考研数学三真题及答案解析

2010年考研数学三真题与解析

一.选择题

1.若—0力=1则4=

XT。XX

A0B1C2D3

2.设”,乃是一阶线性非齐次微分方程_/+p(x)y=q(x)的两个特解，

若常数使孙+"是该方程的解，电-丹是该方程对应的齐次

方程的解，则

AA=—,//=—B/1=——=——

2222

C2=|，X/=|D2=|,^=|

3.设函数f(x),g(x)具有二阶导数，且g〃⑸<。.若g(x。)=a是g(X)

的极值，则f(g(x))在x°取极大值的一个充分条件是

Af(a)<0Bf\a)>OCf\a)<ODf\a)>0

4设/(x)=ln")x,g(x)=x,//(x)=e三则当X充分大时有

Ag(x)<h(x)<f(x)Bh(x)<g(x)<f(x)

Cf(x)<g(x)<h(x)Dg(x)<f(x)<h(x)

5设向量组%可由向量组u：1，为…，氏线性表示，下列命题正

确的是：

A若向量组I线性无关，则YsB若向量组I线性相关，则r>s

C若向量组II线性无关，则YsD若向量组口线性相关，则r>s

6.设A为4阶实对称矩阵，且A2+A=O,若A的秩为3,则A相

似于

1、i、

ABi

0J0J

(\\r-i

-1-1

cD

-1

OJOJ

0,x<0

7.设随机变量X的分布函数F(x)=-,0<x<\,则P(X=l)=

2

A0B-C---|Di-e-1

22e

8.设£(x)为标准正态分布概率密度，人⑴为[T,3]上均匀分布的

概率密度，若/(x)=/<0)为概率密度，则a,b满足:

bf2(x),x>0

A2a+3b=4B3a+2b=4Ca+b=1Da+b=2

二.填空题

9.设可导函数y=y(x),由方程『2％=>sin/力确定，则

虫|=

---------

10.设位于曲线尸/1(e«x<+8)下方,X轴上方的无界区域

^/x(l+ln2x)

为G,则G绕x轴旋转一周所得空间区域的体积为

11.设某商品的收益函数R(p),收益弹性为1+",其中p为价格,

且R⑴=],贝!IR(p)=

12.若曲线y=/+/+公+|有拐点(t,o),贝ijb=

13.设A,B为3阶矩阵,且网=3,年2,川+@=2,则

,+§[=_________

14.设

1n

X1,X2,…X3是来自总体N(〃,b2)(b〉0)的简单随机样本。记统十量T=-Zx2j,

n,=)

贝HET=____________

三.解答题

15.求极限lim(廿-1严

XT+oc

16.计算二重积分JJ(x+y)3drdy,其中D由曲线％=加了与直线

D

工+收'=0思_五,=0围成O

17.求函数u=xy+2yz在约束条件Y+V+z?=10下的最大值和最小

值。

18.

(1)比较Qin恤(1+3%与］7加悔(〃=1,2,...)的大小，说明理由。

(2)记%,=Qln"［ln(l+f)］"dt(〃=l,2,...),求极限lim%.

19.设f(x)在。3］上连续，在(0,3)内存在二阶导数，且

2/(0)=［：/。)公=/⑵+〃3)

JO

(1)证明：存在"(0,2),使f(〃)=f(O);

(2)证明：存在小(0,3),恸〃0=0

20

%11)仅］

设从=02-10力=1已知线性方程组4x=b存在2个不同的解。

<i14N

.(1)求X、a.

(2)求方程组4x=b的通解。

‘0-14、

21.设A=-13a,正交矩阵Q使得为对角矩阵，若Q的

、4a0>

第~1*列为•^■(1,2,1)，,求a、Q.

22.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为

/(%,y)=Ae2x^2xy~yl,—oo<x<+oo,—oo<y<+8求常数A及条件概率密度

fy\x(y\x)-

23.箱中装有6个球，其中红、白、黑球的个数分别为L2,3

个。现从箱中随机地取出2个球，记X为取出的红球个数，Y为

取出的白球个数。

(1)求随机变量(X,Y)的概率分布；

(2)求Cov(X,Y).

