5.1.2复数的几何意义课件高一下学期数学北师大版

第五章复数1.2复数的几何意义高中同步学案优化设计GAOZHONGTONGBUXUEANYOUHUASHEJI北师大版

数学

必修第二册目录索引基础落实·必备知识一遍过重难探究·能力素养速提升成果验收·课堂达标检测课程标准1.了解复平面的概念.2.理解复数、复平面内的点、复平面内的向量之间的对应关系.3.掌握复数模的概念,会求复数的模.4.掌握共轭复数的概念及几何意义.基础落实·必备知识全过关知识点一

复平面

如图,点Z的横坐标是a,纵坐标是b,复数z=a+bi(a,b∈R)可以用点Z(a,b)表示.这个通过建立平面直角坐标系来表示复数的平面称为复平面,x轴称为

,y轴称为

.显然,实轴上的点都表示实数;除了_______

外,虚轴上的点都表示纯虚数.

实轴

虚轴原点过关自诊1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)(1)实轴上的点表示实数.(

)(2)虚轴上的点表示虚数.(

)(3)复数在复平面中对应点的纵坐标为复数的实部.(

)2.虚轴上的点都对应着唯一的纯虚数吗?√××提示

不是.知识点二

复数的几何意义1.复数与点的对应复数z=a+bi与复平面内的点Z(a,b)是一一对应的,即复数z=a+bi

复平面内的点Z(a,b).2.复数与向量的对应如图,复数z=a+bi(a,b∈R)与复平面内的向量

=(a,b)也是一一对应的,即复数z=a+bi

平面向量

.只有向量的起点在原点时才有这种一一对应关系

名师点睛1.复数的实质是有序实数对.2.根据复数与复平面内的点一一对应,复数与平面向量一一对应,可知复数z=a+bi、复平面内的点Z(a,b)和平面向量

之间的关系可用图表示.过关自诊[人教A版教材习题]在复平面内,O是原点,向量

对应的复数是2+i.(1)如果点A关于实轴的对称点为点B,求向量

对应的复数;(2)如果(1)中点B关于虚轴的对称点为点C,求点C对应的复数.(2)点B(2,-1)关于虚轴的对称点C的坐标为(-2,-1),则点C对应的复数是-2-i.(1)点A(2,1)关于实轴的对称点B的坐标为(2,-1),则向量

对应的复数为2-i.知识点三

复数的模定义:向量

的模称为复数z=a+bi(a,b∈R)的模,记作|z|或|a+bi|.由向量模的定义可知,|z|=|a+bi|=

.

如果b=0,那么z=a+bi是一个实数a,它的模

=|a|(a的绝对值).虽然两个复数一般不能比较大小,但它们的模是非负实数,可以比较大小.名师点睛1.模的几何意义:复数模的几何意义就是复数z=a+bi(a,b∈R)所对应的点Z(a,b)到原点(0,0)的距离,也就是向量

的模,即|z|=||.2.两个复数相等,其模必相等;但模相等的两个复数未必相等.过关自诊1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)(1)复数的模一定是正实数.(

)(2)若z1=z2,则|z1|=|z2|.(

)(3)若z1>z2,则|z1|>|z2|.(

)(4)若|z1|=|z2|,则z1=z2.(

)2.[人教A版教材习题]求复数z1=3+4i及

的模,并比较它们的模的大小.×√××知识点四

共轭复数若两个复数的实部

,而虚部互为

,则称这两个复数互为共轭复数.复数z的共轭复数用

表示.当z=a+bi(a,b∈R)时,=a-bi.显然,在复平面内,表示两个共轭复数的点关于实轴对称,并且它们的模相等.另外,当复数z=a+bi的虚部b=0

时,有

=z.也就是说,任意一个实数的共轭复数仍是它本身,反之亦然.相等

相反数

名师点睛1.已知z1=a+bi,z2=c+di,a,b,c,d∈R,则z1,z2互为共轭复数的充要条件是a=c且b=-d.2.共轭复数的特点(1)在复平面内,表示两个共轭复数的点到坐标原点的距离相等.过关自诊1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)(1)若两个复数互为共轭复数,则它们的模相等.(

)(2)在复平面内,表示共轭复数的点关于虚轴对称.(

)2.(2023北京东城)在复平面内,复数z对应的点Z如图所示,则z的共轭复数

=(

)

A.1+2i

B.1-2i C.2+i

D.2-i√×解析

由题图可知,z=2+i,故

=2-i.D重难探究·能力素养全提升探究点一复数与点的对应关系【例1】

求实数a分别取何值时,复数

对应的点Z满足下列条件:(1)在复平面的第二象限内.(2)在复平面内的实轴上方.变式探究(1)本例中题设条件不变,求复数z表示的点Z在实轴上时,实数a的值.解

因为点Z在实轴上,所以a2-2a-15=0且a+3≠0,所以a=5.故当a=5时,点Z在实轴上.(2)本例中条件不变,如果点Z在直线x+y+7=0上,求实数a的值.规律方法

利用复数与点的对应关系的解题步骤(1)找对应关系:复数的几何表示法即复数z=a+bi(a,b∈R)可以用复平面内的点Z(a,b)来表示,是解决此类问题的根据.(2)列出方程:此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件,通过解方程(组)或不等式(组)求解.探究点二复数与复平面内向量的对应【例2】

在复平面上,点A,B,C对应的复数分别为1+4i,-3i,2,O为复平面的坐标原点.(2)求平行四边形ABCD的顶点D对应的复数.规律方法

1.若复数z=a+bi(a,b∈R),则复数z在复平面内对应的向量

=(a,b).2.复平面内向量对应的复数可以通过向量的坐标运算求得.3.一个向量不管怎样平移,它所对应的复数是不变的,但其起点与终点对应的复数改变.变式训练1四边形ABCD是复平面内的平行四边形,A,B,C三点对应的复数分别是1+3i,-i,2+i.(1)求点D对应的复数;(2)求△ABC的边BC上的高.解

