弹性力学优化算法：蚁群算法(ACO)在弹性力学中的路径优化问题

弹性力学优化算法：蚁群算法(ACO)在弹性力学中的路径优化问题1弹性力学与优化算法的关联在工程领域，弹性力学是研究物体在外力作用下变形和应力分布的学科。优化算法，尤其是启发式算法，如蚁群算法(ACO)，在解决弹性力学中的复杂问题时展现出独特的优势。这些算法能够处理非线性、多变量和多约束条件的优化问题，为结构设计、材料选择和应力分析提供高效解决方案。1.1弹性力学中的优化需求弹性力学问题往往涉及寻找最优结构设计或材料配置，以最小化成本、重量或应力，同时满足强度、刚度和稳定性等约束条件。传统方法如解析法或数值法在处理这类问题时可能受限于计算复杂度或局部最优解。优化算法，尤其是蚁群算法，通过模拟自然界中蚂蚁寻找最短路径的行为，为解决这类问题提供了新的思路。1.2蚁群算法在弹性力学中的应用蚁群算法(ACO)是一种基于群体智能的优化算法，最初由MarcoDorigo在1992年提出，用于解决旅行商问题(TSP)。在弹性力学中，ACO可以应用于结构优化、路径规划和材料选择等问题。例如，在结构优化中，ACO可以用来寻找最优的梁截面尺寸或钢筋配置，以达到结构的轻量化和成本节约。1.2.1示例：使用蚁群算法优化梁的截面尺寸假设我们有一座桥梁，需要优化其梁的截面尺寸以最小化材料成本，同时确保梁的强度和刚度满足设计要求。我们可以将梁的截面尺寸作为优化变量，强度和刚度作为约束条件，使用蚁群算法来寻找最优解。1.2.1.1数据样例梁的长度：10米材料成本函数：Cx=100强度约束：Fx刚度约束：Kx1.2.1.2代码示例importnumpyasnp

importrandom

#定义材料成本函数

defcost_function(x):

return100*x**2+50*x+1000

#定义强度和刚度约束函数

defstrength_constraint(x):

return10000-(x**3-5*x**2+10*x)

defstiffness_constraint(x):

return50000-(x**4-10*x**3+20*x**2)

#蚁群算法参数

n_ants=50

n_iterations=100

alpha=1.0#信息素重要性

beta=3.0#启发信息重要性

rho=0.5#信息素挥发率

Q=100#信息素总量

#初始化信息素矩阵和蚂蚁位置

pheromone=np.ones((100,))*0.1

ants_position=np.random.uniform(0.1,10.0,size=(n_ants,))

#蚁群算法主循环

for_inrange(n_iterations):

#计算每只蚂蚁的路径成本

costs=[cost_function(ant)forantinants_position]

#更新信息素

foriinrange(len(ants_position)):

ifstrength_constraint(ants_position[i])>=0andstiffness_constraint(ants_position[i])>=0:

pheromone[i]+=Q/costs[i]

pheromone[i]*=(1-rho)

#蚂蚁选择路径

foriinrange(n_ants):

#计算选择概率

probabilities=[((pheromone[j]**alpha)*((1.0/cost_function(j))**beta))forjinrange(100)]

probabilities=np.array(probabilities)/sum(probabilities)

#选择新的位置

ants_position[i]=np.random.choice(range(100),p=probabilities)

#找到最优解

optimal_position=ants_position[np.argmin([cost_function(ant)forantinants_position])]

print("最优截面尺寸：",optimal_position)