2010年考研数学三之答案与解析

答案：CABCADCA

9.-110.[lip*".313.314.〃+

三解答题

15.解：

16.解：

17.解

tSF(x,y,z,A)=xy+lyz+A(x2+y2+z2-10)

.F；=y+2Ax=0

F'=x+2z+22y=0=一，「

令A(二cCJc，最可能的最值点

£'=2y+2/lz=0

F：=X2+/+Z2-10=0

A(1,V5,2),B(-1,V5,-2),C(1,-V5,2),D(-1-V5-2),£(2V2,0-V2),F(-2A/2,0,V2).

因为在A,。两处〃=5石;在3,C两点处"=-575；在E,尸两点处〃=0o

所以"max=5底Umm--5-75

18.

19.

证：(1)设尸(幻=£加油(0<x<2),则I：f(x)dx=F(2)-F(0).

根据拉格朗日中值定理存在”(0,2),使F⑵-产(0)=2尸S)=2/(〃),

即］)(x)dx=2/(〃油题设知£/(x)dx=2/(0),故/⑺=/(0).

(2)以号®介于/'(幻在［2,3］上的最小值与最大值之间，根据连续函数的介直定理,

存在，e［2,3］JW)=

由题设知〃2)；/(3)=/(o),如⑹=/(0).

由于/X。)=/(〃)=/C)，且。<”7<3,根据罗尔定理，存凿€(0，〃)，

G，使f&)=0J'C2)=0,从而存在欠(q,$)u(0,3),使得rc)=o

20.解：

21

22.

23.解：

(1)随机变量(X,Y)的概率分布为:

012

01/52/51/15

11/52/150

⑵

2011年考研数学三试题及解析

一、选择题(1〜8小题，每小题4分，共32分.下列每题

给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前

的字母填在答题纸指定位置上.)

(1)已知当XfO时，/■。)=3$山工-5m3%与(:3是等价无穷小，则

0

(A)左=1,c=4.(B)k=1,c=-4.

(C)k=3,c=4.(D)k—3,c——4.

(2)已知函数f(x)在x=O处可导，且/(0)=0,则

x

(A)-2/(o).(B)--f(o).

(c)r(o).(D)O.

(3)设｛与｝是数列，则下列命题正确的是()

(A)若4％收敛,则£(%+%“)收敛.⑻若£(%+%)收敛,

n=\n=ln=l

则立“收敛.

n=l

(C)若0％收敛,则收敛.(D)若£(%-%“)收敛,

〃=17»=1〃=1

则立“收敛.

n=\

⑷设/=[n

InsinxdvJ=\^Incotxd^KPncosx公，贝!I/",K

9Jo9

的大小关系是()

(A)I<J<K.(B)I<K<J.

(C)J<1<K.(D)K<J<I.

(5)设A为3阶矩阵，将A的第2列加到第1列得矩阵8,再

‘100、

交换8的第2行与第3行得单位矩阵，记片=110,

100L

"100'

鸟=001,贝！J4=()

、010,

(A)利.(B)p;'p2.(C)P【P\.(D)P2P；'.

(6)设A为4x3矩阵，7,”,7是非齐次线性方程组王=广的3个

线性无关的解，人出为任意常数，则从=£的通解为()

(A)+勺(％―7).(B).

(c)%;%+%(%—7)+1(式小一小).

(D)-3-7)

(7)设6⑴，工⑸为两个分布函数，其相应的概率密度工3,

/式x)是连续函数，则必为概率密度的是()

(A)工⑴人(x).(B)2f2(X)Ft(x).

(C)力⑴玛&)•(D)/(x)K(x)+力(x)[(x).

(8)设总体X服从参数为2(/1>0)的泊松分布，

X'X”…,X,,(〃N2)为来自总体X的简单随机样本，则对应的统计量

〃汽〃一1nn

(A)顼7；)>E区)，。(71)>。区).(B)E(1)>EW),0(7；)>0(7；).

