苏科版2024-2025学年度八年级（上）第1章全等三角形单元基础训练含答案

第1页（共1页）苏科版2024-2025学年度八年级（上）第1章全等三角形单元基础训练一、选择题（共8小题，每小题2分，满分16分）1．（2分）下列图形中不是轴对称图形的是（）A． B． C． D．2．（2分）在△ABC和△A′B′C′中，AB＝A′B′，∠B＝∠B′，补充条件后，仍不一定能保证△ABC≌△A′B′C′，这个补充条件是（）A．BC＝B′C′ B．∠A＝∠A′ C．AC＝A′C′ D．∠C＝∠C′3．（2分）如图，AC＝AD，BC＝BD，则有（）A．CD垂直平分AB B．AB垂直平分CD C．AB与CD互相垂直平分 D．CD平分∠ACB4．（2分）到三角形三个顶点距离相等的是（）A．三边高线的交点 B．三条中线的交点 C．三条垂直平分线的交点 D．三条内角平分线的交点5．（2分）如图，如果直线是多边形的对称轴，其中∠A＝130°，∠B＝110°，那么∠BCD的度数等于（）A．60° B．50° C．40° D．70°6．（2分）将一张菱形纸片，按图（1）、（2）的方式沿虚线依次对折后．再沿图（3）中的虚线裁剪得到图（4），最后将图（4）中的纸片打开铺平，所得图案应该是（）A． B． C． D．7．（2分）∠AOB的平分线上一点P到OA的距离为5，Q是OB上任一点，则（）A．PQ＞5 B．PQ≥5 C．PQ＜5 D．PQ≤58．（2分）四边形ABCD中，∠BAD＝130°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使三角形AMN周长最小时，则∠AMN+∠ANM的度数为（）A．80° B．90° C．100° D．130°二、填空题（3分×10＝30分）9．（3分）角是轴对称图形，是它的对称轴．10．（3分）下面有五个图形，与其它图形不同的是第个．11．（3分）一个三角形的三边为2、7、x，另一个三角形的三边为y、2、6，若这两个三角形全等，则x+y＝．12．（3分）如图，AC＝BD，要使△ABC≌△DCB，只要添加一个条件．13．（3分）如图，△ABC中，BC＝10，边BC的垂直平分线分别交AB、BC于点E、D，BE＝6．则△BCE的周长是．14．（3分）如图，将一张矩形纸片ABCD沿EF折叠，使顶点C，D分别落在点C′，D′处，C′E交AF于点G，若∠CEF＝70°，则∠GFD′＝°．15．（3分）如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝6，DE＝2，则△BCE的面积等于．16．（3分）如图的3×3的正方形网格中，△ABC的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，在网格中与△ABC关于某直线成轴对称的格点三角形共有m个，则m＝．17．（3分）如图△ABC，AB＝AC＝24厘米，∠B＝∠C，BC＝16厘米，点D为AB的中点．点P在线段BC上以4厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．若点Q的运动速度为v厘米/秒，则当△BPD与△CQP全等时，v的值为厘米/秒．18．（3分）已知：如图所示，直线MA∥NB，∠MAB与∠NBA的平分线交于点C，过点C作一条直线l与两条直线MA、NB分别相交于点D、E．若AB＝10，AD＝4，则BE＝．三、解答题（54分）19．（7分）尺规作图：（不写作法，保留作图痕迹）．（1）如图1，已知：点A和直线l．求作：点A′，使点A′和点A关于直线l对称．（2）某学校正在进行校园环境的改造工程设计，准备在校内一块四边形花坛内栽上一棵桂花树．如图2，要求：①桂花树的位置（视为点P），到花坛的两边AB、BC的距离相等；②点P到点A、D的距离也相等．请用尺规作图作出栽种桂花树的位置点P．20．（6分）小明发现：若将4棵树栽于正方形的四个顶点上，如图①所示，则恰好构成一个轴对称图形．你还能找到其他两种栽树的方法，也使其组成一个轴对称图形吗？请分别在图②、③中表示出来．如果栽5棵，又如何呢？请在图④中表示出来．21．（7分）如图，点B、F、C、E在一条直线上，FB＝CE，AC＝DF，请从下列三个条件：①AB＝DE；②∠A＝∠D；③∠ACB＝∠DFE中选择一个合适的条件，使AB∥ED成立，并给出证明．（1）选择的条件是（填序号）；（2）证明：22．