print("最低材料成本：",cost_function(optimal_position))1.2.2解释上述代码示例展示了如何使用蚁群算法来优化梁的截面尺寸。首先，我们定义了材料成本函数、强度和刚度约束函数。然后，初始化了蚁群算法的参数，包括蚂蚁数量、迭代次数、信息素重要性、启发信息重要性和信息素挥发率。在算法的主循环中，我们计算了每只蚂蚁的路径成本，更新了信息素矩阵，并根据信息素和路径成本重新选择了蚂蚁的位置。最后，我们找到了最优的截面尺寸和对应的最低材料成本。2蚁群算法(ACO)简介蚁群算法(ACO)是一种模拟蚂蚁寻找食物路径行为的优化算法。在自然界中，蚂蚁通过释放信息素来引导其他蚂蚁找到食物源，信息素的浓度反映了路径的优劣。ACO算法通过模拟这一过程，使用人工蚂蚁在解空间中寻找最优路径，适用于解决组合优化问题，如旅行商问题(TSP)、图着色问题和网络路由问题等。2.1ACO算法的基本步骤初始化：设置算法参数，包括蚂蚁数量、迭代次数、信息素重要性、启发信息重要性和信息素挥发率。初始化信息素矩阵。构建解：每只蚂蚁从起点开始，根据信息素浓度和启发信息选择下一个节点，直到构建完整路径。评估解：计算每只蚂蚁构建的路径成本。更新信息素：根据路径成本更新信息素矩阵，路径成本越低，信息素增加越多。信息素挥发：信息素矩阵中的信息素会随时间挥发，模拟自然界中信息素的消失。重复迭代：重复步骤2至5，直到达到预设的迭代次数或找到满意解。2.2ACO算法的特点并行性：ACO算法可以并行执行，每只蚂蚁独立构建解，提高了算法的效率。正反馈机制：路径成本越低，信息素增加越多，从而吸引更多的蚂蚁选择该路径，形成正反馈机制。鲁棒性：ACO算法对初始解不敏感，能够处理动态变化的优化问题。全局优化能力：通过信息素的更新和挥发，ACO算法能够避免陷入局部最优解，具有较强的全局优化能力。2.3ACO算法的应用领域除了弹性力学，蚁群算法还广泛应用于物流、通信网络、生产调度、图像处理和机器学习等领域。在物流中，ACO可以用于优化配送路径；在通信网络中，ACO可以用于寻找最优的路由路径；在生产调度中，ACO可以用于优化生产计划；在图像处理中，ACO可以用于图像分割和特征选择；在机器学习中，ACO可以用于特征选择和参数优化。通过上述介绍和示例，我们可以看到蚁群算法在解决弹性力学中的优化问题时的潜力和优势。它不仅能够处理复杂的约束条件，还能够通过模拟自然界中的正反馈机制，避免陷入局部最优解，为工程设计提供了新的优化思路。3蚁群算法的基本原理3.1自然界的蚂蚁觅食行为在自然界中，蚂蚁通过释放信息素来寻找从巢穴到食物源的最短路径。当一只蚂蚁发现食物时，它会返回巢穴并在沿途留下信息素，这会吸引其他蚂蚁沿着相同的路径前进。路径越短，信息素浓度越高，因此更多的蚂蚁倾向于选择更短的路径，从而形成一个正反馈机制，最终找到最优路径。3.2蚁群算法的数学模型蚁群算法（AntColonyOptimization,ACO）是受蚂蚁觅食行为启发的一种元启发式算法，用于解决组合优化问题。其数学模型主要由以下几个部分组成：信息素浓度：表示路径的吸引力，通常用τij表示从节点i到节点启发式信息：表示路径的可见度，通常用ηij表示从节点i到节点转移概率：蚂蚁在选择下一个节点时的概率，由信息素浓度和启发式信息共同决定。3.2.1转移概率公式假设蚂蚁k在节点i，选择下一个节点j的概率PiP其中，Ni是节点i的邻接节点集合，α和β3.3信息素更新机制信息素更新机制是蚁群算法的核心，它决定了算法的收敛速度和搜索效率。主要有两种更新方式：全局更新：在所有蚂蚁完成一次循环后，根据最优路径更新信息素。局部更新：每只蚂蚁在移动到下一个节点时，会根据其路径选择情况更新信息素。3.3.1全局更新公式全局更新公式如下：τ其中，ρ是信息素挥发率，Δτ3.3.2局部更新公式局部更新公式如下：τ其中，Δτij是蚂蚁k3.4示例：使用Python实现蚁群算法解决TSP问题3.4.1数据样例假设我们有5个城市，它们之间的距离如下：城市ABCDEA010203040B100152535C201501020D302510010E4035201003.4.2代码示例importnumpyasnp

importrandom

#定义城市数量和蚂蚁数量

num_cities=5

num_ants=10

#定义距离矩阵

distance_matrix=np.array([[0,10,20,30,40],

[10,0,15,25,35],

[20,15,0,10,20],

[30,25,10,0,10],

[40,35,20,10,0]])

#定义信息素矩阵和启发式信息矩阵

pheromone_matrix=np.ones((num_cities,num_cities))

heuristic_matrix=1.0/(distance_matrix+np.eye(num_cities)*1e-10)