(1)复平面内A,B,C对应点的坐标分别为(1,3),(0,-1),(2,1).设点D的坐标为(x,y),即x-1=2,y-3=2,解得x=3,y=5,故点D(3,5),其对应的复数为3+5i.(2)因为B(0,-1),C(2,1),所以直线BC的方程为x-y-1=0,探究点三复数的模及其应用角度1.复数的模的几何意义【例3】

设z∈C,在复平面内对应点Z,试说明满足下列条件的点Z的集合是什么图形.(1)|z|=2;(2)1≤|z|≤2.解

(1)(方法一)|z|=2说明复数z在复平面内对应的点Z到原点的距离为2,这样的点Z的集合是以原点O为圆心,2为半径的圆.(方法二)设z=a+bi(a,b∈R),由|z|=2,得a2+b2=4.故点Z对应的集合是以原点O为圆心,2为半径的圆.不等式|z|≤2的解集对应圆|z|=2及该圆内部所有点的集合.不等式|z|≥1的解集对应圆|z|=1及该圆外部所有点的集合.这两个集合的交集,对应满足条件1≤|z|≤2的点的集合.如图中的阴影部分,所求点的集合是以O为圆心,以1和2为半径的两圆所夹的圆环,并且包括圆环的边界.规律方法

解决复数的模的几何意义的问题,应把握两个关键点:一是|z|表示点Z到原点的距离,可依据|z|满足的条件判断点Z的集合表示的图形;二是|z1-z2|表示复数z1,z2对应的点之间的距离.变式训练2若复数z满足|z|≤,则z在复平面所对应的图形的面积为

.

2π

角度2.复数的模的计算【例4】

(1)已知复数z1=6-5i,z2=-2+3i,若z1,z2在复平面内对应的点分别为A,B,线段AB的中点C对应的复数为z,则|z|=(

)AA.|z1|>|z2| B.|z1|<|z2|C.|z1|=|z2| D.不能确定A规律方法

1.在计算与模有关的问题时,首先分清复数的实部与虚部,若给出的复数不是标准形式,要先化为标准形式再利用公式

求解.2.复数z=a+bi(a,b∈R)的模对应的点的集合是以原点为圆心,为半径的圆.变式训练3(1)复数z1=a+2i,z2=-2+i,若|z1|<|z2|,那么实数a的取值范围是

.

(-1,1)(2)已知复数z=3+ai,且|z|<4,则实数a的取值范围为

.

(方法二)利用复数的几何意义,由|z|<4知,z在复平面内对应的点在以原点为圆心,4为半径的圆内(不包括边界).由z=3+ai知z对应的点在直线x=3上,所以线段AB(除去端点)为动点Z的集合,探究点四共轭复数及其应用【例5】

设z=-3+2i,则在复平面内

对应的点位于(

)A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限C解析

由z=-3+2i,得

=-3-2i,则在复平面内

对应的点(-3,-2)位于第三象限,故选C.规律方法

本节内容对共轭复数的要求有两点:一是会利用定义写出已知复数的共轭复数;二是明确互为共轭的两个复数表示的点的对称关系.变式训练4已知i是虚数单位,复数z=1+i,则

的实部与虚部之和为(

)A.1 B.0C.-2 D.2B解析

=1-i,实部为1,虚部为-1,所以实部与虚部之和为1+(-1)=0.本节要点归纳1.知识清单:(1)复数与复平面内的点、向量之间的对应关系;(2)复数的模及几何意义;(3)共轭复数.2.方法归纳:待定系数法、数形结合.3.常见误区:虚数不能比较大小,虚数的模可以比较大小.成果验收·课堂达标检测1234567891011A级必备知识基础练1.(多选)给出下列复平面内的点,这些点中对应的复数为虚数的是(

)A.(3,1) B.(-2,0)C.(0,4) D.(-1,-5)ACD解析

易知选项A,B,C,D中的点对应的复数分别为3+i,-2,4i,-1-5i,因此A,C,D中的点对应的复数为虚数,B中的点对应的复数为实数.故选ACD.12345678910112.已知复数z满足|z|2-2|z|-3=0,则复数z对应的点Z的集合对应的图形为(

)A.一个圆 B.一条线段C.两点

D.两个圆A解析

∵|z|2-2|z|-3=0,∴(|z|-3)(|z|+1)=0,∴|z|=3,∴复数z对应的点Z的集合是以原点O为圆心,3为半径的一个圆.故选A.12345678910113.已知a∈R,若复数z=(a2-1)+(a+1)i为纯虚数,则复数a-i在复平面内对应的点所在的象限为(

)A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限D解析

∵复数z=(a2-1)+(a+1)i是纯虚数,∴a2-1=0,且a+1≠0,故a=1.故复数a-i=1-i,在复平面内对应的点(1,-1)所在的象限为第四象限.故选D.12345678910114.已知0<a<3,复数z的实部为a,虚部为2,则|z|的取值范围是

.

1234567891011-6-8i-6+8i

1234567891011B级关键能力提升练B12345678910117.(多选)已知复数z=a+bi(a,b∈R,i为虚数单位),且a+b=1,则下列说法正确的是(

)A.z不可能为纯虚数B.若z的共轭复数为,且z=,则z是实数C.若z=|z|,则z是实数D.|z|可以等于BC123456789101112345678910118.定义:复数b+ai是复数a+bi(a,b∈R)的转置复数,已知a,b∈R,i是虚数单位,若a+2i=1-bi,则复数z=a+b