（6分）如图，D是∠MAN内部一点，点B是射线AM上一点，DE⊥AM于E，DF⊥AN于F，且DE＝DF，连接AD．（1）求证：AD平分∠MAN；（可不用全等）（2）在射线AN上取一点C，使得DC＝DB，若AB＝6，BE＝2，则AC长为．23．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E是BC边上的点，连接AD、AE，以△ADE的边AE所在直线为对称轴作△ADE的轴对称图形△AD′E，连接D′C，若BD＝CD′．（1）求证：△ABD≌△ACD′；（2）若∠BAC＝120°，求∠DAE的度数．24．（10分）（1）观察推理：如图1，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线l过点C，点A、B在直线l同侧，BD⊥l，AE⊥l，垂足分别为D、E．求证：△AEC≌△CDB；（2）类比探究：如图2，如图，AB⊥MN，垂足为O，点P在射线OA上，点C在射线ON上，DP⊥PC且DP＝PC，过点D作DE⊥OM于点E，则的值为．（直接写答案）（3）拓展提升：如图3，边长为4cm正方形ABCD中，点E在DC上，且DE＝1cm，动点F从点B沿射线BC以1cm/s速度向右运动，连接EF，将线段EF绕点E逆时针旋转90°得到线段EH．要使点H恰好落在射线AD上，求点F运动的时间ts．25．（10分）问题背景：如图1：在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝60°．探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G．使DG＝BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是；探索延伸：如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；实际应用：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进，1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离．

参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题2分，满分16分）1．（2分）下列图形中不是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【分析】根据轴对称图形的概念求解．【解答】解：根据轴对称图形的概念可知：A，B，D是轴对称图形，C不是轴对称图形，故选：C．【点评】本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．2．（2分）在△ABC和△A′B′C′中，AB＝A′B′，∠B＝∠B′，补充条件后，仍不一定能保证△ABC≌△A′B′C′，这个补充条件是（）A．BC＝B′C′ B．∠A＝∠A′ C．AC＝A′C′ D．∠C＝∠C′【分析】全等三角形的判定可用两边夹一角，两角夹一边，三边相等等进行判定，做题时要按判定全等的方法逐个验证．【解答】解：A中两边夹一角，满足条件；B中两角夹一边，也可证全等；C中∠B并不是两条边的夹角，C不对；D中两角及其中一角的对边对应相等，所以D也正确，故选：C．【点评】本题考查了全等三角形的判定；熟练掌握全等三角形的判定，要认真确定各对应关系．3．（2分）如图，AC＝AD，BC＝BD，则有（）A．CD垂直平分AB B．AB垂直平分CD C．AB与CD互相垂直平分 D．CD平分∠ACB【分析】先根据题意得出AB是线段CD的垂直平分线，由线段垂直平分线的性质即可得出结论．【解答】解：∵AC＝AD，BC＝BD，∴AB是线段CD的垂直平分线．故选：B．【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键．4．（2分）到三角形三个顶点距离相等的是（）A．三边高线的交点 B．三条中线的交点 C．三条垂直平分线的交点 D．三条内角平分线的交点【分析】根据题意得出到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形三边垂直平分线的交点，画出图形后根据线段垂直平分线定理得出PA＝PC，PC＝PB，推出PA＝PC＝PB即可．