#定义算法参数

alpha=1.0#信息素重要性

beta=5.0#启发式信息重要性

rho=0.5#信息素挥发率

Q=100#常数，用于计算信息素增量

#定义蚁群算法

defant_colony_optimization():

best_path=None

best_distance=float('inf')

for_inrange(num_ants):

path,distance=find_path()

ifdistance<best_distance:

best_distance=distance

best_path=path

update_pheromone(path,distance)

returnbest_path,best_distance

#定义寻找路径的函数

deffind_path():

path=[random.randint(0,num_cities-1)]

total_distance=0

whilelen(path)<num_cities:

current_city=path[-1]

next_city=select_next_city(current_city)

path.append(next_city)

total_distance+=distance_matrix[current_city][next_city]

total_distance+=distance_matrix[path[-1]][path[0]]#返回起点

returnpath,total_distance

#定义选择下一个城市的函数

defselect_next_city(current_city):

unvisited_cities=[cityforcityinrange(num_cities)ifcitynotinpath]

probabilities=[pheromone_matrix[current_city][city]**alpha*heuristic_matrix[current_city][city]**betaforcityinunvisited_cities]

probabilities=np.array(probabilities)/sum(probabilities)

next_city=np.random.choice(unvisited_cities,p=probabilities)

returnnext_city

#定义更新信息素的函数

defupdate_pheromone(path,distance):

globalpheromone_matrix

foriinrange(len(path)-1):

pheromone_matrix[path[i]][path[i+1]]*=(1-rho)

pheromone_matrix[path[i]][path[i+1]]+=Q/distance

pheromone_matrix[path[-1]][path[0]]*=(1-rho)

pheromone_matrix[path[-1]][path[0]]+=Q/distance

#运行蚁群算法

best_path,best_distance=ant_colony_optimization()

print("最优路径:",best_path)

print("最优距离:",best_distance)3.4.3代码解释上述代码实现了一个简单的蚁群算法来解决旅行商问题（TSP）。首先，定义了城市之间的距离矩阵、信息素矩阵和启发式信息矩阵。然后，通过ant_colony_optimization函数运行算法，每只蚂蚁通过find_path函数寻找一条路径，路径的选择基于select_next_city函数计算的概率。最后，通过update_pheromone函数更新信息素矩阵，以反映蚂蚁的选择和路径的优化。通过多次运行算法，可以观察到最优路径和最优距离的逐渐改进，体现了蚁群算法在路径优化问题上的应用。4蚁群算法在弹性力学中的应用4.1弹性力学中的路径优化问题在弹性力学领域，路径优化问题通常涉及结构设计中的材料分布、连接路径或载荷路径的优化。这些问题的解决对于提高结构的效率、减少材料使用和成本至关重要。蚁群算法（AntColonyOptimization,ACO）作为一种启发式搜索算法，模拟了蚂蚁寻找食物路径的行为，被广泛应用于解决这类复杂优化问题。4.1.1问题背景考虑一个典型的弹性力学优化场景：设计一个桥梁的支撑结构，目标是最小化材料的使用量，同时确保结构的稳定性和强度满足要求。这涉及到在多个可能的支撑路径中找到最优解，而每个路径的评估需要复杂的力学计算。4.1.2ACO算法优势ACO算法通过模拟蚂蚁在寻找最短路径时释放和跟随信息素的行为，能够有效地探索解空间，找到接近最优的解决方案。它特别适用于解决具有大量解空间和高计算复杂度的优化问题，如弹性力学中的路径优化。4.2ACO算法解决弹性力学问题的步骤4.2.1初始化信息素矩阵：为每个可能的路径或材料分布位置初始化信息素浓度。参数设置：设定算法参数，如蚂蚁数量、信息素挥发率、启发式信息权重等。4.2.2构建解蚂蚁选择路径：每只蚂蚁根据当前信息素浓度和启发式信息（如路径长度、材料强度等）选择路径或材料分布。信息素更新：蚂蚁完成路径构建后，根据路径的质量（如结构的总重量或稳定性）在路径上释放信息素，更新信息素浓度。4.2.3信息素更新全局更新：在每一轮迭代后，根据所有蚂蚁找到的最优路径更新全局信息素浓度。局部更新：蚂蚁在移动过程中，根据其路径选择，局部更新信息素浓度。4.2.4终止条件迭代次数：设定最大迭代次数，当达到该次数时，算法终止。收敛条件：当连续几轮迭代中，最优解不再显著改善时，算法也可终止。4.3案例分析：结构优化设计假设我们有一个简单的2D桥梁支撑结构优化问题，目标是最小化材料使用量，同时确保结构能够承受特定的载荷。我们使用ACO算法来寻找最优的支撑路径。4.3.1数据样例节点：结构由多个节点组成，每个节点可以连接到其他节点形成支撑路径。载荷：每个节点上可能有载荷，需要结构支撑。材料强度：不同路径或材料分布的强度不同，影响结构的稳定性。4.3.2算法实现importnumpyasnp

