求得总成本的最小值并求得此时对应的年产量；（2）

若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润?最大利润是多少?

［思路点拨］（2）利用求得的总利润的表达式，再根据二次函数的性质求得最大利润以及此时对应的年产量.[总结反思]在建立二次函数模型解决实际问题中的最优问题时,一定要注意自变量的取值范围,即函数的定义域,解决函数应用问题时,最后还要还原到实际问题中.角度2

构建指对数函数模型

CA.2026

B.2028

C.2029

D.2032

D

[总结反思]除了常见的增长率问题外，其他与指数函数、对数函数有关的实际问题，其模型都比较难以构建，所以对这类问题的考查一般都会给出相应的函数模型（一般含有参数），可以根据条件确定参数的值，从而明确函数模型，再进行相应问题的解答.

C

（2）

小明在调查某网店每月的销售额时，得到了下列一组数据：23456…1.402.565.311121.30…现用下列函数模型中的一个近似地模拟这些数据的规律，其中最接近的一个是(

)

B

角度3

构建分段函数模型

[总结反思]（1）某些实际问题中的变量关系不能用同一个关系式给出,而是由几个不同的关系式构成,所以应建立分段函数模型;（2）构建分段函数时,要力求准确、简捷、合理、不重不漏;（3）分段函数的最大值（或最小值）是各段函数最大值（或最小值）中的最大值（或最小值）.

教师备用习题【备选理由】

以下例题均围绕二次函数模型、指数函数模型、对数函数模型、分段函数模型展开,配合相关例题作为教学辅助之用.

类别项目年固定成本每件产品成本每件产品销售价每年最多可生产的件数201020040818120

（2）

该企业如何投资才可获得最大年利润？

（2）

当该公司生产多少台产品时，可获得的利润最大？最大利润是多少？

BA.64个月

B.40个月

C.52个月

D.48个月

作业手册◆

基础热身

◆1.我国西北某地长期土地沙漠化严重，近几年通过各种方法防沙治沙效果显著，两年间沙地面积从500公顷下降为320公顷，则这两年的平均下降率为(

)

D

12345678910111213

D&5&

&8&

[解析]

游泳池原有一定量的水，故函数图象不过原点，排除A，C；再过一段时间打开排水阀排水，故函数值有一段时间不变，排除B.故选D.12345678910111213ABC

D

DA.1.2万元

B.2.8万元

C.1.6万元

D.1.4万元12345678910111213

12345678910111213

BA.276年

B.552年

C.414年

D.483年

12345678910111213

B

12345678910111213

123456789101112136.某超市在“五一”活动期间推出如下线上购物优惠方案：一次性购物在99元以内（含99元），不享受优惠；一次性购物在99元以上（不含99元），299元以内（含299元），一律享受九折优惠；一次性购物在299元以上（不含299元），一律享受八折优惠.小敏和小昭在该超市购物，分别挑选了原价为70元和280元的商品，如果两人把商品合并由小昭一次性付款，并把合并支付比他们分别支付节省的钱按照两人购买商品原价的比例分配，则小敏需要给小昭______元.61.612345678910111213

12345678910111213◆

综合提升

◆

BA.200

B.400

C.600

D.800

12345678910111213

B

12345678910111213

12345678910111213

12345678910111213A.当打车距离为8千米时，乘客选择乙方案省钱B.当打车距离为10千米时，乘客选择甲、乙方案均可C.当打车距离为3千米以上时，甲方案每千米增加的费用比乙方案多D.甲方案中，当打车距离在3千米内（含3千米）付费5元，当打车距离大于3千米时，每增加1千米费用增加0.7元√√12345678910111213

12345678910111213

2.5

12345678910111213

12345678910111213

12345678910111213

12345678910111213◆

能力拓展

◆

01234585.0079.0073.6068.7464.3760.43

12345678910111213

B

123