高中数学：教学设计：三角函数的图象与性质

三角函数的图象与性质

一.课标要求:

1.能画出尸sinx,尸cosx,尸tanx的图像，了解三角函数的周期性；

2.借助图像理解正弦函数、余弦函数在[0,2n],正切函数在（一n/2,n/2）上的性

质（如单调性、最大和最小值、图像与x轴交点等）；

3.结合具体实例，了解尸Nsin（wx+@）的实际意义；能借助计算器或计算机画出尸Nsin

（wx+“）的图像，观察参数N,w,6对函数图像变化的影响。

二.命题走向

近几年高考降低了对三角变换的考查要求，而加强了对三角函数的图象与性质的考查，

因为函数的性质是研究函数的一个重要内容，是学习高等数学和应用技术学科的基础，又是

解决生产实际问题的工具，因此三角函数的性质是本章复习的重点。在复习时要充分运用数

形结合的思想，把图象与性质结合起来，即利用图象的直观性得出函数的性质，或由单位圆

上线段表示的三角函数值来获得函数的性质，同时也要能利用函数的性质来描绘函数的图象,

这样既有利于掌握函数的图象与性质，又能熟练地运用数形结合的思想方法。

预测07年高考对本讲内容的考察为：

1.题型为1道选择题（求值或图象变换），1道解答题（求值或图像变换）；

2.热点问题是三角函数的图象和性质，特别是尸Nsin（wx+小）的图象及其变换；

三.要点精讲

1.正弦函数、余弦函数、正切函数的图像

,7Tjr

y=sinx的t递增区间是2左»一万,2左万+万（左wZ）,

递减区间是2版■+多20+半（左"）；

y-cosx的递增区间是\2k7r-兀,2k7i\（kGZ）,

递减区间是［2左》,2左乃+»］（左wZ）,

y=tanx的递增区间是［左万一］,左乃+^］GZ）,

3.函数y=Asin（加+0）+B（其中A>。,G>0）

最大值是A+瓦最小值是5-A,周期是T=至，频率是7=色，相位是好+9,初

92万

相是0;其图象的对称轴是直线0x+0=br+W（keZ）,凡是该图象与直线y=3的交点都是

该图象的对称中心。

4.由y=sinx的图象变换出y=sin（3x+。）的图象一般有两个途径，只有区别开这两

个途径，才能灵活进行图象变换。

利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变

形，请切记每一个变换总是对字母x而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角

变化”多少。

途径一：先平移变换再周期变换（伸缩变换）

先将y=sinx的图象向左（0>0）或向右（0<0=平移Icp\个单位，再将图象上各点的

横坐标变为原来的工倍（3>0）,便得y=sin（ox+的图象。

①

途径二：先周期变换（伸缩变换）再平移变换。

先将y=sinx的图象上各点的横坐标变为原来的,倍（。>0）,再沿x轴向左（0>0）或

向右（0<0=平移回个单位，便得y=sin（3x+M的图象。

CD

5.由尸力sin（3x+o）的图象求其函数式:

给出图象确定解析式产/sin（3x+（p）的题型，有时从寻找“五点”中的第一零点（一必，0）

0）

作为突破口，要从图象的升降情况牛津第一个零点的位置。

6.对称轴与对称中心：

y=sinx的对称轴为x=左"+自，对称中心为（左乃,0）k&Z

y=cosx的对称轴为尤=左乃，对称中心为（左"+30）；

对于y=Asin（ox+0）和y=Acos（a>x+（/>）来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点

联系。

7.求三角函数的单调区间：一般先将函数式化为基本三角函数的标准式，要特别注意4

。的正负利用单调性三角函数大小一般要化为同名函数,并且在同一单调区间；

8.求三角函数的周期的常用方法：

经过恒等变形化成"y=Asin（ox+0）、y=Acos（ox+0）”的形式，在利用周期公式，

另外还有图像法和定义法。

9.五点法作尸/sin（3x+（p）的简图：

五点取法是设ix+°，由x取0、g口、寺、2n来求相应的x值及对应的y值，

再描点作图。

四.典例解析

题型1：三角函数的图象

例1.（2000全国，5）函数y=—xcosx的部分图象是（）

ABCD

解析：因为函数尸一xcosx是奇函数，它的图象关于原点对称，所以排除尔C,当x

JI、

G(0,—)时，y=—xcosx<Qa答案为D。

2

例2.（2002上海，15）函数尸x+sin|x|,[—"，的大致图象是（）

解析：由奇偶性定义可知函数y=x+sin\x\,为非奇非偶函数。选

项4D为奇函数，8为偶函数，。为非奇非偶函数。

点评：利用函数的性质来描绘函数的图象，这样既有利于掌握函数的图象与性质，又能

熟练地运用数形结合的思想方法。

题型2：三角函数图象的变换

例3.试述如何由^sin（2呜）的图象得到尸inx的图象。

解析：y=-sin(2x+—)

