2023-2024学年福建省福州市金山中学高一（下）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年福建省福州市金山中学高一（下）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知复数z1=1+3i，z2=3+i，则zA.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.在△ABC中，A=60°，AB=1，AC=2，则S△ABC的值为(

)A.12 B.32 C.3.已知向量a=(3,2)，b=(−1,1)，则|2aA.10 B.5 C.58 4.如图所示，一个水平放置的四边形OABC的斜二测画法的直观图是边长为2的正方形O′A′B′C′，则原四边形OABC的面积是(

)A.162

B.82

C.5.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，E，F，G分别是ABA.32 B.62 C.6.已知不共线的向量a、b，若向量a−kb与ka−b共线，则实数A.1 B.±1 C.±2 7.如图，在△ABC中，AD=23AC，BP=13PD，若APA.1112 B.3C.89 D.8.桂林日月塔又称金塔银塔、情侣塔，日塔别名叫金塔，月塔别名叫银塔，所以也有金银塔之称.如图1，这是金银塔中的金塔，某数学兴趣小组成员为测量该塔的高度，在塔底O的同一水平面上的A，B两点处进行测量，如图2.已知在A处测得塔顶P的仰角为60°，在B处测得塔顶P的仰角为45°，AB=25米，∠AOB=30°，则该塔的高度OP=(

)A.252米 B.253米 C.50米二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知复数z的虚部不为零，同时满足z⋅z−=1，则A.|z−|=1 B.z+1z−1为纯虚数

C.z在复平面内对应的点在实轴上 10.已知a、b、c是任意的非零向量，则下列结论正确的是(

)A.非零向量a、b，满足|a|>|b|且a与b同向，则a>b

B.a⋅b≤|a|⋅|b11.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列说法正确的是(

)A.若sinA<sinB，则A<B

B.若△ABC是锐角三角形，sinA<cosB恒成立

C.若a=10，b=9，B=60°，则符合条件的△ABC有两个

D.若B=60°，b2=ac，则12.某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台O1O2，在轴截面ABCD中，AB=AD=BC=2cm，且CD=2ABA.该圆台轴截ABCD面面积为33cm2

B.该圆台的体积为73π3cm3三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.若1+2i是实系数方程x2+ax+b=0的一个根，则a⋅14.如图为了测量A，C两点间的距离，选取同一平面上B，D两点，测出四边形ABCD的各边的长度(单位：km)：AB=5,BC=8,CD=3,DA=5，如图所示，且A、B、C、D四点共圆，则AC的长为

km．

15.已知一个正四棱锥的底面边长为2，高为3，则该正四棱锥的表面积为______．16.已知梯形中ABCD，AD//BC，∠B=π3，AB=AD=2，BC=4，点P，Q在线段BC上移动，且PQ=1，则DP⋅四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题10分)

已知圆柱高为4，母线与侧面展开图的对角线成60°角，求该圆柱的体积．18.(本小题12分)

若复数z1=1+ai(a∈R)，复数z2=3−4i．

(1)若z1+z2∈R，求实数a19.(本小题12分)

已知向量a=(2,−1)，|b|=2．

(1)若(2a+b)⋅b=4，求a与20.(本小题12分)

已知△ABC中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，若(2a−c)cosB−bcosC=0．

(1)求角B的大小；

(2)若b=2，求a+c的取值范围．21.(本小题12分)

已知在圆锥SO中，底面⊙O的直径AB=12，△SAB的面积为48．

(1)求圆锥SO的表面积；

(2)一球刚好放进该圆锥体中，求这个球的半径以及此时圆锥体剩余空间．22.(本小题12分)

如图，在△ABC中，已知AB=4，AC=10，∠BAC=60°，BC边上的中点为M，AC边上的中点为N，AM，BN相交于点P．

(1)求BC；

(2)求AM与BN夹角的余弦值；

(3)过点P作直线交边AB，BC于点E，F，求该直线将△ABC分成的上下两部分图形的面积之比的取值范围．

参考答案1.B

2.B

3.C

4.B

5.D

6.B

7.A

8.B

9.AB

10.BD

11.ACD

12.ABD

13.−12

14.7

15.12

16.11417.解：设圆柱的底面半径为r，则侧面展开图是一个长为2πr，宽为4的矩形，

依题意2πr4=tan60°，即r=23π18.解：(1)由已知z1+z2=4+(a−4)i∈R，则a−4=0，解得a=4．

(2)当19.解：(1)因为a=(2,−1)，|b|=2，所以|a|=22+(−1)2=5，

又(2a+b)⋅b=4，所以2a⋅b+b2=4，即2a⋅b+(2)2=4，所以a⋅b=1，

设a与b夹角为θ20.解：(1)∵(2a−c)cosB−bcosC=0，

∴(2sinA−sinC)cosB−sinBcosC=0，

∴2sinAcosB−sin(B+C)=0，

∵A+B+C=π，

∴sin(B+C)=sin(π−A)=sinA，

∴2sinAcosB−sinA=0，

∵sinA>0，

∴cosB=12，

∵B∈(0,π)，

∴B=π3；

(2)由B=π3，b=2，

可得：b2=a2+c2−ac=(a+c21.解：(1)设圆锥SO的母线长为l，底面⊙O的直径为2r，所以2r=12，

因为△SAB的面积为48，所以S△SAB=12⋅2r⋅SO=48，解得SO=8，

由勾股定理，可得母线l=SO2+r2=10，

由圆锥的表面积公式有：S表=S侧+S底=πrl+πr2=60π+36π=96π；

(2)如图所示，作出圆锥的轴截面，球与圆锥侧面相切，设球心为D，

则DE⊥SB于E，DE=OD=R(其中R为球的半径)，

则△SED∽22.解：(1)在△ABC中，且AB=4，AC=10，由余弦定理得12=16+100−BC22×4×10，解得BC=219，(负根舍去)，故BC=219．

以A为原点，建立平面直角坐标系，易知A(0,0)，C(10,0)，

如图所示：

设B(x,y)，由两点间距离公式得x2+y2=16(x−10)2+y2=76，解得x=2，y=23，(负根舍去)，