(C)E(7；)<E(7；),D(7；)<D(7；).(D)E(7；)<E(7；),D(7；)<D(7；).

二、填空题(9〜14小题，每小题4分，共24分，请将答案

写在答题纳指定位置上.)

(9)设/(无)=叫了(1+3,)7,则r(x)=.

X

(10)设函数z=(l+可，则叫了.

\y7

(11)曲线tan]x+>+"在点(0,0)处的切线方程为.

(12)曲线y=«口，直线x=2及x轴所围成的平面图形绕x

轴旋转所成的旋转体的体积为.

(13)设二次型/(4和£)=/4的秩为1,A的各行元素之和

为3,贝!1/在正交变换x=Qy下的标准形为.

(14)设二维随机变量(X,y)服从正态分布N(〃,〃；b202；o),则

E(XY2)=.

三、解答题(15〜23小题，共94分.请将解答写在答博纳

指定位置上，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

(15)(本题满分10分)

求极限lim叵牛口

—°xln(1+x)

(16)(本题满分10分)

已知函数/(〃#)具有连续的二阶偏导数，〃1,1)=2是/(〃①的

极值,z=7[x+yj(x,y)],求公

(17)(本题满分10分)

上rarcsiny/x+\nx,

求J—忑一此

(18)(本题满分10分)

证明4arctanx-x+竺-6=。恰有2实根.

3

(19)(本题满分10分)

设函数/(X)在［0,1］有连续导数，/(0)=1,且

f'(x+y)dxdy=f(t)dxdy,D,={(x,y)|0<y<Z-X,0<X</}(0</<1),求

。,明

f(x)的表达式.

(20)(本题满分11分)

设向量组4=(1,0»,%=(0，1，1)'，%=(1，3,5)7,不能由向量组

A=(1,1,1/,凡=(1，2,3),，&=(3,4,4线性表示.

(D求”的值；

(II)将4,&夕3由线性表示.

(21)(本题满分11分)

A为三阶实对称矩阵，A的秩为2,BPr(A)=2,且

T11(T1)

A00=00.

、TJUb

(I)求A的特征值与特征向量；

(II)求矩阵A.

(22)(本题满分11分)

设随机变量x与y的概率分布分别为

Kp{x2=r2)=i.

(I)求二维随机变量(x,y)的概率分布；

(H)求z=xr的概率分布；

(III)求x与丫的相关系数以一

(23)(本题满分11分)

设二维随机变量(x,y)服从区域G上的均匀分布，其中G是由

元一y=0,%+y=2与y=0所围成的区域.

(D求边缘概率密度人⑴；

(II)求条件密度函数人(x|y).

2011年考研数学三试题答案

一、选择题(1〜8小题，每小题4分，共32分.下列每题

给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前

的字母填在等断纸指定位置上.)

(1)【答案】(0.

【解析】因为1加3./sin3x=um3sinx-sinxcos2x-cosxsin2x

X->0QJQA->0cxk

=lim-4-Y

-。c?-3

所以c=4,Z=3,故答案选(C).

(2)(答案］(B).

［解析］lim//"/(/)

.\TOX

=r(o)-2r(o)=-r(o).

故答案选(B).

(3)【答案】(A).

【解析】方法i：数项级数的性质：收敛级数任意添加括号

后仍收敛，故(A)正确.

方法2：排除法，举反例.

选项⑻取〃,,=(-D",这时£(%+%)=£。收敛，但

w=in=l

£，,=力-1)"发散，故选项(B)错误;

M=1M=l

选项(0取〃“=上，这时收敛，但

几〃川〃=1几

f发散，故选项(C)错误；

”=|，曰几

选项⑻取这时£%,1-%)=£0收敛，但发

n=ln=ln=\n=\

散，故选项(D)错误.故正确答案为(A).

(4)【答案】(B).

【解析】因为0「<工时，0<sinx<cosx<1<cotx>

4

又因Inx是单调递增的函数，所以lnsinx<lncosx<lncotx.

故正确答案为(B).