33

横坐标扩大为原来的2倍;y=Jsin（尤+巴）

纵坐标不变"-33

图象向右平移々个单位1

------------------------------>y=—sinx

纵坐标不变3

纵坐标扩大到原来的3倍>x

横坐标不变,"1n

另法答案：

（1）先将尸,sin（2x+-）的图象向右平移叫个单位，得尸，sin2x的图象；

3363

（2）再将广，sin2x上各点的横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变），得尸,sinx的

33

图象；

（3）再将尸Jsinx图象上各点的纵坐标扩大为原来的3倍（横坐标不变），即可得到

3

尸sinx的图象。

77

例4.（2003上海春，15）把曲线ycosx+2y~l=0先沿x轴向右平移一个单位，再沿y

2

轴向下平移1个单位，得到的曲线方程是（）

A.(1~y)sinx+2y—3=0B.(y—1)sinx+2y—3=0

C.(y+1)sin^+2y+l=0D.—(y+l)sin^+2y+l=0

jr

解析：将原方程整理为：片一-1-,因为要将原曲线向右、向下分别移动二个单位和

2+cosx2

1个单位，因此可得尸------------1为所求方程.整理得(y+1)sinx+2y+l=0.

2+cos(x—

点评：本题考查了曲线平移的基本方法及三角函数中的诱导公式。如果对平移有深刻理

7T

解，可直接化为：(y+1)cos(x——)+2(y+1)-1=0,即得。选项。

2

题型3：三角函数图象的应用

例5.已知电流/与时间大的关系式为/=Asin(O/+0)。

冗

(1)右图是/=Asin(次+0)(3>0,|^?|<—)

在一个周期内的图象，根据图中数据求/=Asin(o/+°)

的解析式；

(2)如果「在任意一段焉秒的时间内，电流/=Asin(O/+0)都能取得最大值和最小

值，那么3的最小正整数值是多少？

解析:本小题主要考查三角函数的图象与性质等基础知识，考查运算能力和逻辑推理能

力.

(1)由图可知力=300。

11

设右---，[2=---------，

900180

1

则周期T=2(ti—t\)=2(---+----)

18090075

3==150"。

T

1=0,sin(150,

又当亡=」一时，即---+0)=0,

180180

而••(P=—O

jr

故所求的解析式为/=300sin(150R+q)。

(2)依题意，周期TW」一,即至W二一,(3〉0)

150co150

3三300n>942,又SRN,

故最小正整数3=943。

点评:本题解答的开窍点是将图形语言转化为符号语言.其中，读图、识图、用图是形数

结合的有效途径。

例6.(1)(2003上海春，18)已知函数/1(x)=Jsin(OX+Q)(给0,。〉0,x©R)在

一个周期内的图象如图所示，求直线尸J3与函数f(X)图象的所见

有交点的坐标。

771

解析：根据图象得力=2,用一充一(——)=4",

22图

1X

g=一,Aj=2sin(一+0),

22

又由图象可得相位移为一生，.•.一号=一X,•,.(0--.BPj=2sin(—)

212424o

2

根据条件0=2sin(—%+—),'.—x+—=2k"+'1(NGZ)或一九+工=2N"+—"(N©Z),

24245243

jr、5

・••产4A"+—(A£Z)或A=4A"+—"(^GZ)o

66

，所有交点坐标为(4A"+工,石)或(4^^+—,73)(N©Z)。

66

点评：本题主要考查三角函数的基本知识,考查逻辑思维能力、分析和解决问题的能力。

(2)(2002全国文5,理4)在(0,2")卤1,使sinx>cosx成立的x取值范围为()

4(工，工)U(",—)B.(一,")

4244

<n\.z57r31、

C.(-,—)D.(一，JI)U(—,—)

44442

解析：c；

解法一：作出在(0,2万)区间上正弦和余弦函数的图象，解出两交点的横坐标王和红,

44

由图1可得。答案。

解法二：在单位圆上作出一、三象限的对角线，由正弦线、余弦线知应选a(如图2)

