第4章-抽样与参数估计

数据分析

(方法与案例)

作者贾俊平版权所有违者必究统计学基础(第6版)FundamentalStatistics第4章抽样与参数估计4.1

抽样与抽样分布4.2参数估计的基本方法4.3总体均值的区间估计4.4总体比例的的区间估计4.5样本容量的确定parameterestimation学习目标抽样方法与抽样分布估计量与估计值的概念点估计与区间估计的区别总体均值的区间估计方法总体比例的区间估计方法样本容量的确定方法4.1抽样与抽样分布

4.1.1概率抽样方法

4.1.2抽样分布第4章抽样与参数估计4.1.1概率抽样方法4.1抽样与抽样分布概率抽样

(probabilitysampling)也称随机抽样特点按一定的概率以随机原则抽取样本抽取样本时使每个单位都有一定的机会被抽中每个单位被抽中的概率是已知的，或是可以计算出来的当用样本对总体目标量进行估计时，要考虑到每个样本单位被抽中的概率简单随机抽样

(simplerandomsampling)从总体N个单位中随机地抽取n个单位作为样本，每个单位入抽样本的概率是相等的最基本的抽样方法，是其它抽样方法的基础特点简单、直观，在抽样框完整时，可直接从中抽取样本用样本统计量对目标量进行估计比较方便局限性当N很大时，不易构造抽样框抽出的单位很分散，给实施调查增加了困难没有利用其它辅助信息以提高估计的效率分层抽样

(stratifiedsampling)将抽样单位按某种特征或某种规则划分为不同的层，然后从不同的层中独立、随机地抽取样本优点保证样本的结构与总体的结构比较相近，从而提高估计的精度组织实施调查方便既可以对总体参数进行估计，也可以对各层的目标量进行估计系统抽样

(systematicsampling)将总体中的所有单位(抽样单位)按一定顺序排列，在规定的范围内随机地抽取一个单位作为初始单位，然后按事先规定好的规则确定其它样本单位先从数字1到k之间随机抽取一个数字r作为初始单位，以后依次取r+k，r+2k…等单位优点：操作简便，可提高估计的精度缺点：对估计量方差的估计比较困难整群抽样

(clustersampling)将总体中若干个单位合并为组(群),抽样时直接抽取群，然后对中选群中的所有单位全部实施调查特点抽样时只需群的抽样框，可简化工作量调查的地点相对集中，节省调查费用，方便调查的实施缺点是估计的精度较差4.1.2抽样分布4.1抽样与抽样分布在重复选取容量为n的样本时，由每一个样本算出的该统计量数值的相对频数分布或概率分布是一种理论分布随机变量是样本统计量样本均值,样本比例，样本方差等结果来自容量相同的所有可能样本提供了样本统计量长远我们稳定的信息，是进行推断的理论基础，也是抽样推断科学性的重要依据 抽样分布

(samplingdistribution)容量相同的所有可能样本的样本均值的概率分布一种理论概率分布进行推断总体总体均值

的理论基础 样本均值的抽样分布样本均值的抽样分布

(例题分析)【例】设一个总体，含有4个元素(个体)

，即总体单位数N=4。4

个个体分别为x1=1、x2=2、x3=3

、x4=4

。总体的均值、方差及分布如下总体分布14230.1.2.3均值和方差样本均值的抽样分布

(例题分析)

现从总体中抽取n＝2的简单随机样本，在重复抽样条件下，共有42=16个样本。所有样本的结果为3,43,33,23,132,42,32,22,124,44,34,24,141,441,33211,21,11第二个观察值第一个观察值所有可能的n=2的样本(共16个)样本均值的抽样分布

(例题分析)

计算出各样本的均值，如下表。并给出样本均值的抽样分布3.53.02.52.033.02.52.01.524.03.53.02.542.542.03211.51.01第二个观察值第一个观察值16个样本的均值(x)X样本均值的抽样分布1.00.1.2.3P(X)1.53.04.03.52.02.5样本均值的分布与总体分布的比较

(例题分析)

=2.5σ2=1.25总体分布样本均值分布样本均值的抽样分布

与中心极限定理

=50

=10X总体分布n=4抽样分布Xn=16当总体服从正态分布N~(μ,σ2)时，来自该总体的所有容量为n的样本的均值

X也服从正态分布，

X

的数学期望为μ，方差为σ2/n。即

X～N(μ,σ2/n)中心极限定理

(centrallimittheorem)当样本容量足够大时(n

30)，样本均值的抽样分布逐渐趋于正态分布中心极限定理：设从均值为

，方差为

2的一个任意总体中抽取容量为n的样本，当n充分大时，样本均值的抽样分布近似服从均值为μ、方差为σ2/n的正态分布一个任意分布的总体X抽样分布与总体分布的关系中心极限定理