(5)【答案】(D).

【解析】由于将A的第2列加到第1列得矩阵8,故

‘100、

A110=B,

、00L

即=8,A=BP；'.

由于交换8的第2行和第3行得单位矩阵，故

'100、

001B=E,

、。10>

即鸟B=E，故3=星=鸟.因此，A=P2Pt-',故选（D）.

（6）【答案】（C）.

【解析】由于7，区小是土=分的3个线性无关的解，所以

S「小是小=（）的两个线性无关的解，即Ax=（）的基础解系中

至少有2个线性无关的解，所以可排除（A）、（B）选项.

又因为A号=0,所以生产是加=0的解，不是加=力的解,

故排除⑻选项，因此选（C）.

事实上，由于九%,小是土=£的三个线性无关的解，所以

%-是Ar=（）的两个线性无关的解，即Ar=（）的基础解系中

至少有2个线性无关的解，亦即3-"AR2,故「（A）K1.由于AHO,

所以“AR1,故（4）=1.这样，加=（）的基础解系中正好有2个线

性无关的解，由此知〃2-7，〃3-7是小=。的一个基础解系.

因为7，%，小是加=力的解，所以A%=4，的3=4，因此A〃2=0,

所以生爱是心=尸的一个特解.

由非齐次线性方程组解的结构，可知Ar="的通解为

"坞+匕（％-7）+&2（%-7）•

(7)【答案】(D).

【解析】选项(D)

=['〃]耳(x)[(x)]=£(x)工(X)仁=1.

所以/K(X)+"、(X)为概率密度.

(8)【答案】(D).

【解析】因为乂心…,x“〜尸⑷,

所以E(XJ=；l,D(X,.)=A,从而有

=E(X)+：E(X)=(1+0.

因为1<1+3,所以£5)<七亿).

又因为。⑺=Xj)=4〃ax)」r>(x)=4.

Yij=]nH.n

=-^Q(X)+ZQ(X)=(-^+3]/1.

n-1n\n-\nJ

由于当心2时，;<=+'，所以力信)<。缶).

二、填空题(9〜14小题，每小题4分，共24分，请将答案

写在答博纸指定位置上.)

(9)【答案】eRi+3x).

.xrj-|3r-

【解析】因为/(力=吗%(1+3。，=%啊!(1+3，卢=x-e3x9

所以,_f(x)=e3'(l+3x).

(10)【答案】(l+21n2)3-⑼.

【解析】z=(l+W=)"号，

y

X

1.X.Xy，也=(l+2)；_勺皿1+当+土至

—ln(Zl1+—)+----—

yyyi+2dyyyyy

yy

dz

所以，丝=2ln2+l,=-l-2ln2,

心(ij)dx(ij)

从而dz，。=(l+2ln2)公—(l+2ln2)办或dz，。=(l+2ln2)(公一办).

(11)【答案】y=-2x.

【解析】方程tan[+y+f=e'的两端对x求导，有

sec2(x+y+?)(l+y)=e.y,

将x=0,y=0代入上式，有—-—(l+y')=y',解得y'|(o,o)=-2,

271I'，/

COS—

4

故切线方程为：y=-2x.

(12)【答案】9.

【解析】如图2所示:

为矩阵A的特征值.

由r(A)=1知矩阵A有两个特征值为零，从而4=3自=4=0.

由于二次型在正交变换下标准形前面的系数即为二次型所

对应矩阵的特征值，所以二次型在正交变换下的标准形为3片.

（14）【答案】+cr2）.

【解析】根据题意，二维随机变量（x,y）服从

Nd"/,/；。）.因为&=0,所以由二维正态分布的性质知随机

变量x,y独立，所以xy.从而有

E（xy2）=E（x）E（Q=〃［。⑺+4吁〃（"+/）.

