2021-2022学年新教材人教A版必修第二册-10.1.4-概率的基本性质-学案

10.1.4概率的根本性质甲、乙两人下棋，甲不输的概率是a，两人下成平局的概率是b.【问题1】a，b的取值范围是什么？【问题2】事件“甲不输〞、“两人下成平局〞、“甲赢〞是什么关系？【问题3】甲赢的概率是多少？概率的根本性质性质1：对任意的事件A，都有__P(A)≥0__；性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P(∅)＝0．性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B).推广如果事件A1，A2，…，Am两两互斥，那么事件A1∪A2∪…∪Am发生的概率等于这m个事件分别发生的概率之和，即P(A1∪A2∪…∪Am)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(Am)．性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B).性质5：如果A⊆B，那么P(A)≤P(B)．性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，那么有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．1.本质：概率的根本性质，描述了概率的取值范围，特殊事件的概率公式．2．混淆：(1)只有当事件A与事件B互斥时，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；假设事件A与事件B不互斥，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)；(2)如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(A)＋P(B)＝1.其逆命题不一定成立．1.任一事件的概率总在(0，1)内吗？2．事件A与B的和事件的概率一定大于事件A的概率吗？3．假设P(A)＝1－P(B)，那么事件A与B是对立事件吗？4．必然事件的概率一定是1吗？提示：1.不是；2.不一定；3.不一定；4.是．教材P241性质6公式下面一行“显然，性质3是性质6的特殊情况〞，为什么？提示：性质6：P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)，是求任意两个事件的并事件的概率的公式，如果事件A与B互斥，那么A∩B＝∅，所以P(AB)＝0，公式就变为P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，即性质3.1．A与B是对立事件，且P(A)＝0.2，P(B)＝________．【解析】因为A与B对立，所以P(B)＝1－P(A)＝1－0.2＝0.8.2．一枚均匀的正六面体骰子，设A表示事件“出现3点〞，B表示事件“出现偶数点〞，那么P(A∪B)等于________．【解析】显然事件A与事件B互斥，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝eq\f(1,6)＋eq\f(3,6)＝eq\f(2,3).答案：eq\f(2,3)根底类型一互斥事件的概率(逻辑推理、数学运算)1.假设A，B是互斥事件，P(A)＝0.2，P(A∪B)＝0.5，那么P(B)等于()A．0.3B．0.7C．0.1D．1【解析】选A.因为A，B是互斥事件，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.5，因为P(A)＝0.2，所以P(B)＝0.5－0.2＝0.3.2．围棋盒子中有多粒黑子和白子，从中取出2粒都是黑子的概率为eq\f(1,7)，从中取出2粒都是白子的概率是eq\f(12,35)，那么从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是()A．eq\f(1,7)B．eq\f(12,35)C．eq\f(17,35)D．1【解析】选C.设“从中取出2粒都是黑子〞为事件A，“从中取出2粒都是白子〞为事件B，“任意取出2粒恰好是同一色〞为事件C，那么C＝A∪B，且事件A与事件B互斥．所以P(C)＝P(A)＋P(B)＝eq\f(1,7)＋eq\f(12,35)＝eq\f(17,35).即任意取出2粒恰好是同一色的概率为eq\f(17,35).3．某城市的空气质量状况如下表所示：污染指数T3060100110130140概率Peq\f(1,10)eq\f(1,6)eq\f(1,3)eq\f(7,30)eq\f(2,15)eq\f(1,30)其中污染指数T≤50时，空气质量为优；50＜T≤100时，空气质量为良；100＜T≤150时，空气质量为轻微污染．该城市空气质量到达良或优的概率为________．【解析】所求概率为eq\f(1,10)＋eq\f(1,6)＋eq\f(1,3)＝eq\f(3,5).答案：eq\f(3,5)互斥事件的概率的加法公式的关注点(1)公式：P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；(2)条件：A，B两事件是互斥事件；(3)目的：求互斥的两个事件的并事件的概率；(4)推广：公式可推广为求有限个互斥事件的并事件的概率．根底类型二对立事件的概率(逻辑推理、数学运算)【典例】(1)某射手在一次射击中，射中10环、9环、8环的概率分别为0.2，0.3，0.1，那么此射手在一次射击中不超过8环的概率为()B．0.3C【解析】选A.此射手在一次射击中不超过8环的概率为1－0.2－0.3＝0.5.(2)同时抛掷两枚骰子，既不出现5点也不出现6点的概率为eq\f(4,9)，那么5点或6点至少出现一个的概率是________.