2024-2025学年上海市黄浦区格致中学高三（上）开学数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年上海市黄浦区格致中学高三（上）开学数学试卷一、单选题：本题共4小题，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知气候温度和海水表层温度相关，且相关系数为负数，对此描述正确的是(

)A.气候温度高，海水表层温度就高

B.气候温度高，海水表层温度就低

C.随着气候温度由低到高，海水表层温度呈上升趋势

D.随着气候温度由低到高，海水表层温度显下降趋势2.若f(x)=cosx−sinx在[0,a]是减函数，则a的最大值是(

)A.π4 B.π2 C.3π43.关于空间向量，以下说法错误的是(

)A.空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面

B.若a⋅b>0，则a与b的夹角是锐角

C.已知向量a、b、c是不共面的向量，则2a、b、c−a也是不共面的向量

D.若对空间中任意一点O，有OP=1124.设f(x)=23x3−ax2+1，有下列命题：

①当a>0时，函数y=f(x)有三个零点；

②当a<0时，x=0是函数y=f(x)的极大值点；

③存在实数a，b，使得函数y=f(x)在区间[b,a]上存在最大值1；

④存在实数a，使得点(0,f(0))A.0 B.1 C.2 D.3二、填空题：本题共12小题，共54分。5.已知全集U={1,2,3,4,6,9}，A={x|x∈U且x∈U}，则A6.已知f(x)=ax,x<0x+a2,x≥0,若函数y=f(x)7.已知关于x的二次不等式x2−ax+3≤0的解集为[1,3]，则不等式x2−3x−a>0的解集为______8.已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≤0时，f(x)=lg(x2+a)，则9.已知向量a=(−1,1)，b=(1,x)(x∈R)，若b//(2a−3b10.已知在(x+a)5的二项展开式中，各项系数和为−32，则展开式中，含x311.已知抛物线y2=4x的准线为l，若以此抛物线上一点P为圆心的圆既与l相切，又与x轴相切，则所得圆的半径为______．12.某工厂有四条流水线生产同一产品，已知这四条流水线的产量分别为30000只、40000只、60000只和70000只，又知这四条流水线的产品合格率依次为0.95、0.96、0.97和0.98，则从该厂的这一产品中任取一件，抽到不合格品的概率是______．13.已知z为虚数，其实部为1，且z+2iz=2−mi(其中i为虚数单位)，则实数m14.从0，1，2，3，4，5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为______.

(用数字作答)15.如图，已知点C在点O的正北方向，点A、点B分别在点O的正西、正东方向，且sin∠ACB=47，sin(A−B)=27，AB=4，若∠ACB16.已知数列{an}的通项公式是an=2n−1，记bm为{an}三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题13分)

如图，在三棱锥P−ABC中，AB=BC=32，PA=PB−PC=AC=6，点O是AC的中点．

(1)求△POB绕PO旋转一周形成的几何体的体积；

(2)点M在棱BC上，且BM=13BC，求直线PC与平面18.(本小题13分)

已知f(x)=a⋅bx(a,b∈R且b>0)，且满足f(3)+f(1)⋅f(5)=6，f(6)=16．

(1)求函数y=f(x)的解析式；

(2)函数y=g(x)(x>0)满足条件f(g(x))=x，若存在实数x，使得g(x+1)、g(λx)19.(本小题16分)

某地生产队在面积相等的50000块稻田上种植一种新型水稻，从中抽取100块得到各块稻田的亩产量(单位：kg)与优质频数并部分整理成下表(最终亩产量均在900kg到1200kg之间)亩产量[900,950)[950,1000)[1000,1050)[1100,1150)[1150,1200)优质频数51014186普通频数12464(1)这50000块稻田中，亩产量在[1050,1100)的频数约为多少？

(2)估计这片稻田的平均亩产量(单位kg)；

(3)已知在100块抽取稻田中亩产量在[1050,1100)的优质稻田有25块，是否有0.95的把握认为产品是否优质与亩产量不少于1050kg且少于1200kg有关？(参考公式：χ2=20.(本小题18分)

已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F，点P(3,332)在C上，且PF⊥x轴．

(1)求椭圆C的方程；

(2)过点M(43,0)及点A(0,3)的直线与椭圆C交于另一点B，N为线段FM的中点，直线NB与直线PF交于点Q，求直线AQ的方程；

(3)设过点M(43,0)的直线l21.(本小题18分)

已知f(x)=(1−ax)ln(1+x)−x．

(1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；

(2)当a=−2时，求函数y=f(x)的极值；

(3)当x≥0时，f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围．参考答案1.D

2.C

3.B

4.C

5.{2,3,6}

6.{a|a≥2}

7.(−∞,−1)∪(4,+∞)