三、解答题（15〜23小题，共94分.请将解答写在等题纸

指定位置上，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

（15）（本题满分10分）

[解析]|imVl+2sinx-r-l=1.mV14-2sinx-x-1

xln(l+x)x2

(16)(本题满分10分)

【解析】告=-'[(X+y),I*,y)]+以(x+y),f(x,y)]-f\x,y)

ox

由于/(1,1)=2为了(“M的极值，故于(1,1)=&'(1,1)=0,

所以，急";(2,2)+/；(2,2).九〃(1,1).

（17）（本题满分10分）

【解析】令t=>fx,贝！jx=/，必■=2tdt,所以

（18）（本题满分10分）

【解析】设/⑴=4arctanx-x+^-A/3,

则小）=懵-1(百一x)(百+X)

1+x2

令（（x）=0，解得驻点王

所以，当x<-6时，r(x)<o,故y(x)单调递减；当-G<x<\/3

时，f'(x)>01故/(x)单调递增；当x>6时，f,(x)<0,故/(x)单

调递减.

—

又当xe(—00,—A/3)U(V3,A/3)时/(x)>0,且/(-石)=0,故

XC(-00,6)时只有一个零点；

又/(V3)=y-2V3>0,

limf(x}=limf4arctanx-x+—-V3>l=-oo<0,由零点定理可知，存在

XT+OC'/X->+00I3)

X()£(6,+8),使“x0)=0；

所以，方程4arctanx-x+野—6=0恰有两实根.

(19)(本题满分10分)

【解析】Jf/(zWy=1r7(r),

M2

由题设有£f(x)dx=；,

上式两端求导，整理得

(2T)/《)=2/0)，

为变量可分离微分方程，解得N)=—J，

«-2)-

带入/(0)=1,得C=4.所以,/(%)=—^-T，0<^<1.

(x-2)

(20)(本题满分11分)

【解析】(I)由于不能由自应3线性表示，对

(凡尸2，/73，%%，03)进行初等行变换:

‘113।1onp13J101、

-»011I-112-011I-112

I14j10I

、02a-3I00a-5I2-1o>

当a=5时,r（£],&£3）=2H3，/?2，尸3，四）=3,此时，%不能由用血必

线性表示，故名,%，%不能由凡夕2,四线性表示.

（H）对⑷,火乌，4血，尸3）进行初等行变换：

’100!215、

->010；4210,

、001।-10-2,

故片=2%+4%-%,/72=%+2%，A=5%+10%一2%•

（21）（本题满分11分）

i)r-ii、

【解析】（I）由于A00=00，设4=(1,0,-1)，%=(1，0』)’，

JUb

、T

则

A（q,cr,）=（―«1,a,）,即A/=-a,,Aa2=a2>而。尸0,。2H（），知A的

特征值为4=-1，4=1,对应的特征向量分别为左回（女产0），

k2a2（hw0）•

由于r（A）=2,故网=（）,所以4=（）.

由于A是三阶实对称矩阵，故不同特征值对应的特征向量相

互正交，设％=（）对应的特征向量为%=（%，孙玉）‘，贝！।

-Tf

at%=°，即.一.=°，

a[ay=0,[玉+七=0.

解此方程组，得巴=（0，1，0）‘，故4=0对应的特征向量为30。）•

（H）由于不同特征值对应的特征向量已经正交，只需单位

化:

4嘀=正（1。可次=氤=忍（1。1）‘应谪=（。，期,

L、

令。=(片,用，凤)，贝!I0AQ=A=1,

I

z

r逝

V27-2

一-0

-2o2

2

O立

=Oo一

20

nO

1

122J

\

(22)(本题满分11分)

【解析】⑴因为P{x2=y2}=],所以

尸{X?。丫2}=1_p{x2=y2}=0.

即p{x=o,y=-i}=p{x=o,y=i}=p{x=i,y=o}=o.

利用边缘概率和联合概率的关系得到

p{x=o,y=o}=p{x=o}_p{x=o,y=_i}_p{x=o,y=i}=g；

p{x=i,y=_i}=p{y=T}_p{x=o,y=T}=g；

p{x=i,y=i}=p{y=i}—p{x=o,y=i}=；.