(centrallimittheorem)

x的分布趋于正态分布的过程样本均值的数学期望样本均值的方差重复抽样不重复抽样样本均值的抽样分布

(数学期望与方差)总体(或样本)中具有某种属性的单位与全部单位总数之比不同性别的人与全部人数之比合格品(或不合格品)与全部产品总数之比总体比例可表示为样本比例可表示为

样本比例的抽样分布

(比例—proportion)容量相同的所有可能样本的样本比例的概率分布当样本容量很大时，样本比例的抽样分布可用正态分布近似一种理论概率分布推断总体总体比例

的理论基础 样本比例的抽样分布样本比例的数学期望样本比例的方差重复抽样不重复抽样样本比例的抽样分布

(数学期望与方差)4.2参数估计的基本原理

4.2.1估计量与估计值

4.2.2点估计与区间估计第4章抽样与参数估计4.2.1估计量与估计值4.2参数估计的基本原理参数估计(parameterestimation)就是用样本统计量去估计总体的参数估计量：用于估计总体参数的统计量的名称如样本均值，样本比例，样本方差等例如:样本均值就是总体均值

的一个估计量参数用

表示，估计量用表示估计值：估计参数时计算出来的统计量的具体值如果样本均值

x=80，则80就是

的估计值估计量与估计值

(estimator&estimatedvalue)4.2.2点估计与区间估计4.2参数估计的基本原理点估计

(pointestimate)用样本的估计量的某个取值直接作为总体参数的估计值例如：用样本均值直接作为总体均值的估计；用两个样本均值之差直接作为总体均值之差的估计无法给出估计值接近总体参数程度的信息由于样本是随机的，抽出一个具体的样本得到的估计值很可能不同于总体真值一个点估计量的可靠性是由它的抽样标准误差来衡量的，这表明一个具体的点估计值无法给出估计的可靠性的度量区间估计

(intervalestimate)在点估计的基础上，给出总体参数估计的一个估计区间，该区间由样本统计量加减估计误差而得到根据样本统计量的抽样分布能够对样本统计量与总体参数的接近程度给出一个概率度量比如，某班级平均分数在75～85之间，置信水平是95%

样本统计量

(点估计)置信区间置信下限置信上限区间估计的图示将构造置信区间的步骤重复很多次，置信区间包含总体参数真值的次数所占的比例，也称置信度表示为(1-

为是总体参数未在区间内的比例常用的置信水平值有99%,95%,90%相应的为0.01，0.05，0.10置信水平

(confidencelevel)

常用的置信水平

(confidencelevel)

置信水平90%0.100.051.64595%0.050.0251.9699%0.010.0052.58由样本估计量构造出的总体参数在一定置信水平下的估计区间统计学家在某种程度上确信这个区间会包含真正的总体参数，所以给它取名为置信区间如果用某种方法构造的所有区间中有95%的区间包含总体参数的真值，5%的区间不包含总体参数的真值，那么，用该方法构造的区间称为置信水平为95%的置信区间。同样，其他置信水平的区间也可以用类似的方式进行表述置信区间的表述

(confidenceinterval)总体参数的真值是固定的，而用样本构造的区间则是不固定的，因此置信区间是一个随机区间，它会因样本的不同而变化，而且不是所有的区间都包含总体参数实际估计时往往只抽取一个样本，此时所构造的是与该样本相联系的一定置信水平(比如95%)下的置信区间。我们只能希望这个区间是大量包含总体参数真值的区间中的一个，但它也可能是少数几个不包含参数真值的区间中的一个置信区间的表述

(confidenceinterval)当抽取了一个具体的样本，用该样本所构造的区间是一个特定的常数区间，我们无法知道这个样本所产生的区间是否包含总体参数的真值，因为它可能是包含总体均值的区间中的一个，也可能是未包含总体均值的那一个一个特定的区间总是“包含”或“绝对不包含”参数的真值，不存在“以多大的概率包含总体参数”的问题置信水平只是告诉我们在多次估计得到的区间中大概有多少个区间包含了参数的真值，而不是针对所抽取的这个样本所构建的区间而言的置信区间的表述