【解析】记事件A＝“既不出现5点也不出现6点〞，那么P(A)＝eq\f(4,9)，事件B＝“5点或6点至少出现一个〞．因A∩B＝∅，A∪B为必然事件，故A与B为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)＝1－eq\f(4,9)＝eq\f(5,9).答案：eq\f(5,9)公式P(A)＝1－P(eq\x\to(A))的应用说明(1)当直接求某一事件的概率较为复杂或根本无法求时，常常使用该公式转化为求其对立事件的概率．(2)该公式的使用实际是运用逆向思维(正难那么反)，比拟适合含有“至多〞，“至少〞，“最少〞等关键词语型题目．一商店有奖促销活动中只有一等奖与二等奖两个奖项，其中中一等奖的概率为0.1，中二等奖的概率为0.25，那么不中奖的概率为________．【解析】中奖的概率为0.1＋0.25＝0.35，中奖与不中奖互为对立事件，所以不中奖的概率为1－0.35＝0.65.【加固训练】在数学考试中，小明的成绩在90分及90分以上的概率是0.18，在80～89分(包括80分与89分，下同)的概率是0.51，在70～79分的概率是0.15，在60～69分的概率是0.09，60分以下的概率是0.07.计算以下事件的概率：(1)小明在数学考试中取得80分及80分以上的成绩；(2)小明考试及格．【解析】分别记小明的成绩在“90分及90分以上〞，在“80～89分〞，在“70～79分〞，在“60～69分〞为事件B，C，D，E，显然这四个事件彼此互斥．(1)小明的成绩在80分及80分以上的概率是P(B＋C)＝P(B)＋P(C)＝0.18＋0.51＝0.69..法二：因为小明考试不及格的概率是0.07，所以小明考试及格的概率是1－0.07＝0.93.综合类型概率性质的综合应用(数学建模、逻辑推理)与古典概型的综合应用【典例】一个盒子里有三张卡片，分别标记有数字1，2，3，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a，b，c.(1)求“抽取的卡片上的数字满足|a－b|＝c〞的概率；(2)求“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同〞的概率．【解析】(1)由题意知，(a，b，c)所有的可能结果为(1，1，1)，(1，1，2)，(1，1，3)，(1，2，1)，(1，2，2)，(1，2，3)，(1，3，1)，(1，3，2)，(1，3，3)，(2，1，1)，(2，1，2)，(2，1，3)，(2，2，1)，(2，2，2)，(2，2，3)，(2，3，1)，(2，3，2)，(2，3，3)，(3，1，1)，(3，1，2)，(3，1，3)，(3，2，1)，(3，2，2)，(3，2，3)，(3，3，1)，(3，3，2)，(3，3，3)，共27种．设“抽取的卡片上的数字满足|a－b|＝c〞为事件A，“抽取的卡片上的数字满足a－b＝c〞为事件B，“抽取的卡片上的数字满足b－a＝c〞为事件C.那么事件B包括(2，1，1)，(3，1，2)，(3，2，1)，共3种，所以P(B)＝eq\f(3,27)＝eq\f(1,9)；事件C包括(1，2，1)，(1，3，2)，(2，3，1)，共3种，所以P(C)＝eq\f(3,27)＝eq\f(1,9).由于事件B与事件C是互斥事件，且A＝B∪C，所以P(A)＝P(B)＋P(C)＝eq\f(2,9).即“抽取的卡片上的数字满足|a－b|＝c〞的概率为eq\f(2,9).(2)设“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同〞为事件B，那么事件B的对立事件eq\x\to(B)包括(1，1，1)，(2，2，2)，(3，3，3)，共3种，所以P(B)＝1－P(eq\x\to(B))＝1－eq\f(3,27)＝eq\f(8,9).即“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同〞的概率为eq\f(8,9).本例条件不变，求“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c〞的概率．【解析】设“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c〞为事件A，那么事件A包括(1，1，2)，(1，2，3)，(2，1，3)，共3种．所以P(A)＝eq\f(3,27)＝eq\f(1,9).即“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c〞的概率为eq\f(1,9).与古典概型的综合问题的转化策略(1)设法把一个复杂事件分拆为几个互斥事件，然后求出各事件的概率，用加法公式得出结果．(2)当直接计算复合条件的事件的概率比拟麻烦时，可间接地计算出其对立事件的概率，再用对立事件的概率公式求解．【加固训练】某学校的篮球队、羽毛球队、乒乓球队各有10名队员，某些队员不止参加了一支球队，具体情况如下图，现从中随机抽取一名队员，求：(1)该队员只属于一支球队的概率；(2)该队员最多属于两支球队的概率．【解析】分别令“抽取一名队员只属于篮球队、羽毛球队、乒乓球队〞为事件A，B，C.由图知3支球队共有球员20名，那么P(A)＝eq\f(5,20)，P(B)＝eq\f(3,20)，P(C)＝eq\f(4,20).(1)令“抽取一名队员，该队员只属于一支球队〞为事件D.那么D＝A＋B＋C，因为事件A，B，C两两互斥，所以P(D)＝P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝eq\f(5,20)＋eq\f(3,20)＋eq\f(4,20)＝eq\f(3,5).(2)令“抽取一名队员，该队员最多属于两支球队〞为事件E，那么eq\x\to(E)为“抽取一名队员，该队员属于3支球队〞，所以P(E)＝1－P(eq\x\to(E))＝1－eq\f(2,20)＝eq\f(9,10).