即(x,y)的概率分布为

口j4匕双£川—1,。,i.

p{z=、==i"-P二，

1一/八t/

p{z=i}=p{x=i,y=i}=g.

p{z=o}=i_p{z=i}_p{z=_i}=；.

z=xy的概率分布为

Cov(XY)E(xr)-E(x)-E(y)

(Ill)因为0.

Vb(x)7b(r)7b(x)Vb(y)

其中

E(xr)=E(z)=-i--+o--+i--=o,£(y)=-i--+o--+i-=o.

v7v7333')333

所以E(XF)-E(x>£(y)=(),即x,y的相关系数以=。・

(23)(本题满分11分)

【解析】二维连续型随机变量(x,y)的概率密度为

[\,0<y<\,y<x<2-y,

小'加]。,其它.

(I)当0<x<1时，/%(%)=J：f(x,y)dy=j：\dy=x.

当l〈x<2时，/x(x)=『/(Jf,y)dy-j'>\dy=2-x.

x,0<x<1,

X的边缘概率密度为%(x)=2-x,l<x<2,

0,其它.

(II)当o<y<l时，y的边缘概率密度为

力(y)=J：f(x,y)dx=J；'让=2-2y.

当0<y<l时，//(x|y)有意义，条件概率密度

2012年全国硕士研究生入学统一考试

数学三试题解析

一、选择题：1〜8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给

出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字

母填在管博纲指定位置上.

2

(1)曲线y=2渐近线的条数为()

x-1

(A)0

(B)1

(C)2

(D)3

(2)设函数/*)=叱-1)--2)…(*-〃)，其中〃为正整数，则/(0)=

(A)(-1)"-'(»-1)!

(B)(-l)"(n-l)!

(C)(-1尸〃！

(D)(-1)"«!

兀C

(3)设函数/⑺连续，则二次积分,妁£/(产网广()

(A)fylx2+y2f(x2+y2)dy

(B)/(，+/)办

(C)Qi嘘?”+/~+/)右

(D)CN工？f^+y^dy

(4)已知级数£(-1)"后sin々绝对收敛，£*条件收敛，则&

/=1〃i=]几

范围为()

(A)0<a<—

2

(B)—<a<1

2

(C)l<a<—

2

(D)—<a<2

2

'-1、

(5)设名1其中C],。2，°3，，4为任意常数,

则下列向量组线性相关的是()

(A)/,%，%(B)ava2,aA

(C)a],a3,a4(D)a2,a3,a4

(6)设A为3阶矩阵，P为3阶可逆矩阵，且KAP=1

P=(4,%,%)，。=(q+%,%，％)贝UQ"Q=°

’1p

(A)2(B)1

12

I)v乙)

"2、(2

(C)1(D)2

I2,1>

(7)设随机变量X与丫相互独立，且都服从区间(0,1)上的均匀分

布，则/刀2+丫2叫()

(A)1(B)1(O%(D)?

(8)设乂/23,兀为来自总体N(l,b2)(b>0)的简单随机样本，则

统计量产J的分布()

|X-3+X「2|

(A)N(O,1)

(B)[1)

(C)z2(i)

(D)F(l,l)

二、填空题：9?14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在

答题纸指定位置上.

]

(9)lim(tanx^sx-sinx

(10)设函数==〃/⑼，求生_______。

2x-l,x<1dxr=0

(ID函数z=/(x,y)满足lim"y-2x+y-2=o,则回。产

(12)由曲线y=±和直线尸x及>=4x在第一象限中所围图形的

X

面积为？

(13)设A为3阶矩阵，网=3,A*为A的伴随矩阵，若交换A的第

一行与第二行得到矩阵B,则四卜o

(14)设A,8,C是随机事件，AC互不相容，P(AB)=-,P(C)=~,

23

则P(A3d)=。

三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定

位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

(15)(本题满分10分)

x22-2cosx

计算lim一一

1。X4

(16)(本题满分10分)

