2021-2022学年新教材人教A版必修第二册-7.2.1-复数的加减运算及其几何意义-学案

7．2复数的四那么运算7．2.1复数的加、减运算及其几何意义【问题1】复数集内可进行复数的加减运算吗？【问题2】复数的加减运算有什么运算法那么吗？【问题3】复数的加减运算有什么几何意义呢？1．复数的加、减法运算法那么设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，那么z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i，z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i．2．复数加法的运算律(1)交换律：z1＋z2＝z2＋z1；(2)结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．1．本质：复数的加法与减法运算就是把两个复数的实部与实部、虚部与虚局部别相加(减).2．混淆：复数的加、减运算，应注意以下几点(1)一种规定：复数代数形式的加法法那么是一种规定，减法是加法的逆运算；特殊情形：当复数的虚部为零时，与实数的加法、减法法那么一致．(2)运算律：实数加法的交换律、结合律在复数集中仍成立．实数的移项法那么在复数中仍然成立．(3)运算结果：两个复数的和(差)是唯一确定的复数．假设复数z1，z2满足z1－z2>0，能否认为z1>z2?提示：不能，如2＋i－i>0，但2＋i与i不能比拟大小．3．复数加、减法的几何意义如下图，设复数z1，z2对应向量分别为eq\o(OZ,\s\up6(→))1，eq\o(OZ,\s\up6(→))2，四边形OZ1ZZ2为平行四边形，向量eq\o(OZ,\s\up6(→))与复数z1＋z2对应，向量与复数z1－z2对应．类比绝对值|x－x0|的几何意义，|z－z0|(z，z0∈C)的几何意义是什么？提示：|z－z0|(z，z0∈C)的几何意义是复平面内点Z到点Z0的距离．1.两个虚数的和或差可能是实数吗？2．复数加法的运算法那么类同于实数的加法法那么吗？3．复数的加法可以推广到多个复数相加的情形吗？4．(z1－z2)－z3＝z1－(z2＋z3)成立吗？1．复数z1＝2－eq\f(1,2)i，z2＝eq\f(1,2)－2i，那么z1＋z2等于()A．0B．eq\f(3,2)＋eq\f(5,2)iC．eq\f(5,2)－eq\f(5,2)iD．eq\f(5,2)－eq\f(3,2)i【解析】选C.z1＋z2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(1,2)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)－2))i＝eq\f(5,2)－eq\f(5,2)i.2．向量eq\o(OZ,\s\up6(→))1对应的复数为2－3i，向量eq\o(OZ,\s\up6(→))2对应的复数为3－4i，那么向量对应的复数为________．【解析】＝－＝(3－4i)－(2－3i)＝1－i.答案：1－i根底类型一复数的加法、减法运算(数学运算)1．a，b为实数，设z1＝2＋bi，z2＝a＋i，当z1＋z2＝0时，复数a＋bi为()A．1＋iB．2＋iC．3D．－2－i2．(2021·温州高一检测)假设复数z满足z＋(5－6i)＝3，那么z的虚部是()A．－2iB．6iC．1D．63．复数z满足z＋1－3i＝5－2i，那么z＝________．【解析】z1＝2＋bi，z2＝a＋i，所以z1＋z2＝2＋bi＋(a＋i)＝0，所以a＝－2，b＝－1，即a＋bi＝－2－i.2．选D.z＝3－(5－6i)＝－2＋6i，那么z的虚部是6.3．方法一：设z＝x＋yi(x，y∈R)，因为z＋1－3i＝5－2i，所以x＋yi＋(1－3i)＝5－2i，即x＋1＝5且y－3＝－2，解得x＝4，y＝1，所以z＝4＋i.答案：4＋i.方法二：因为z＋1－3i＝5－2i，所以z＝(5－2i)－(1－3i)＝4＋i.答案：4＋i复数加、减运算的法那么(1)复数代数形式的加、减法运算实质就是将实部与实部相加减，虚部与虚部相加减之后分别作为结果的实部与虚部，因此要准确地提取复数的实部与虚部．(2)复数的运算可以类比多项式的运算(类似于合并同类项)：假设有括号，括号优先；假设无括号，可以从左到右依次进行计算．微提醒：当一个等式中同时含有|z|与z时，一般用待定系数法，设z＝x＋yi(x，y∈R).根底类型二复数加法的几何意义(数学抽象、数学运算)【典例】如图，平行四边形OABC的顶点O，A，C对应复数分别为0，3＋2i，－2＋4i，试求(1)eq\o(AO,\s\up6(→))所表示的复数，eq\o(BC,\s\up6(→))所表示的复数；(2)对角线eq\o(CA,\s\up6(→))所表示的复数；(3)对角线eq\o(OB,\s\up6(→))所表示的复数及eq\o(OB,\s\up6(→))的长度．【思路探求】要求某个向量对应的复数，只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量的相等直接给出所求的结论．【解析】(1)eq\o(AO,\s\up6(→))＝－eq\o(OA,\s\up6(→))，所以eq\o(AO,\s\up6(→))所表示的复数为－3－2i.因为eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AO,\s\up6(→))，所以eq\o(BC,\s\up6(→))所表示的复数为－3－2i.(2)eq\o(CA,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→)).所以eq\o(CA,\s\up6(→))所表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.