【解答】解：到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形三边垂直平分线的交点，理由是：∵P在AB的垂直平分线EF上，∴PA＝PB，∵P在AC的垂直平分线MN上，∴PA＝PC，∴PA＝PC＝PB，即P是到三角形三个顶点的距离相等的点．故选：C．【点评】本题考查了线段垂直平分线定理，注意：线段垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等，而三角形三个角平分线的交点到三角形三边的距离相等．5．（2分）如图，如果直线是多边形的对称轴，其中∠A＝130°，∠B＝110°，那么∠BCD的度数等于（）A．60° B．50° C．40° D．70°【分析】根据轴对称图形的特点，且直线m把多边形ABCDE分成二个四边形，再根据四边形的内角和是360°，通过计算便可解决问题．【解答】解：把AE与直线m的交点记作F，∵在四边形ABCF中，∠A＝130°，∠B＝110°，且直线m是多边形的对称轴；∴∠BCD＝2∠BCF＝2×（360°﹣130°﹣110°﹣90°）＝60°．故选：A．【点评】此题考查了轴对称图形和四边形的内角和，关键是根据轴对称图形的特点解答．6．（2分）将一张菱形纸片，按图（1）、（2）的方式沿虚线依次对折后．再沿图（3）中的虚线裁剪得到图（4），最后将图（4）中的纸片打开铺平，所得图案应该是（）A． B． C． D．【分析】对于此类问题，学生只要亲自动手操作，答案就会很直观地呈现．【解答】解：严格按照图中的顺序，向右对折，向上对折，从斜边处剪去一个直角三角形，从直角顶点处剪去一个等腰直角三角形，展开后实际是从原菱形的四边处各剪去一个直角三角形，从菱形的中心剪去一个和菱形位置基本一致的正方形，得到结论．故选：A．【点评】本题主要考查了剪纸问题，培养了学生的动手能力及空间想象能力．7．（2分）∠AOB的平分线上一点P到OA的距离为5，Q是OB上任一点，则（）A．PQ＞5 B．PQ≥5 C．PQ＜5 D．PQ≤5【分析】直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，和角平分线的性质计算．【解答】解：∠AOB的平分线上一点P到OA的距离为5则P到OB的距离为5因为Q是OB上任一点，则PQ≥5故选：B．【点评】本题主要考查平分线的性质，还利用了“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短”．8．（2分）四边形ABCD中，∠BAD＝130°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使三角形AMN周长最小时，则∠AMN+∠ANM的度数为（）A．80° B．90° C．100° D．130°【分析】延长AB到A′使得BA′＝AB，延长AD到A″使得DA″＝AD，连接A′A″与BC、CD分别交于点M、N，此时△AMN周长最小，推出∠AMN+∠ANM＝2（∠A′+∠A″）即可解决．【解答】解：延长AB到A′使得BA′＝AB，延长AD到A″使得DA″＝AD，连接A′A″与BC、CD分别交于点M、N．∵∠ABC＝∠ADC＝90°，∴A、A′关于BC对称，A、A″关于CD对称，此时△AMN的周长最小，∵BA＝BA′，MB⊥AB，∴MA＝MA′，同理：NA＝NA″，∴∠A′＝∠MAB，∠A″＝∠NAD，∵∠AMN＝∠A′+∠MAB＝2∠A′，∠ANM＝∠A″+∠NAD＝2∠A″，∴∠AMN+∠ANM＝2（∠A′+∠A″），∵∠BAD＝130°，∴∠A′+∠A″＝180°﹣∠BAD＝50°∴∠AMN+∠ANM＝2×50°＝100°．故选：C．【点评】本题考查对称的性质、线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理等知识，利用对称作辅助线是解决最短的关键．二、填空题（3分×10＝30分）9．（3分）角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴．【分析】根据角的对称性解答．【解答】解：角的对称轴是“角平分线所在的直线”．故答案为：角平分线所在的直线．【点评】本题考查了角的对称轴，需要注意轴对称图形的对称轴是直线，此题容易说成是“角平分线”而导致出错．10．