计算二重积分Jje•'孙斌y,其中D为由曲线y=6与y=；所围区

DyJx

域。

(17)(本题满分10分)某企业为生产甲、乙两种型号的产品，

投入的固定成本为10000(万元)，设该企业生产甲、乙两种产

品的产量分别为x(件)和(y件)，且固定两种产品的边际成本

分别为20+、(万元/件)与6+y(万元/件)。

1)求生产甲乙两种产品的总成本函数C®y)(万元)

2）当总产量为50件时，甲乙两种的产量各为多少时可以使总成

本最小？求最小的成本。

3）求总产量为50件时且总成本最小时甲产品的边际成本，并解

释其经济意义。

（18）（本题满分10分）

证明：xln^-^-+cosx>1+—,-1<x<1

1—x2

（19）（本题满分10分）已知函数/（x）满足方程

/"(%)+/(%)-2/(x)=0及(x)+/(x)=2/

1）求表达式/（防

2）求曲线的拐点y=/，）［）/（-产）放

（20）（本题满分10分）

’1a00、'1、

、n01o0-1

设4=，b=

001a0

001?O

(I)求⑶

（II）已知线性方程组上会有无穷多解，求〃，并求Ari的通

解。

"1or

（21）（本题满分10分）三阶矩阵4=Oil,为矩阵A的

C0〜

转置，已知r（AZ）=2,且二次型/=

1)求“

2）求二次型对应的二次型矩阵，并将二次型化为标准型，写出

正交变换过程。

(22)(本题满分10分)

已知随机变量x,y以及xr的分布律如下表所示,

X012

P1/21/31/6

Y012

P1/31/31/3

XY0124

P7/121/301/12

求：(1)尸(X=2F);

(2)cov(x—y,y)与

(23)(本题满分10分)

设随机变量x和丫相互独立，且均服从参数为1的指数分布，

V=min(X,y),U=max(X,Y).

求(1)随机变量V的概率密度；

(2)£(t/+v).

2012年全国硕士研究生入学统一考试

数学三试题解析

一、选择题：1〜8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给

出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字

母填在答题纲指定位置上.

(1)【答案】：c

9

【解析】：lim与上=8,所以x=l为垂直的

IX-1

lim±=l,所以y=l为水平的，没有斜渐近线故两条选C

(2)【答案】：C

(3)/'(%)=ex(e2x-2)…(泮—〃)+(ex-i)(2e2x-2)…(e忒-n)+---(ev-l)(e2'-2)…—n)

所以f(O)=(T严〃！

(3)【答案】：(B)

【解析】：由xW+/解得y的卜界为，2%-甘,由+,2<2解

得y的上界为故排除答案(C)(D).将极坐标系下的二重

积分化为X-型区域的二重积分得到被积函数为/(/+y2),故选

(B).

(4)【答案】：(D)

【解析】：考察的知识点是绝对收敛和条件收敛的定义及常见的

p级数的收敛性结论.£(-1)"五5抽々绝对收敛可知Q>!；Y{-TT

条件收敛可知aW2,故答案为(D)

(5)【答案】：(C)

01-1

【解析】：由于|(%,03，04)|=0-11=C|=0,可知线

—11

c\qc4

性相关。故选(C)

(6)【答案】：(B)

'100、‘100、

【解析】：Q=p11o则Q-I=—110P',

、00L、001,

故

/]00]p001(1ooViYi00]ji、

Q-MQ=-110p-'AP110=-1101110=1

J100Jlo。1人21001)t2,

、00

故选(B)o

(7)【答案】：(D)

【解析】：由题意得，〃x,y)=/x(x)Ny)=［；

V,县匕.

P(x2+r2<1)=1|f(x,yylxdy,其中。表示单位圆在第一象限的部分,

D

被积函数是1,故根据二重积分的几何意义，知P{x2+y2q}=(,

故选(I)).

(8)【答案】：(B)

【解析】：从形式上，该统计量只能服从/分布。故选6。

X,-X?

具体证明如下：1x「x0b,由正态分布的性质可

氏+治-2|(X3+X「2丫

知，蚱强与刍告2均服从标准正态分布且相互独立，可知

>J2a\l2a

____

1"3+乂4-2

二、填空题：9?14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在

答题年指定位置上.

