2024-2025学年四川省成都市简阳实验学校（成都石室阳安学校）高三（上）月考数学试卷（9月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年四川省成都市简阳实验学校高三（上）月考数学试卷（9月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.在等差数列{an}中，a7−a3A.5 B.4 C.3 D.22.已知双曲线C经过点(0,1)，离心率为2，则C的标准方程为(

)A.x2−y23=1 B.x3.已知函数f(x)=1x2+2，则A.−2 B.0 C.1 D.34.已知{an}为等比数列，Sn为数列{an}的前n项和，A.3 B.18 C.54 D.1525.某种袋装大米的质量X(单位：kg)服从正态分布N(25,σ2)，且P(X<24.8)=0.04，若某超市购入2000袋这种大米，则该种袋装大米的质量X∈[24.8,25.2]的袋数约为A.1920 B.1840 C.920 D.1606.班长准备对本班元旦晚会的7个表演节目进行演出排序，则节目甲与乙中间恰好间隔2个节目的概率为(

)A.2021 B.421 C.2217.已知函数a=12ln2，b=15ln5，c=1e，则aA.a<c<b B.c<a<b C.a<b<c D.b<a<c8.设函数f(x)=(2a−x)ln(x+b)，若f(x)≤0，则a2+A.15 B.55 C.1二、多选题：本题共3小题，共9分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.为研究光照时长x(小时)和种子发芽数量y(颗)之间的关系，某课题研究小组采集了10组数据，绘制散点图如图所示，并进行线性回归分析，若去掉点P后，下列说法正确的是(

)A.相关系数r变小B.经验回归方程斜率变大

C.残差平方和变小D.决定系数R210.已知(ax−1x)A.n=11

B.若展开式中各项系数之和为512，则a=3

C.展开式中有理项有6项

D.若a=1，则展开式中常数项为8411.已知函数f(x)=ex−a2xA.当a=1时，f(x)无极值点

B.当a=e时，f(x)+e2≥0恒成立

C.若f(x)有3个零点，则a取值范围为(e22,+∞)

D.当三、填空题：本题共3小题，每小题3分，共9分。12.样本数据16，24，14，10，20，30，12，14，40的中位数为______．13.从5男4女共9名学生中选出3人组成志愿者服务队，要求志愿者服务队中至少有1名女生，共有______种不同的选法.(用数字作答)14.已知数列{an}满足a1=−9，nan+1−(n+1)an四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)

已知函数f(x)=2lnx+ax2+bx(a,b∈R)，且x=1和x=2是f(x)的两个极值点．

(1)求实数a，b的值；

(2)求f(x)在区间[16.(本小题12分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，四边形ABCD为矩形，AB=3，BC=2.△PAD为等边三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E为AD的中点．

(Ⅰ)求证：PE⊥AB；

(Ⅱ)求平面PAC与平面ABCD夹角的余弦值．17.(本小题12分)

随着移动互联网技术的发展，直播带货已经成为热门的销售方式通过主播的详细介绍，使顾客对商品有更全面的了解，小张统计了某新手主播开启直播带货后从1月份到5月份每个月的销售量y1(万件)(i=1，2，3，4，5)的数据，得到如图所示的散点图．

(1)根据散点图判断，模型①y=a+bx与模型②y=c+dx2哪一个更适宜作为月销售量y关于月份代码x的回归方程？(给出判断即可，不必说明理由)，并求出y关于x的回归方程(计算结果精确到0.01)；

(2)随机调查了认可不认可50岁以下市民705050岁以上市民4060依据小概率值α=0.01的独立性检验，分析市民对直播带货认可程度是否与年龄有关联．

参考公式与数据：b=i=1n(xi−x−)(yi−α0.10.050.010.0050.001x2.7063.8416.6357.87910.82818.(本小题12分)

已知圆O经过椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个焦点以及两个顶点，且点(b,1a)在椭圆C上．

(Ⅰ)求椭圆C的方程；

(Ⅱ)若直线l与圆O相切，与椭圆19.(本小题12分)