(confidenceinterval)置信区间的表述

(95%的置信区间)使用一个较大的置信水平会得到一个比较宽的置信区间，而使用一个较大的样本则会得到一个较准确(较窄)的区间。直观地说，较宽的区间会有更大的可能性包含参数但实际应用中，过宽的区间往往没有实际意义比如，天气预报说“在一年内会下一场雨”，虽然这很有把握，但有什么意义呢？另一方面，要求过于准确(过窄)的区间同样不一定有意义，因为过窄的区间虽然看上去很准确，但把握性就会降低，除非无限制增加样本量，而现实中样本量总是有限的区间估计总是要给结论留点儿余地置信区间的表述

(confidenceinterval)4.3总体均值的区间估计

4.3.1正态总体、方差已知或非正态总体、大样本

4.2.2正态总体、方差未知、小样本第4章抽样与参数估计4.3.1正态总体、方差已知

或非正态总体、大样本4.3总体均值的区间估计总体均值的区间估计

(正态总体、方差已知或非正态总体大样本)1. 假定条件总体服从正态分布,且方差(

２)

已知如果不是正态分布，可由正态分布来近似(n

30)使用正态分布统计量z总体均值

在1-

置信水平下的置信区间为总体均值的区间估计

(正态总体、方差已知或非正态总体大样本)【例4-2】一家食品生产企业以生产袋装食品为主，为对产量质量进行监测，企业质检部门经常要进行抽检，以分析每袋重量是否符合要求。现从某天生产的一批食品中随机抽取了25袋，测得每袋重量如下表所示。已知产品重量的分布服从正态分布，且总体标准差为10克。试估计该批产品平均重量的置信区间，置信水平为95%25袋食品的重量112.5101.0103.0102.0100.5102.6107.595.0108.8115.6100.0123.5102.0101.6102.2116.695.497.8108.6105.0136.8102.8101.598.493.3总体均值的区间估计

(正态总体、方差已知或非正态总体大样本)解：已知Ｘ~N(

，102)，n=25,1-

=95%，z

/2=1.96。根据样本数据计算得：。由于是正态总体，且方差已知。总体均值

在1-

置信水平下的置信区间为该食品平均重量的置信区间为101.44g~109.28g总体均值的区间估计

(Excel应用)

总体均值的区间估计

(Excel应用)

总体均值的区间估计

(正态总体、方差已知或非正态总体大样本)【例4-3】一家保险公司收集到由36个投保人组成的随机样本，得到每个投保人的年龄(单位：周岁)数据如下表。试建立投保人年龄90%的置信区间

36个投保人年龄的数据233539273644364246433133425345544724342839364440394938344850343945484532总体均值的区间估计

(正态总体、方差已知或非正态总体大样本)解：已知n=36,1-

=90%，z

/2=1.645。根据样本数据计算得：，

总体均值

在1-

置信水平下的置信区间为投保人平均年龄的置信区间为37.37岁~41.63岁4.3.2正态总体、方差未知、小样本4.3总体均值的区间估计总体均值的区间估计

(正态总体、方差未知、小样本)1. 假定条件总体服从正态分布,但方差(

２)

未知小样本(n<30)使用t

分布统计量总体均值

在1-

置信水平下的置信区间为总体均值的区间估计

(正态总体、方差未知、小样本)【例4-4】已知某种灯泡的寿命服从正态分布，现从一批灯泡中随机抽取16只，测得其使用寿命(单位：h)如下。建立该批灯泡平均使用寿命95%的置信区间16灯泡使用寿命的数据1510152014801500145014801510152014801490153015101460146014701470总体均值的区间估计

(正态总体、方差未知、小样本)解：已知Ｘ~N(

，2)，n=16,1-

=95%，t

/2=2.131

根据样本数据计算得：，

总体均值

在1-

置信水平下的置信区间为该种灯泡平均使用寿命的置信区间为1476.8h～1503.2h总体均值的区间估计

(Excel应用)

总体均值的区间估计

(Excel应用)

总体均值的区间估计

(小结)4.4总体比例的区间估计

第4章抽样与参数估计总体比例的区间估计

(一个总体比例)1. 假定条件总体服从二项分布可以由正态分布来近似np(成功次数)和n(1-p)(失败次数)均应该大于10使用正态分布统计量z3.总体比例

在1-

置信水平下的置信区间为总体比例的区间估计

(例题分析)【例4-5】某城市想要估计下岗职工中女性所占的比例，随机地抽取了100名下岗职工，其中65人为女性职工。试以95%的置信水平估计该城市下岗职工中女性比例的置信区间解：已知n=100，p＝65%,1-=95%，z/2=1.96该城市下岗职工中女性比例的置信区间为55.65%~74.35%

总体参数的区间估计

(小结)4.5样本量的确定

4.5.1估计总体均值时样本量的确定