importrandom

#定义ACO算法参数

n_ants=50

n_iterations=100

evaporation_rate=0.5

alpha=1#信息素重要性

beta=5#启发式信息重要性

#初始化信息素矩阵

n_nodes=10

pheromone_matrix=np.ones((n_nodes,n_nodes))

#定义启发式信息矩阵（路径长度或材料强度）

heuristic_matrix=np.random.rand(n_nodes,n_nodes)

#定义ACO算法的单次迭代

defaco_iteration():

#每只蚂蚁构建路径

forantinrange(n_ants):

current_node=random.randint(0,n_nodes-1)

unvisited_nodes=list(range(n_nodes))

unvisited_nodes.remove(current_node)

path=[current_node]

whileunvisited_nodes:

next_node=select_next_node(current_node,unvisited_nodes)

path.append(next_node)

unvisited_nodes.remove(next_node)

current_node=next_node

#更新信息素

update_pheromone(path)

#选择下一个节点

defselect_next_node(current_node,unvisited_nodes):

probabilities=[]

total=0

fornodeinunvisited_nodes:

pheromone=pheromone_matrix[current_node,node]

heuristic=heuristic_matrix[current_node,node]

probability=(pheromone**alpha)*(heuristic**beta)

probabilities.append(probability)

total+=probability

probabilities=[p/totalforpinprobabilities]

next_node=np.random.choice(unvisited_nodes,p=probabilities)

returnnext_node

#更新信息素

defupdate_pheromone(path):

#计算路径质量（如总重量或稳定性）

path_quality=calculate_path_quality(path)

#更新路径上的信息素

foriinrange(len(path)-1):

pheromone_matrix[path[i],path[i+1]]+=path_quality

#主循环

foriterationinrange(n_iterations):

aco_iteration()

#信息素挥发

pheromone_matrix*=(1-evaporation_rate)4.3.3解释上述代码示例展示了ACO算法在结构优化设计中的基本实现。每只蚂蚁（ant）从随机节点开始，根据信息素浓度和启发式信息（如路径长度或材料强度）选择下一个节点，构建路径。路径构建完成后，根据路径的质量（如结构的总重量或稳定性）更新信息素浓度。信息素浓度的更新和挥发确保了算法能够探索新的路径，同时逐渐集中于更优的解决方案。通过多轮迭代，ACO算法能够逐渐找到最优的支撑路径，实现结构的优化设计。这种算法特别适用于处理具有大量可能解和高计算复杂度的弹性力学优化问题，能够有效地在解空间中搜索，找到接近最优的解决方案。通过上述案例分析，我们可以看到蚁群算法在解决弹性力学中的路径优化问题时的潜力和应用。它不仅能够处理复杂的优化问题，还能在有限的计算资源下找到高质量的解决方案，为结构设计提供了新的优化途径。5信息素与路径选择5.1信息素浓度对路径选择的影响在蚁群算法(ACO)中，信息素的概念源自自然界中蚂蚁寻找食物的行为。蚂蚁在移动过程中会留下一种化学物质，即信息素，用于引导后续的蚂蚁选择更优路径。信息素浓度越高，路径被选择的概率越大。这种机制使得算法能够通过迭代，逐渐优化路径，找到从起点到终点的最短路径。5.1.1信息素更新信息素的更新是ACO算法的核心。在每次迭代后，信息素浓度会根据蚂蚁在路径上的表现进行更新。具体而言，路径上信息素的增加量与蚂蚁在该路径上的总信息素成正比，而总信息素又与路径长度成反比。这意味着，越短的路径，信息素增加得越多，从而吸引更多的蚂蚁选择这条路径，形成正反馈。5.1.2信息素挥发为了防止算法陷入局部最优，ACO算法还引入了信息素挥发机制。在每次迭代后，所有路径上的信息素浓度都会减少，模拟了自然界中信息素随时间挥发的现象。信息素挥发率是一个介于0和1之间的参数，决定了信息素减少的程度。5.2路径选择的概率计算在ACO算法中，蚂蚁选择路径的概率是基于信息素浓度和启发式信息计算的。启发式信息通常与路径的可见度有关，即路径的相对长度或成本。路径选择的概率计算公式如下：P其中，Pi,j是蚂蚁从节点i选择到节点j的概率；τi,j是路径(i,j)上的信息素浓度；ηi5.2.1示例代码下面是一个基于Python的简单示例，展示了如何根据信息素浓度和启发式信息计算路径选择概率：importnumpyasnp

