2024-2025学年安徽省滁州市定远三中高二（上）开学数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年安徽省滁州市定远三中高二（上）开学数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x|0<|x|<2}，B={0,1,2}，则A∩B=(

)A.{1} B.{0,1} C.{1,2} D.{0}2.若复数z满足(2+3i)z=i2024+8i2025，则复数A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.若a=(−1,2,−1)，b=(1,3,−2)，则(aA.22 B.−22 C.−29 D.294.以边长为6的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得几何体的侧面积为(

)A.18π B.36π C.54π D.72π5.已知空间向量a=(1,0,3),b=(2,1,0),c=(5,2,z)，若a,A.0 B.1 C.2 D.36.对数函数y=logax(a>0且a≠1)与二次函数y=(a−1)xA. B. C. D.7.某学校有男生800人，女生600人，为调查该校全体学生每天的睡眠时间，采用分层随机抽样的方法抽取样本，计算得男生每天睡眠时间的平均数为7.7小时，方差为2.1，女生每天睡眠时间的平均数为7小时，方差为1.4.若男、女样本量按比例分配，则可估计总体方差为(

)A.1.86 B.1.88 C.1.9 D.1.928.在正三棱锥P−ABC中，PA=AB=4，点D，E分别是棱PC，AB的中点，则AD⋅PE=A.−2 B.−4 C.−8 D.−10二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.对任意的x∈R，下列不等式恒成立的是(

)A.x2−x+1>0 B.9x2+1>6x 10.如图，在正三棱柱ABC−A1B1C1中，PA.若λ=μ，则点P的轨迹为线段BC1

B.若λ+μ=1，则点P的轨迹为线段B1C

C.存在λ，μ∈(0,1)，使得AP⊥BC

D.存在λ，μ∈(0,1)，使得11.已知函数f(x)=sin2(ωx−π8)−cos2(ωx−π8)(0<ω<18)A.f(x)+g(x)=0 B.f(x−π16)为偶函数

C.g(x)+g(3π8−x)=0三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积S=34(b2+13.(sin5°+cos5°)(1+3tan10°)14.在棱长为4的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点E，F分别为棱DA，BB1的中点，M，N分别为线段D1A1四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2．

(1)用空间向量方法证明：A1C1//平面16.(本小题15分)

袋子中有6个大小质地完全相同的小球，其中红球有2个，编号分别为1，2；白球有4个，编号分别为3，4，5，6，不放回地随机摸出两个球．

(1)求摸出的两个球中有红球的概率；

(2)记事件M为“摸出的两个球全是白球”，N为“摸出的两个球的编号之和为偶数”，判断事件M，N是否相互独立．17.(本小题15分)

已知函数f(x)=ex，g(x)=f(1−x)+f(1+x)．

(1)判断函数g(x)的奇偶性并予以证明；

(2)若存在x使得不等式g(x)⩽m成立，求实数m18.(本小题17分)

如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，四边形ABCD与四边形A1BCD1均为菱形，∠ABC=A1BC=60°，cos19.(本小题17分)

如果三角形的一个内角等于另外一个内角的两倍，我们称这样的三角形为倍角三角形，如在△ABC中，若A=2B，则△ABC为倍角三角形，其中角A叫做2倍角，角B叫做1倍角．

(1)利用正，余弦定理证明下面的倍角定理：在倍角三角形中，2倍角所对边的平方等于1倍角所对边乘以该边与第三边之和；

(2)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B=2C，2sinB=3sinC且△ABC的面积为1574，求△ABC参考答案1.A

2.D

3.C

4.D

5.D

6.A

7.D

8.C

9.ACD

10.ABC

11.ACD

12.16π313.214.415.(1)证明：由题，以D为原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

∵正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，

∴A(2,0,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,2)，D1(0,0,2)，A1(2,0,2)，

则A1C1=(−2,2,0),AC=(−2,2,0),CD1=(0,−2,2)，

设平面ACD1的一个法向量为n=(x,y,z)，

则n⋅AC=−2x+2y=0n⋅CD1=−2y+2z=0，令z=1，则可得x=1，y=1，即n=(1,1,1)；

∴n⋅A1C1=−2+2+0=0，

∴n16.解：(1)从6个球中不放回地随机摸出两个球，总共有6×52=15种情况．

假设摸出的两个球中没有红球，则列举出所有组合情况，

即{3,4}，{3,5}，{3,6}，{4,5}，{4,6}，{5,6}，共6种．

则摸出的两个球全是白球概率为：615=25．

所以摸出的两个球中有红球的概率为1−25=35．

(2)由前面知道，事件M为“摸出的两个球全是白球”，概率为P(M)=25．

事件N为“摸出的两个球的编号之和为偶数”．

两个球的编号之和为偶数，有两类情况：两球均为奇数或两球均为偶数．

两球均为奇数的情况有{1,3}，{1,5}，{3,5}，3种，

两球均为偶数的情况有{2,4}，{2,6}，{4,6}，3种．总共6种．则P(N)=615=25．

MN17.解：(1)函数g(x)为偶函数，

证明：因为函数f(x)=ex，g(x)=f(1−x)+f(1+x)，

所以g(x)=f(1−x)+f(1+x)=e1−x+e1+x，

又因为g(x)的定义域为R，对于∀x∈R，都有−x∈R，

而且g(−x)=e1−x+e1+x=g(x)，

所以g(x)为偶函数．

(2)因为存在x使得不等式g(x)⩽m成立，

所以有g(x)min⩽m，

由基本不等式可得g(x)=e1−x+e18.解：(1)证明：连接AC，A1C，因为四边形ABCD与四边形A1BCD1均为菱形，且∠ABC=A1BC=60°，

所以△ABC与△A1BC均为等边三角形，

取BC的中点O，连接AO，A1O，则AO⊥BC，A1O⊥BC，

设AB=2，则AO=A1O=3，

在△ABA1中，由cos∠A1AB=64及余弦定理，

得22=AA12+22−2×2×AA1×64，

即AA12−6AA1=0，

所以AA1=6(AA1=0舍去)．

所以AO2+A1O2=AA12，

所以AO⊥A1O，

因为BC∩A1O=O，BC，A1O⊂平面A1BCD1，

所以AO⊥平面A1BCD1，

又AO⊂平面ABCD，

所以平面ABCD⊥平面A1BCD1．

(2)由(1)可知，OA，OB，OA19.(1)证明：设A=2B，可得sinA=sin2B=2sinBcosB，

由正弦定理可得a=2bcosB，再由余弦定理