8.−1

9.−1

10.90

11.2

12.0.0315

13.−2

14.180

15.316.13

17.解：(1)如图，∵△POB绕PO旋转一周形成的几何体为以OB为底面半径的圆锥，

由|AB|=|BC|=2，|PA|=|PB|=|PC|=|AC|=6，

∴|AB|2+|BC|2=|AC|2，∴∠ABC=π2，∴|OB|=3，

∵|PA|=|PC|=|AC|=6，点O为AC的中点，

∴PO⊥AC，且|PO|=62−32=33，

∴|PO|2+|OB|2=|PB|2，∴PO⊥OB，且AC∩O=O，

∴PO⊥平面ABC，∴△POB绕PO旋转一周形成的几何体为以|OB|=3为底面圆半径，

以|PO|=33为高的圆锥，

∴△POB绕PO旋转一周形成的几何体的体积为：

V=13×π×32×33=93π．

(2)∵PO⊥平面ABC，|AB|=|BC|=32，

|PA|=|PB|=|PC|=|AC|=6，

∴|AB|2+|BC|2=|AC|2，∴∠ABC=π2，△ABC是等腰直角三角形，

∵O是AC的中点，∴OB⊥AC，

以O为坐标原点，分别以直线OB，OC，OP为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图，

由|BM|=18.解：(1)由题可知，ab3+ab⋅ab5=6ab6=16，

解得a=14b=2，

所以f(x)=14⋅2x=2x−2，

(2)由题可知2g(x)−2=x，得g(x)=log2x+2，

所以g(x+1)=log2(x+1)+2，g(λx)=log2(λx)+2，g(x+2)=log2(x+2)+2，

若存在实数x使g(x+1)、g(λx)、g(x+2)为等差数列，

可得g(x+1)+g(x+2)=2g(λx)，

即若存在实数x，log2(x+1)+2+log2(x+2)+2=2[log2(λx)+2]，

显然x>−1，λx>0，

因为λ>0，所以x>0，

化简得(1−λ2)x2+3x+2=0，

故该方程在(0,+∞)有解即可，

当19.解：(1)由表格[900,950)、[950,1000)、[1000,1050)、[1100,1150)、[1150,1200)的亩产区间，对应频数分别为6，12，18，24，10，频数共为70，

故样本中亩产量在[1050,1100)的频数约为100−70=30，

所以50000块稻田中亩产量在[1050,1100)的频数约为500000100×30=150000块；

(2)由(1)，抽取100块稻田的平均亩产量为0.06×925+0.12×975+0.18×1025+0.3×1075+0.24×1125+0.1×1175=1067kg，

所以这片稻田的平均亩产量约为1067kg；

(3)

亩产900≤x<1050

亩产1050≤x<1200

总计

优质

29

49

78

普通

7

15

22

总计

36

64100零假设H0：产品是否优质与亩产量不少于1050kg且少于1200kg无关，

因为χ2=100×(29×15−49×7)236×64×22×78≈0.214<3.841，

所以依据小概率值α=0.05的独立性检验，我们推断H0成立，20.解：(1)因为点P(3,332)在C上，且PF⊥x轴，

所以F(3,0)，

即c=3，

又3a2+274b2=1a2−b2=3，

解得a2=12，b2=9，

所以C的方程为x212+y29=1；

(2)因为直线AM：y=0−343−0x+3=−34x+3，

联立y=−34x+3x212+y29=1，消去y并整理得154x2−63x=0，

解得x=835或x=0(舍去)，

即B(835,95)，

又N(532,0)，

所以直线NB的方程为y=−23(x−532)，

令x=3，

解得yQ=−23×(3−521.解：(1)将a=1代入，对f(x)=(1−x)ln(1+x)−x求导，

可得f′(x)=−ln(1+x)+1−x1+x−1，

当x=1，f′(1)=−ln(1+1)+1−11+1−1=−ln2−1，f(1)=−1，

所以根据点斜式可列出切线方程y+1=−(ln2+1)(x−1)，

化简可得y=−(ln2+1)(x−1)−1=−ln2⋅x−x+ln2，

所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程y=−xln2−x+ln2；

(2)将a=−2代入，对f(x)=(1+2x)ln(1+x)−x求导，可得f′(x)=2ln(1+x)+1+2x1+x−1=2ln(1+x)+x1+x，

因为1+x>0，所以x>−1，即y=f(x)的定义域为(−1,+∞)，

令ℎ(x)=2ln(1+x)+x1+x，

则ℎ′(x)=21+x+1+x−x(1+x)2=21+x+1(1+x)2>0,(x>−1)，

所以ℎ(x)在(−1,+∞)上单调递增，又

f′(0)=2ln(1+0)+01+0=0，

所以当x∈(−1,0)时，f′(x)<0，y=f(