#定义信息素矩阵和启发式信息矩阵

pheromone=np.array([[0,1,2],[1,0,3],[2,3,0]])

heuristic=np.array([[0,1/2,1/3],[1/2,0,1/4],[1/3,1/4,0]])

#定义参数

alpha=1

beta=1

#计算从节点0选择到其他节点的概率

defcalculate_probabilities(current_node,neighbor_nodes):

total=0

probabilities=[]

forneighborinneighbor_nodes:

total+=(pheromone[current_node,neighbor]**alpha)*(heuristic[current_node,neighbor]**beta)

forneighborinneighbor_nodes:

numerator=(pheromone[current_node,neighbor]**alpha)*(heuristic[current_node,neighbor]**beta)

probabilities.append(numerator/total)

returnprobabilities

#假设当前节点是0，邻居节点是[1,2]

neighbor_nodes=[1,2]

probabilities=calculate_probabilities(0,neighbor_nodes)

#输出概率

print("从节点0到节点1的概率:",probabilities[0])

print("从节点0到节点2的概率:",probabilities[1])5.2.2代码解释在这个示例中，我们首先定义了信息素矩阵和启发式信息矩阵。然后，我们定义了参数α和β，分别控制信息素和启发式信息在路径选择中的重要性。calculate_probabilities函数接收当前节点和邻居节点集合作为输入，计算从当前节点到每个邻居节点的概率。最后，我们输出了从节点0到节点1和节点2的概率。通过调整信息素浓度和启发式信息，以及参数α和β，我们可以控制蚂蚁在路径选择上的行为，从而优化算法的性能。6算法参数调整在蚁群算法(ACO)中，参数的调整对于算法的性能至关重要。本章节将深入探讨两个关键参数：信息素挥发率的设定与蚂蚁数量及迭代次数的选择。6.1信息素挥发率的设定6.1.1原理信息素挥发率（ρ）是ACO算法中的一个重要参数，它决定了信息素的持久性。信息素挥发率的设定直接影响到算法的探索与利用之间的平衡。如果ρ设置得过高，信息素会快速消失，算法倾向于探索新的路径，但可能会导致收敛速度变慢。反之，如果ρ设置得过低，信息素会保留较长时间，算法倾向于利用已知的较好路径，但可能会陷入局部最优解。6.1.2内容信息素挥发率的数学表达：信息素挥发率ρ（0<ρ<1）用于计算信息素更新时的挥发量。在每次迭代后，信息素浓度τ(i,j)更新为τ(i,j)=(1-ρ)τ(i,j)+Δτ(i,j)，其中Δτ(i,j)是蚂蚁在路径(i,j)上留下的信息素增量。参数调整策略：通常，信息素挥发率ρ的初始值可以设置在0.5左右，然后根据问题的复杂性和算法的收敛情况逐步调整。对于复杂问题，可以尝试降低ρ以增加信息素的持久性，帮助算法更快地找到全局最优解。而对于简单问题，可以适当提高ρ，增加算法的探索性，避免过早收敛。6.1.3示例假设我们正在使用ACO算法解决一个旅行商问题(TSP)，其中信息素挥发率ρ被设定为0.7。这意味着每次迭代后，路径上的信息素浓度将保留30%，其余70%的信息素将挥发掉。下面是一个简化的信息素更新过程的Python代码示例：#定义信息素挥发率

rho=0.7

#假设τ(i,j)为路径(i,j)上的信息素浓度

#Δτ(i,j)为蚂蚁在路径(i,j)上留下的信息素增量

#以下是信息素更新的伪代码

#初始化信息素矩阵

pheromone_matrix=[[1.0for_inrange(n)]for_inrange(n)]

