2024-2025学年广东省河源市紫金县佑文中学高二（上）开学数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年广东省河源市紫金县佑文中学高二（上）开学数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x|−x2+2x+3>0}，全集为R，则∁A.(−∞,−1]∪[3,+∞) B.(−∞,−3]∪[1,+∞)

C.[−1,3] D.[−3,1]2.已知复数z=1+3i1−i，i为虚数单位，则|z|为(

)A.2 B.5 C.103.“|a|>|b|”是“lna>lnb”的(

)A.充要条件 B.充分不必要条件

C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件4.如图，已知AP=43AB,A.13OA−43OB

B.15.设α，β是两个不重合平面，m，l是两条不重合直线，则(

)A.若l//α，m⊂α，则m//l B.若m//α，α⊥β，则m⊥β

C.若m⊥α，l⊥β，m//l，则α//β D.若α⊥β，m//α，l//β，则m⊥l6.已知△ABC内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，a=bcosC，则△ABC形状一定是(

)A.等腰直角三角形 B.等边三角形 C.等腰三角形 D.直角三角形7.已知a，b>0且ab=2，则(a+1)(b+2)的最小值为(

)A.4 B.6 C.22 8.已知f(x)是定义在实数集R上的函数，在(0,+∞)内单调递增，f(2)=0，且函数f(x+1)关于点(−1,0)对称，则不等式x⋅f(1−x)<0的解集是(

)A.(−∞,−2)∪(−1,0)∪(2,+∞) B.(−∞,−2)∪(2,+∞)

C.(−1,0)∪(1,3) D.(−∞,−1)∪(0,1)∪(3,+∞)二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=8，b=15，c=17，则下列命题成立的是(

)A.sinA：sinB：sinC=8：15：17

B.cosA：cosB：cosC=8：15：17

C.最大内角是最小内角的2倍

D.△ABC为直角三角形10.某社团开展“建党100周年主题活动——学党史知识竞赛”，甲、乙两人能得满分的概率分别为34，23，两人能否获得满分相互独立，则(

)A.两人均获得满分的概率12 B.两人至少一人获得满分的概率712

C.两人恰好只有甲获得满分的概率14 11.如图，在底面为等边三角形的直三棱柱ABC−A1B1C1中，AC=2，BB1=2，DA.A1B//平面ADC1

B.AD⊥C1D

C.异面直线AC与DE所成角的余弦值为10三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知tanα=2，则1sinαcosα13.若命题“∃x∈(−1,3)，x2−2x−a≤0”为真命题，则实数a可取的最小整数值是______．14.如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46m，则河流的宽度BC约等于______m.(用四舍五入法将结果精确到个位.参考数据：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，3≈1.73)四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题15分)

设△ABC的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA=3acosB．

(1)求B；

(2)若a=1,b=16.(本小题15分)

已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示．

(1)求函数f(x)的解析式．

(2)求函数17.(本小题15分)

如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，侧面ABB1A1⊥底面ABC，CA=CB，D，E，F分别为AB，A1D，A1C的中点，点G在AA1上，且18.(本小题15分)

文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩(满分100分，成绩均为不低于40分的整数)分成六段：[40,50)，[50,60)，…，[90,100]，得到如图所示的频率分布直方图．

(1)求频率分布直方图中a的值；

(2)求样本成绩的第75百分位数；

(3)已知落在[50,60)的平均成绩是54，方差是7，落在[60,70)的平均成绩为66，方差是4，求两组成绩的总平均数z−和总方差s219.(本小题17分)

已知函数f(x)=(m+1)x2−(m−1)x+m−1

(1)若不等式f(x)<1的解集为R，求m的取值范围；

(2)解关于x的不等式f(x)≥(m+1)x；

(3)若不等式f(x)≥0对一切x∈[−12参考答案1.A

2.B

3.C

4.C

5.C

6.D

7.D

8.D

9.AD

10.ACD

11.ABD

12.5213.−1

14.60

15.解：(1)因为bsinA=3acosB，由正弦定理可得sinBsinA=3sinAcosB，

又A为三角形内角，sinA>0，

所以sinB=3cosB，即tanB=3，

又B∈(0,π)，

所以B=π3；

(2)因为B=π3，a=1,b=3，

由余弦定理b216.解：(1)由函数f(x)的部分图象知，A=2，T=2×(2π3−π6)=π，所以ω=2πT=2，

又因为f(π6)=2sin(2×π6+φ)=2，所以π3+φ=π2+2kπ，k∈Z；

解得φ=π6+2kπ，k∈Z；

又因为|φ|<π2，所以φ=π6，

所以f(x)=2sin(2x+π6).

(2)令2kπ−π2≤2x+π6≤2kπ+π217.证明：(1)∵E，F分别为A1D，A1C的中点，

∴EF/​/CD，

∵CD⊄平面EFG，EF⊂平面EFG，

∴CD/​/平面EFG；

(2)∵CA=CB，D为AB的中点，

∴CD⊥AB，

∵侧面ABB1A1⊥底面ABC，侧面ABB1A1∩底面ABC=AB，

∴CD⊥侧面ABB1A1，

∴CD⊥18.解：(1)∵每组小矩形的面积之和为1，

∴(0.005+0.010+0.020+a+0.025+0.010)×10=1，

∴a=0.030．

(2)成绩落在[40,80)内的频率为(0.005+0.010+0.020+0.030)×10=0.65，

落在[40,90)内的频率为(0.005+0.010+0.020+0.030+0.025)×10=0.9，

设第75百分位数为m，

由0.65+(m−80)×0.025=0.75，得m=84，故第75百分位数为84；

(3)由图可知，成绩在[50,60)的市民人数为100×0.1=10，

成绩在[60,70)的市民人数为100×0.2=20，

故z−=10×54+66×2010+20=62．

所以两组市民成绩的总平均数是62，

s2=119.解：(1)①当m+1=0即m=−1时，f(x)=2x−3，不合题意；

…(1分)

②当m+1≠0即m≠−1时，m+1<0Δ=(m−1)2−4(m+1)(m−2)<0，即m<−13m2−2m−9>0，…(3分)

∴m<−1m<1−273或m>1+273，

∴m<1−273…(5分)

(2)f(x)≥(m+1)x即(m+1)x2−2mx+m−1≥0

即[(m+1)x−(m−1)](x−1)≥0

①当m+1