题型4：三角函数的定义域、值域

例7.(1)已知F(x)的定义域为［0,1］,求/'(cosx)的定义域；

(2)求函数尸Igsin(cosx)的定义域；

分析：求函数的定义域：(1)要使OWcosxWl,(2)要使sin(cosx)>0,这里的cosx

以它的值充当角。

解析：(1)OWcosxVln2A几一巴+三，且xW2A兀(A£Z)。

22

.•・所求函数的定义域为｛xI,2左兀+2］且,A£Z｝。

22

(2)由sin(cosx)>0n2攵rVCOSXV2AJI+兀(A£Z)。

又,:一1WcosxWl,「.OVcosxWl。

故所求定义域为｛xlx£(2^n——,2k^+-),A£Z｝。

22

点评：求三角函数的定义域，要解三角不等式，常用的方法有二：一是图象，二是三角

函数线。

例8.(2003京春，18)已知函数f(x)=6cos4x-5COSF+1,求(外的定义域，

cos2x

判断它的奇偶性，并求其值域。

jrk冗

解析：由cos2#0得2#4"+—，解得xW—+—，N©Z,所以/1(x)的定义域为｛x|及

224

「k兀、

£R且产2^—71H—,Z｝,

24

因为F(x)的定义域关于原点对称,

口、6cos4(一%)一5cos2(-%)+16cos4%—5cos2%+1、

且/■(一x)=-----------------------=------------------=f(X)。

cos(-2x)cos2x

所以/'(x)是偶函数。

又当xW红+工(ACZ)时，

24

「,、6cos4x-5cos2x+1(2cos2x-l)(3cos2x-1)、,

f<x)=------------------=----------------------=3cos2x-1o

cos2xcos2x

所以F(x)的值域为｛y|—1忘7<，或^_<7^2｝。

22

点评：本题主要考查三角函数的基本知识，考查逻辑思维能力、分析和解决问题的能力。

题型5：三角函数的单调性

例9.求下列函数的单调区间：

(1)y=-sin(———)；(2)y=~\sin(x+—)|。

2434

分析：(1)要将原函数化为产一工sin(2x—%)再求之。

234

(2)可画出尸一|sin(x+三)|的图象。

4

fzjj/1、1•z7i2x、1•z2x兀、

解：(1)T=-sin(————)=--sin(———一)。

243234

故由2An一巴W生一巴。

2342

匹WJ<3"+型(AGZ),为单调减区间；

88

由20+巴W在一汽W2Nn+—o

2342

(AGZ),为单调增区间。

88

,递减区间为［3AJT-—,3An+羽］,

88

递增区间为［30+型，3^Ji+—］(AGZ)。

88

(2)y=—|sin(x+三)|的图象的增区间为［Nn+:+—］,减区间为［An—。，

4444

4

例10.(2002京皖春文，9)函数尸2s3的单调增区间是()

TTTT

A.12kH——,2A"+—](«£Z)

22

TT4冗

B.[2A"+—,2N"+—](NGZ)

22

C.\_2kn—n,2k(NGZ)

D.\_2kJI,2N"+JC](N©Z)

解析：A；函数尸2”为增函数，因此求函数片2、皿的单调增区间即求函数尸sinx的单调

增区间。

题型6：三角函数的奇偶性

例11.判断下面函数的奇偶性：F(x)=lg(sinx+71+sin2x)□

分析：判断奇偶性首先应看定义域是否关于原点对称，然后再看/'(x)与/'(—X)的关系。

解析：定义域为R,又f(x)+f(—x)=lgl=o,

即/1(—x)=-f(x),/(x)为奇函数。

点评：定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要(但不充分)条件。

例12.(2001上海春)关于x的函数/1(x)=sinQx+(p)有以下命题：

①对任意的°,F(x)都是非奇非偶函数；

②不存在",使广(x)既是奇函数，又是偶函数；

③存在°,使F(x)是奇函数；

④对任意的°,fQx)都不是偶函数。

其中一个假命题的序号是.因为当8=时，该命题的结论不成立。

TT1T

答案：①，kJi(NWZ)；或者①，—+kn(NCZ)；或者④，—+kn(N©Z)

22

解析：当(p=2kn,N©Z时，f(x)=sinx是奇函数。当夕=2(N+1)"，N©Z时/1(x)

ITjr

二一sinx仍是奇函数。当0=2«"+万，4£Z时，fCx)=cosx,或当cp=2k兀-3,A£Z时，

f3二一cosx,f3都是偶函数.所以②和③都是正确的。无论0为何值都不能使F(x)

恒等于零。所以/>(X)不能既是奇函数又是偶函数。①和④都是假命题。

点评：本题考查三角函数的奇偶性、诱导公式以及分析问题的能力，注意NCZ不能不写,

否则不给分，本题的答案不惟一，两个空全答对才能得分。

题型7：三角函数的周期性

例13.求函数尸sin'x+cos'的最小正周期，并求为为何值时，y有最大值。

分析：将原函数化成片力sinQax+中)+8的形式，即可求解。

解析：y=sin6A+cos6A=(sin2A+cos2jr)(sin'x—sin2xcos2x+cos4x)

993935

=1—3sinjrcos^¥=l——sin2A=-COS4^+-。

488

・02-兀

・・—O

2

当cos4尸1,即肝包(A£Z)时，加口。

2

jr

例14.设/(九)=〃sinm+bcos@;(G>0)的周期T=万，最大值/(—)=4,

(1)求①、a、b的值；

(2)若夕、、。为方程/(%)=。的两根，1、、修冬边不共线，求tan。+4)的值。

解析：⑴/(%)=y/a2+b2sin(6m;+cp),:.T=re,:.a)=2,

又・・,/(%)的最大值。

*.*/(-)=4,:.4=」a2+/①,且4=asin—+bcos—(5),

121212

由①、②解出炉2,左3.

⑵/(x)=2sin2x+2岳°s2x=4sin(2x+g),—,

,4sin(2c^+y)=4sin(2/?+g),

JTTTTTJT

la+—=Ikn+2/3+—,或2。+耳=2k兀+»—(2尸+―),

TT

即a=k兀+[3(a、B共线，故舍去)，或a+(3=kji+—,

6

兀C

tan(6z+尸)—tan(左乃H—)——(kGZ)0

63

点评：方程组的思