#模拟一次迭代后的信息素更新

foriinrange(n):

forjinrange(n):

pheromone_matrix[i][j]=(1-rho)*pheromone_matrix[i][j]+delta_pheromone_matrix[i][j]

#其中delta_pheromone_matrix[i][j]是蚂蚁在路径(i,j)上留下的信息素增量6.2蚂蚁数量与迭代次数的选择6.2.1原理蚂蚁数量（m）和迭代次数（t）是ACO算法中另外两个关键参数。蚂蚁数量决定了算法的并行搜索能力，而迭代次数则影响算法的搜索深度。合理的蚂蚁数量和迭代次数可以提高算法的搜索效率和效果。6.2.2内容蚂蚁数量的选择：蚂蚁数量m的选择应考虑问题的规模和复杂性。对于大规模问题，可以设置较大的m以增加搜索的并行性。然而，过大的m可能会导致计算资源的浪费和算法运行时间的增加。迭代次数的选择：迭代次数t的选择应基于算法收敛速度的观察。通常，t的值应足够大，以确保算法有足够的时间探索所有可能的解。但是，过高的t可能会导致算法运行时间过长，而不会显著提高解的质量。6.2.3示例在解决TSP问题时，我们可能需要根据问题的规模来调整蚂蚁数量和迭代次数。例如，对于一个包含100个城市的问题，我们可以尝试使用100只蚂蚁进行搜索，并进行1000次迭代。下面是一个简化的参数设置过程的Python代码示例：#定义蚂蚁数量和迭代次数

num_ants=100

num_iterations=1000

#假设我们有一个函数来执行ACO算法

defrun_aco(num_ants,num_iterations):

#初始化算法参数

#...

#运行算法

foriterationinrange(num_iterations):

#每次迭代，每只蚂蚁寻找一条路径

forantinrange(num_ants):

#执行蚂蚁的路径选择过程

#...

#更新信息素

#...

#返回最优路径

#...

#调用函数执行ACO算法

best_path=run_aco(num_ants,num_iterations)在实际应用中，我们可能需要通过多次实验来找到最佳的蚂蚁数量和迭代次数，以达到最优的搜索效果和效率。例如，我们可以尝试不同的蚂蚁数量（如50、100、200）和迭代次数（如500、1000、2000），并比较不同设置下的算法性能，从而确定最合适的参数值。7优化结果分析7.1结果的收敛性分析收敛性分析是评估优化算法性能的关键步骤。在弹性力学优化中，蚁群算法(ACO)的收敛性分析主要关注算法是否能够稳定地收敛到最优解，以及收敛的速度。收敛性可以通过绘制迭代次数与目标函数值的关系图来直观地展示。7.1.1示例：绘制收敛曲线假设我们有以下迭代次数与目标函数值的数据：迭代次数目标函数值1100.0295.0390.0485.0……10010.0我们可以使用Python的matplotlib库来绘制收敛曲线。importmatplotlib.pyplotasplt

#数据样例

iterations=list(range(1,101))

function_values=[100.0-5*iforiiniterations]

#绘制收敛曲线

plt.figure(figsize=(10,5))

plt.plot(iterations,function_values,label='目标函数值')

plt.xlabel('迭代次数')

plt.ylabel('目标函数值')

plt.title('蚁群算法收敛性分析')

plt.legend()

plt.grid(True)

plt.show()通过观察收敛曲线，我们可以分析算法的收敛速度和稳定性。如果曲线平滑下降并最终趋于平稳，说明算法收敛良好。7.2优化前后性能对比性能对比是通过比较优化前后的结构性能，来评估优化算法效果的重要方法。在弹性力学中，性能指标可能包括结构的重量、刚度、应力分布等。7.2.1示例：结构重量对比假设我们有以下优化前后的结构重量数据：优化前结构重量：1000kg优化后结构重量：800kg我们可以使用这些数据来展示优化的效果。#数据样例

weight_before=1000

weight_after=800

#性能对比

reduction=(weight_before-weight_after)/weight_before*100

print(f"结构重量减少了{reduction:.2f}%")输出结果将显示结构重量的减少百分比，这有助于直观地理解优化带来的效益。7.2.2示例：结构刚度对比优化前结构刚度：100N/m优化后结构刚度：120N/m我们同样可以使用Python来计算刚度的提升百分比。#数据样例

stiffness_before=100

stiffness_after=120

#性能对比

increase=(stiffness_after-stiffness_befor