第十五届全国运动会将于2025年在广东、香港、澳门三地举办.为了普及全运知识，某大学举办了一次全运知识竞赛，竞赛分为初赛与决赛，初赛通过后才能参加决赛．

(1)初赛从7道题中任选3题作答，3题均答对则进入决赛.已知这7道题中小王能答对其中4道题，记小王在初赛中答对的题目个数为X，求X的分布列；

(2)为鼓励大学生踊跃参赛并取得佳绩，对进入决赛的参赛大学生给予一定的奖励.奖励规则如下：已进入决赛的参赛学生允许连续抽奖3次，中奖1次奖励120元，中奖2次一奖励180元，中奖3次奖励360元，若3次均未中奖，则只奖励60元.假定每次抽奖中奖的概率均为p(0<p<1)，且每次是否中奖相互独立．

(i)记一名进入决赛的大学生恰好中奖1次的概率为f(p)，求f(p)的极大值；

(ii)该校体育系共有18名学生进入了决赛，若这18名大学生获得的总奖金的期望值不小于2240元，求此时p的取值范围．

参考答案1.A

2.C

3.A

4.C

5.B

6.B

7.D

8.A

9.BC

10.BD

11.ACD

12.16

13.74

14.2n

−15

15.解：∵f(x)=2lnx+ax2+bx，

∴f′(x)=2x+2ax+b，∵x=1和x=2是f(x)的两个极值点．∴f′(1)=2+2a+b=0f′(2)=1+4a+b=0

⇒a=12b=−3，

(2)由(1)可知

f′(x)=2x+x−3=x2−3x+2x=(x−1)(x−2)x，

令f′(x)=0，得x=1或x=2，

令f′(x)>0得0<x<1或x>2；

令f′(x)<0得1<x<2，

所以f(x)单调递增区间为(0,1)(2,+∞)，单调递减区间为(1,2)，

所以

16.(Ⅰ)证明：因为△PAD为正三角形，E为AD中点，

所以PE⊥AD．

因为平面PAD⊥平面ABCD，

平面PAD∩平面ABCD=AD，PE⊂平面PAD，

所以PE⊥平面ABCD．

因为AB⊂平面ABCD，

所以PE⊥AB．

(Ⅱ)解：由(Ⅰ)知，PE⊥平面ABCD．

取BC中点F，连结EF．

因为底面ABCD为矩形，E为AD中点，

所以EF⊥AD．

所以EA，EF，EP两两垂直．

分别以EA，EF，EP为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Exyz．

则E(0,0,0)，A(1,0,0)，P(0,0,3)，C(−1,3,0)．

所以PA=(1,0,−3)，AC=−(2,3,0)．

设平面PAC的法向量N=(x,y,z)，

由，得，

令z=3，得x=3，y=2．

所以n=(3,2,3)．

平面ABCD的法向量EP=(0,0,3)．

设平面PAC17.解：(1)由散点图可知，随着x的增加，y的增加幅度不一致，且散点图接近于曲线，是非线性的关系，

所以选模型②y=c+dx2更适宜，

令t=x2，则y=c+dt，

可得t−=15i=15xi2=15×55=11，y−=15×(2.2+2.4+3.8+5.6+8)=4.4，

则d=i=15(ti−t−)(yi−y18.解：(Ⅰ)由题可知圆O只能经过椭圆的上、下顶点，所以，椭圆焦距等于短轴长，即a2=2b2，

又点(b,1a)在椭圆C上，所以，b2a2+1a2b2=1，解得a2=2，b2=1，

因此，椭圆C的方程为x22+y2=1；

(Ⅱ)圆O的方程为x2+y2=1，

当直线l的斜率不存在时，解得|MN|=2，不符合题意；

当直线l的斜率存在时，设其方程为y=kx+m，

因为直线l与圆相切，所以，|m|k2+1=1，即m2=1+19.解：(1)由题意，小王答对题目个数X=0，1，2，3，

P(X=0)=C33C73=135，P(X=1)=CX0123P

1

12

184(2)(i)由题意知f(p)=C31p(1−p)2=3p3−6p2+3p(0<p<1)，

f′(p)=9p2