(3)对角线eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))，它所对应的复数z＝(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i，|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝eq\r(12＋62)＝eq\r(37).利用复数加减运算的几何意义解题的技巧及常见结论(1)形转化为数：利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理．(2)数转化为形：对于一些复数运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于几何之中．(2021·苏州高一检测)如图，在复平面上，一个正方形的三个顶点A，B，O.对应的复数分别是1＋2i，－2＋i，0，那么这个正方形的第四个顶点C对应的复数为()A．3＋iB．3－iC．1－3iD．－1＋3i【解析】选D.因为eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))，所以eq\o(OC,\s\up6(→))对应的复数为1＋2i－2＋i＝－1＋3i，所以点C对应的复数为－1＋3i.综合类型复数模的最值问题(数学运算、逻辑推理)代数法求复数模的最值【典例】复数z1＝1＋icosθ，z2＝sinθ－i，那么|z1－z2|的最大值为()A．3－2eq\r(2)B．eq\r(2)－1C．3＋2eq\r(2)D．eq\r(2)＋1【思路导引】根据复数的代数形式，求出复数z1－z2，再根据三角函数的有界性求出复数模的最大值．【解析】选D.|z1－z2|＝|(1＋icosθ)－(sinθ－i)|＝eq\r(〔1－sinθ〕2＋〔1＋cosθ〕2)＝eq\r(3－2〔sinθ－cosθ〕)＝eq\r(3－2\r(2)sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4))))≤eq\r(3＋2\r(2))＝eq\r(2)＋1.利用代数法求复数模的最值，先根据复数的加减运算对复数进行运算，再结合其它数学知识求出最值．【加固训练】复数z1＝cosθ＋i，z2＝sinθ－i，那么|z1－z2|的最大值为()A．eq\r(3)B．eq\r(5)C．6D．eq\r(6)【解析】选D.由题意，得|z1－z2|＝|(cosθ－sinθ)＋2i|＝eq\r(〔cosθ－sinθ〕2＋4)＝eq\r(5－2sinθcosθ)＝eq\r(5－sin2θ)≤eq\r(6)，故|z1－z2|的最大值为eq\r(6).几何法求复数模的最值【典例】如果复数z满足|z＋i|＋|z－i|＝2，那么|z＋i＋1|的最小值是()A．1B．eq\f(1,2)C．2D．eq\r(5)【解析】选A.设复数－i，i，－1－i在复平面内对应的点分别为Z1，Z2，Z3，因为|z＋i|＋|z－i|＝2，|Z1Z2|＝2，所以点Z的集合为线段Z1Z2.问题转化为：动点Z在线段Z1Z2上移动，求|ZZ3|的最小值，因为|Z1Z3|＝1，所以|z＋i＋1|min＝1.假设典例条件改为“设复数z满足|z－3－4i|＝1”，求|z|的最大值．【解析】因为|z－3－4i|＝1所以复数z所对应点在以C(3，4)为圆心，半径为1的圆上，由几何性质得|z|的最大值是eq\r(32＋42)＋1＝6.复数的模的几何意义：复数的模的几何意义是复数所对应的点到原点的距离．利用此性质，可把复数模的问题转化为复平面内两点间的距离问题，从而进行数形结合，把复数问题转化为几何图形问题求解．【加固训练】设z∈C，且|z－i|＝|z－1|，那么复数z在复平面内的对应点Z(x，y)的轨迹方程是________，|z＋i|的最小值是________．【解析】|z－i|＝|z－1|表示复数z在复平面内的对应点Z到点A(0，1)，B(1，0)的距离相等，是线段AB的垂直平分线，所以点Z轨迹方程是x－y＝0.|z＋i|的最小值为点(0，－1)到直线x－y＝0的距离，所以|z＋i|min＝eq\f(\r(2),2).答案：x－y＝0eq\f(\r(2),2)1．(2021·杭州高一检测)复数z1＝3＋4i，z2＝3－4i，那么z1＋z2＝()A．8iB．6C．6＋8iD．6－8i【解析】选B.z1＋z2＝3＋4i＋3－4i＝(3＋3)＋(4－4)i＝6.2．假设(－3a＋bi)－(2b＋ai)＝3－5i，a，b∈R，那么a＋b＝()A．eq\f(7,5)B．－eq\f(11,5)C．－eq\f(18,5)D．5【解析】选B.(－3a＋bi)－(2b＋ai)＝(－3a－2b)＋(b－a)i＝3－5i，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－3a－2b＝3，,b－a＝－5，))解得a＝eq\f(7,5)，b＝－eq\f(18,5)，故有a＋b＝－eq\f(11,5).3．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，假设向量eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))对应的复数分别是3＋i，－1＋3i，那么eq\o(CD,\s\up6(→))对应的复数是()A．2＋4iB．－2＋4iC．－4＋2iD．4－2i【解析】选D.依题意有eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))，而(3＋i)－(－1＋3i)＝4－2i，即eq\o(CD,\s\up6(→))对应的复数为4－2i.4．复数z1＝a2－3－i，z2＝－2a＋a2i，假设z1＋z2是纯虚数，那么实数a＝________．【解析】由条件知z1＋z2＝a2－2a－3＋(a2－1)i，又z1＋z2是纯虚数，所以eq\b\lc\{(