（3分）下面有五个图形，与其它图形不同的是第③个．【分析】根据轴对称图形的概念求解．【解答】解：第①②④⑤个图形是轴对称图形，第③个不是．故答案为：③．【点评】本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．11．（3分）一个三角形的三边为2、7、x，另一个三角形的三边为y、2、6，若这两个三角形全等，则x+y＝13．【分析】根据全等三角形对应边相等求出x、y，然后相加计算即可得解．【解答】解：∵两个三角形全等，∴x＝6，y＝7，∴x+y＝7+6＝13．故答案为：13【点评】本题考查全等三角形的性质，熟记全等三角形对应边相等是解题的关键．12．（3分）如图，AC＝BD，要使△ABC≌△DCB，只要添加一个条件AB＝DC．【分析】根据全等三角形的判定定理SSS，进行解答即可．【解答】解：∵AC＝BD，BC＝CB，AB＝CD，∴△ABC≌△DCB．故答案为AB＝CD．【点评】本题主要考查全等三角形的判定定理，关键在于熟练掌握全等三角形的判定定理．13．（3分）如图，△ABC中，BC＝10，边BC的垂直平分线分别交AB、BC于点E、D，BE＝6．则△BCE的周长是22．【分析】由已知条件，根据线段垂直平分线的性质得到线段相等，由△BCE的周长＝EC+BE+BC得到答案．【解答】解：因为边BC的垂直平分线分别交AB、BC于点E、D，所以EC＝BE＝6．又因为BC＝10，所以△BCE的周长是EC+BE+BC＝6+6+10＝22．故填22．【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质；由于已知三角形的两条边长，根据垂直平分线的性质，求出另一条的长，相加即可．14．（3分）如图，将一张矩形纸片ABCD沿EF折叠，使顶点C，D分别落在点C′，D′处，C′E交AF于点G，若∠CEF＝70°，则∠GFD′＝40°．【分析】根据两直线平行，内错角相等求出∠EFG，再根据平角的定义求出∠EFD，然后根据折叠的性质可得∠EFD′＝∠EFD，再根据图形，∠GFD′＝∠EFD′﹣∠EFG，代入数据计算即可得解．【解答】解：矩形纸片ABCD中，AD∥BC，∵∠CEF＝70°，∴∠EFG＝∠CEF＝70°，∴∠EFD＝180°﹣70°＝110°，根据折叠的性质，∠EFD′＝∠EFD＝110°，∴∠GFD′＝∠EFD′﹣∠EFG，＝110°﹣70°，＝40°．故答案为：40．【点评】本题考查了平行线的性质，以及折叠变换，根据两直线平行，内错角相等求出∠EFG是解题的关键，另外，根据折叠前后的两个角相等也很重要．15．（3分）如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝6，DE＝2，则△BCE的面积等于6．【分析】作EF⊥BC于F，根据角平分线的性质求得EF＝DE＝2，然后根据三角形面积公式求得即可．【解答】解：作EF⊥BC于F，∵BE平分∠ABC，EF⊥BC，ED⊥AB，∴EF＝DE＝2，∴△BCE的面积＝×BC×EF＝6．故答案为：6．【点评】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．16．（3分）如图的3×3的正方形网格中，△ABC的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，在网格中与△ABC关于某直线成轴对称的格点三角形共有m个，则m＝5．【分析】根据题意画出图形，找出对称轴及相应的三角形即可．【解答】解：如图所示，格点三角形共有5个，故答案为5．【点评】本题考查的是轴对称图形，根据题意作出图形是解答此题的关键．17．（3分）如图△ABC，AB＝AC＝24厘米，∠B＝∠C，BC＝16厘米，点D为AB的中点．点P在线段BC上以4厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．若点Q的运动速度为v厘米/秒，则当△BPD与△CQP全等时，v的值为4或6厘米/秒．【分析】此题要分两种情况：①当BD＝PC时，△BPD与△CQP全等，计算出BP的长，进而可得运动时间，然后再求v；②当BD＝CQ时，△BDP≌△QCP，计算出BP的长，进而可得运动时间，然后再求v．