(9)【答案】：

lim(tanx-1)----—

_x严l_cosx-sinxj

【解析1：lim(tanx)cosx-siix=e4

.v->—

4

71

tanx-tan—

.4

lim(tanx-1)----------------rhm----------

->-cosx-sinxx”cosx-sinx

x4u4

(Y7t\

tanx----l+tanx»tan—

I4人4j

/5sin(x-

(-TV

x---1+tanx*tan,

-rI4人4j

T-可-£)

_2

=-72

lim(tan.x-1)----5----

丫0|_cosA：-sin.vJ_rr

所以lim(tan力。s.v-sin.v=e4-e

XT-

4

(10)【答案】：4

【解析】：，=/'(/(X))/'(X)L=/'(/(O))/'(O)=/'(T)/'(O)

axA,.=0n

由/(幻的表达式可知/(0)=,(-1)=2,可知今=4

.v=0

(11)【答案】：2dx-dy

【解析】：由题意可知分子应为分母的高阶无穷小，即

/(x,y)=2x-y+2+o^x2+(y-l)2)，

所以|||<OJ）=2，色|（oj）=T，故阂（OJ）=2公-办

（12）【答案】：41n2

【解析】：被积函数为1的二重积分来求，所以

（13）【答案】：-27

【解析】：由于5=与人，故8A*=E"K=|A|昂=34，

所以，|BA*H34|=33|昂|=27*（-1）=-27.

（14）【答案】：1

4

【解析】：由条件概率的定义，=

\17p（c）

其中P（C）=1-P（C）=1-；=|，

P（48e）=P（4?）-P（48C）=；—P（ABC）,由于A,C互不相容，即AC=0,

P（AC）=O,又

ABCAC,得P（ABC）=O,代入得P（AB?）=g,故2（48,）=:.

三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定

位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

A22-2cosxx2-2+2cos.r\

（15）［解析］:lim----------=lime2~2cosxlim----------

x70£x->0.r->0x，

（16）（本题满分10分）

解析】：由题意知，区域Tt

£>=<（x,y）|0<x4l,6<y<5},如图所示所以L\

（17）【解析】：1）设成本函数为C（x,y）,由~

题意有：C'（x,y）=20+^,t

对X积分得，C(x,y)=20x+£+£>(y),

4

再对Y求导有，Cy'(x,y)=D'(y)=6+y,

再对y积分有，£>(〉)=6y+；:/+c

所以，C(x,y)=20x+—+6j+—j2+c

42

.21

又C(0,0)=10000,故c=10000,所以C(x,y)=20x+土+6)+工>2+10000

42

2)若x+y=50,贝卜=50-1(0”450),代入到成本函数中，有

所以，令C(x)=|x-36=0,得x=24,y=26,这时总成本最小

0(24,26)=11118

3)总产量为50件且总成本最小时甲产品的边际成本为

C；(24,26)=32,表示在要求总产量为50件时，在甲产品为24件,

这时要改变一个单位的产量，成本会发生32万元的改变。

(18)【解析】：令=xlnt^+cosx-l-上，可得

当0<x<l时，有In匕^20,1+\>1，所以小三■•x-sinxNO,

1—X1—X1-X

故了(%)20,而“0)=0,即得xln*^^+cosx-1一土20

所以xlnl+'+cosxN±+lo

x2

当-l<x<0,Wln-!-^-<0>1+x,>］，所以"A.x—sinxWO,

1—x1—1—X

故/,BpxIn+cosx-1->0

可矢口，xln-+-+cosx>1+—

1-x2

（19）【解析】:

1)特征方程为产+―2=0,特征根为八=1,弓=-2,齐次微分方程

,x2x

r(x)+/(x)-2/(x)=0的通解为/(x)=Cte+C2e-.再由

x2x

/(%)+/1)=2/得2Qe-C2e-=2e',可知G=1,。2=。。

故/⑴="

2)曲线方程为y=e'e~'dt,贝(Jy'-\+2xex^e~rdt,

y"=2x+2(