与统计图表的综合应用2021年被称为“新高考元年〞，随着上海、浙江两地顺利实施“语数外＋3”新高考方案，新一轮的高考改革在全国推进．某学校选出高一的200名学生进行了“学生模拟选课数据〞调查，每个学生只能从表格中的4种课程组合选择一种学习．模拟选课数据统计如下表：组合物化生A政历地B物化地C生历地D男生E4052520女生F15551030从这200名学生中随机选一名学生，求以下概率：(1)P(A)，P(C)，P(E)；(2)P(AC)，P(AE)；(3)P(A∪C)，P(A∪E).【解析】根据表格数据，男生E有90人，选A，C组合的人数分别为55人、35人，故：(1)P(A)＝eq\f(55,200)＝eq\f(11,40)，P(C)＝eq\f(35,200)＝eq\f(7,40)，P(E)＝eq\f(90,200)＝eq\f(9,20).(2)因为A∩C＝∅，所以P(AC)＝0；因为事件A∩E有40人，所以P(AE)＝eq\f(40,200)＝eq\f(1,5).(3)事件A、C是互斥事件，所以Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A∪C))＝Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A))＋Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(C))＝eq\f(11,40)＋eq\f(7,40)＝eq\f(9,20)；事件A、E不是互斥事件，所以Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A∪E))＝Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A))＋Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(E))－Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(AE))＝eq\f(11,40)＋eq\f(9,20)－eq\f(1,5)＝eq\f(21,40).概率与统计图表的综合问题的关注点(1)读懂统计图表；(2)把频率看作概率．【加固训练】从某学校高三年级共800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组[155，160)，第二组[160，165)，…，第八组[190，195]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一局部，第六组比第七组多1人，第一组和第八组人数相同．(1)求第六组、第七组的频率并补充完整频率分布直方图．(2)假设从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名，记他们的身高分别为x，y，求|x－y|≤5的概率．【解析】(1)由频率分布直方图知，前五组的频率为(0.008＋0.016＋0.04＋0.04＋0.06)×5＝0.82，所以后三组的频率为1－0.82＝0.18，人数为0.18×50＝9，由频率分布直方图得第八组的频率为0.008×5＝0.04，人数为0.04×50＝2，设第六组人数为m，那么第七组人数为m－1，又m＋m－1＋2＝9，所以m＝4，即第六组人数为4，第七组人数为3，频率分别为0.08，0.06，频率除以组距分别等于0.016，0.012，那么完整的频率分布直方图如下图：(2)由(1)知身高在[180，185)内的男生有四名，设为a，b，c，d，身高在[190，195]内的男生有两名，设为A，B.假设x，y∈[180，185)，有ab，ac，ad，bc，bd，cd共6种情况；假设x，y∈[190，195]，只有AB这1种情况；假设x，y分别在[180，185)，[190，195]内，有aA，bA，cA，dA，aB，bB，cB，dB共8种情况，所以根本领件的总数为6＋8＋1＝15，事件|x－y|≤5包含的根本领件的个数为6＋1＝7，故所求概率为eq\f(7,15).创新思维概率的应用(逻辑推理)【典例】在一次联欢会上，参演的女演员比男演员多12人，从所有演员中随机抽取一人，抽到男演员的概率是eq\f(9,20)，那么参加演出的演员共有________人．【解析】设参加演出的演员共有x人，由于从所有演员中抽取一人，“抽到男演员〞和“抽到女演员〞是对立事件，所以抽到女演员的概率为1－eq\f(9,20)＝eq\f(11,20)，由题意，eq\f(11,20)x－eq\f(9,20)x＝12，解得x＝120.答案：120概率，利用逆向思维求解．【加固训练】在5件产品中，有3件一级品和2件二级品，从中任取2件，以下事件中概率为eq\f(7,10)的是()A．都是一级品B．都是二级品C．一级品和二级品各1件D．至少有1件二级品【解析】选D.样本点总数为10，2件都是一级品包含3个样本点，其概率为eq\f(3,10)，其对立事件是至少有1件二级品，且概率为eq\f(7,10).1．假设A与B为互斥事件，那么()A．P(A)＋P(B)<1B．P(A)＋P(B)>1C．P(A)＋P(B)＝1D．P(A)＋P(B)≤1【解析】选D.假设A与B为互斥事件，那么P(A)＋P(B)≤1.2．从1，2，3，…，30这30个数中任意摸出一个数，那么事件“摸出的数是偶数或能被5整除的数〞的概率是()A．eq\f(7,10)B．eq\f(3,5)C．eq\f(4,5)D．eq\f(1,10)【解析】选B.法一：这30个数中“是偶数〞的有15个，“能被5整除的数〞有6个，这两个事件不互斥，既是偶然又能被5整除的数有3个，所以事件“是偶数或能被5整除的数〞包含的样本点是18个，而样本点共有30