【解答】解：当BD＝PC时，△BPD与△CQP全等，∵点D为AB的中点，∴BD＝AB＝12cm，∵BD＝PC，∴BP＝16﹣12＝4（cm），∵点P在线段BC上以4厘米/秒的速度由B点向C点运动，∴运动时间时1s，∵△DBP≌△PCQ，∴BP＝CQ＝4cm，∴v＝4÷1＝4厘米/秒；当BD＝CQ时，△BDP≌△QCP，∵BD＝12cm，PB＝PC，∴QC＝12cm，∵BC＝16cm，∴BP＝4cm，∴运动时间为4÷2＝2（s），∴v＝12÷2＝6厘米/秒．故答案为：4或6．【点评】此题主要考查了全等三角形的判定，关键是要分情况讨论，不要漏解，掌握全等三角形的判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．18．（3分）已知：如图所示，直线MA∥NB，∠MAB与∠NBA的平分线交于点C，过点C作一条直线l与两条直线MA、NB分别相交于点D、E．若AB＝10，AD＝4，则BE＝6．【分析】在线段AB上截取AF＝AD，连接FC，只要证明△ADC≌△AFC（SAS），△CBF≌△CBE（AAS）即可解决问题．【解答】解：如图中，在线段AB上截取AF＝AD，连接FC．∵AC，BC分别平分∠MAB，∠NBA，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，在△ADC和△AFC中，∵，∴△ADC≌△AFC（SAS），∴∠ADC＝∠AFC，∵MA∥NB，∴∠ADC+∠6＝180°，又∵∠5+∠AFC＝180°，∴∠5＝∠6．在△CBF和△CBE中，，∴△CBF≌△CBE（AAS），∴BF＝BE，∵AF+BF＝AB，∴AD+BE＝AB，∵AB＝10，AD＝4，∴BE＝6，故答案为：6．【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定、角平分线的定义等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．三、解答题（54分）19．（7分）尺规作图：（不写作法，保留作图痕迹）．（1）如图1，已知：点A和直线l．求作：点A′，使点A′和点A关于直线l对称．（2）某学校正在进行校园环境的改造工程设计，准备在校内一块四边形花坛内栽上一棵桂花树．如图2，要求：①桂花树的位置（视为点P），到花坛的两边AB、BC的距离相等；②点P到点A、D的距离也相等．请用尺规作图作出栽种桂花树的位置点P．【分析】（1）作AO⊥l，截取OA′＝OA即可、（2）作∠ABC的角平分线BM，作线段AD的垂直平分线EF交BM于点P，点P即为所求．【解答】解：（1）点A关于直线l的对称点A′如图所示，（2）桂花树的位置（点P）如图所示，【点评】本题考查轴对称变换、角平分线的性质、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本作图，属于中考常考题型．20．（6分）小明发现：若将4棵树栽于正方形的四个顶点上，如图①所示，则恰好构成一个轴对称图形．你还能找到其他两种栽树的方法，也使其组成一个轴对称图形吗？请分别在图②、③中表示出来．如果栽5棵，又如何呢？请在图④中表示出来．【分析】根据轴对称的性质设计出图形即可．【解答】解：如图所示．【点评】本题考查的是利用轴对称设计图案，熟知轴对称的性质是解答此题的关键．21．（7分）如图，点B、F、C、E在一条直线上，FB＝CE，AC＝DF，请从下列三个条件：①AB＝DE；②∠A＝∠D；③∠ACB＝∠DFE中选择一个合适的条件，使AB∥ED成立，并给出证明．（1）选择的条件是①（填序号）；（2）证明：【分析】（1）利用全等三角形的判定定理选出合适的条件即可；（2）利用SSS进而判断出全等三角形，得出AB∥ED即可．【解答】解：（1）选择①AB＝ED或③∠ACB＝∠DFE即可．故答案为：①（答案不唯一）；（2）证明：∵FB＝CE，∴BC＝EF，在△ABC和△EFD中，∴△ABC≌△EFD（SSS），∴∠B＝∠E，∴AB∥ED．【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及平行线的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题关键．22．（6分）如图，D是∠MAN内部一点，点B是射线AM上一点，DE⊥AM于E，DF⊥AN于F，且DE＝DF，连接AD．（1）求证：AD平分∠MAN；（可不用全等）（2）在射线AN上取一点C，使得DC＝DB，若AB＝6，BE＝2，则AC长为6或10．【分析】（1）根据角平分线的性质即可得到结论；（2）分两种情况：当点C在线段AF上，Rt△DEB≌Rt△DFC，CF＝BE；当点C在线段AF的延长线上时，Rt△DEB≌Rt△DFC，可得到CF＝BE．【解答】（1）证明：∵D是∠MAN内部一点，DE⊥AM于E，DF⊥AN于F，且DE＝DF，∴AD平分∠MAN；（2）解：分两种情况：①如图1，当点C在线段AF上时，∵DE⊥AM于E，DF⊥AN于F，∴∠DEB＝∠DFC＝90°，在Rt△DEB和Rt△DFC中，，∴Rt△DEB≌Rt△DFC，∴CF＝BE＝2，∴AC＝AB＝6，②如图2，当点C在线段AF的延长线上时，同理可证Rt△DEB≌Rt△DFC，∴CF＝BE＝2，∵AF＝AE＝AB+BE＝8，∴AC＝8+2＝10．故答案为：6或10．【点评】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，全面思考问题，分类讨论是解答的关键．23．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E是BC边上的点，连接AD、AE，以△ADE的边AE所在直线为对称轴作△ADE的轴对称图形△AD′E，连接D′C，若BD＝CD′．（1）求证：△ABD≌△ACD′；（2）若∠BAC＝120°，求∠DAE的度数．【分析】（1）根据对称得出AD＝AD′，根据SSS证△ABD≌△ACD′即可；（2）根据全等得出∠BAD＝∠CAD′，求出∠BAC＝∠DAD′，根据对称得出∠DAE＝∠DAD′，代入求出即可．【解答】（1）证明：∵以△ADE的边AE所在直线为对称轴作△ADE的轴对称图形△AD′E，∴AD＝AD′，∵在△ABD和△ACD′中，∴△ABD≌△ACD′；（2）解：∵△ABD≌△ACD′，∴∠BAD＝∠CAD′，∴∠BAC＝∠DAD′＝120°，∵以△ADE的边AE所在直线为对称轴作△ADE的轴对称图形△AD′E，∴∠DAE＝∠D′AE＝∠DAD′＝60°，即∠DAE＝60°．【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定、对称的性质的应用，主要考查学生的推理能力，题型较好，难度适中．24．（10分）（1）观察推理：如图1，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线l过点C，点A、B在直线l同侧，BD⊥l，AE⊥l，垂足分别为D、E．求证：△AEC≌△CDB；（2）类比探究：如图2，如图，AB⊥MN，垂足为O，点P在射线OA上，点C在射线ON上，DP⊥PC且DP＝PC，过点D作DE⊥OM于点E，则的值为1．（直接写答案）（3）拓展提升：如图3，边长为4cm正方形ABCD中，点E在DC上，且DE＝1cm，动点F从点B沿射线BC以1cm/s速度向右运动，连接EF，将线段EF绕点E逆时针旋转90°得到线段EH．要使点H恰好落在射线AD上，求点F运动的时间ts．【分析】（1）先证明∠A＝∠BCD，根据AAS证△AEC≌△CDB即可；（2）作DG⊥AB于G，证出四边形DEOG是矩形，得出DE＝OG，同（1）得：△PDG≌△CPO，得出PG＝OC，即可得出所求的值；（3）同（1）得：△CEF≌△DHE，得出CF＝DE＝1cm，求出BF＝BC+CF＝5cm，即可得出t的值．【解答】（1）证明：∵BD⊥l，AE⊥l，∴∠BDC＝∠CEA＝90°，∴∠A+∠ACE＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠BCD+∠ACE＝90°，∴∠A＝∠BCD，在△AEC和△CDB中，，∴△AEC≌△CDB（AAS）．（2）解：作DG⊥AB于G，如图2所示：∵DE⊥OM，AB⊥MN，DG⊥AB，∴四边形DEOG是矩形，∴DE＝OG，同（1）得：△PDG≌△CPO，∴PG＝OC，∴＝＝＝1，故答案为：1；（3）解：如图3所示：同（1）得：△CEF≌△DHE，∴CF＝DE＝1cm，∵BC＝4cm，∴BF＝BC+CF＝5cm，∴t＝5，即点F运动的时间为5s．【点评】本题是四边形综合题目，考查了矩形的判定与性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等是解决问题的关键．25．（10分）问题背景：如