2023年高考数学一轮复习（全国版文） 第8章 §86 几何法求空间角

几何法求空间角

【考试要求】以空间几何体为载体考查空间角是高考命题的重点.理解异面直线所成角、直线

和平面所成角和二面角的定义，并会求值.

【知识梳理】

1.异面直线所成的角

(1)定义：已知两条异面直线小b,经过空间任一点。分别作直线优〃小h1//b,把直线

与少所成的银鱼(或直角)叫做异面直线〃与8所成的角(或夹角).

(2)范围：(0,］］.

2.直线和平面所成的角

(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的

角，一条直线垂直于平面，则它们所成的角是幽；一条直线和平面平行或在平面内，则它

们所成的角是0。.

(2)范围：0,.

3.二面角

(I)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.

(2)二面角的平面角

若有①0£/：

②OAUa,OBUB；

③OAJJ,OB11,则二面角。一/一夕的平面角是幺”.

(3)二面角的平面角Q的范围：［0,汨.

L思考辨析】

判断下列结论是否正确(请在括号口打“J”或“义”)

(1)若直线Ji,办与同一个平面所成的角相等，则/i〃b(X)

(2)异面直线所成角的范围为0,^.(X)

(3)如果平面a〃平面内，平面4〃平面小，那么平面a与平面所成的二面角和平面佝与平

面小所成的二面角相等或互补.(V)

(4)线面角的范围为0,,二面角的范围为［0,兀］.(J)

【教材改编题】

1.如图所示，在正方体488—4B］Ci。］中，E,尸分别是A&A。的中点，则异面直线

与所所成角的大小为()

A.30°B.45°

C.60°D.90°

答案C

解析连接囱。i,DC（图略），则B\D\〃EF,故NDIC即为所求的角或其补角.又

o

=B}C=DiCt为等边三角形，AZDiBiC=60.

2.如图所示，A8是。。的直径，以_1_。0所在的平面，C是圆上一点，且NA8C=30。，PA

=AB,则直线PC和平面48c所成角的正切值为.

答案2

解析因为以_L平面ABC,所以AC为斜线PC在平面A5c上的射影，所以NPC4即为PC

I1ps

和平面ABC所成的角.在RtZXBAC中，因为4。=与48=5%，所以3/尸。4=方=2.

乙L/IV

3.如图，在正方体48。£>一4'夕CD'中：

①二面角。'-AB一。的大小为.

②二面角A'一43—。的大小为.

答案①45。②90。

解析①在正方体ABCD-A'B'CD'中，48_1_平面ADD'A）,所以AB1AD',

48_LAO,因此/£>'A£>为二面角O'—A8-O的平面角.在RtZ\。'D4中，NO'AD=

45°,所以二面角。’一A8-Q的大小为45。.

②因为AB_L平面A。。'A',所以熊_LAD,ABLAA,,因此NA'AD为二面角A'—AB-O的平

面角，又NA'AO=90。，所以二面角A'—AB—O的大小为90。.

题型一异面直线所成的角

例I⑴在长方体48aMi81GG中，AB=BC=\,44=小，则异面直线AOi与OS所成

角的余弦值为（）

答案C

解析如图，连接加力，交。用于。，取48的中点M,连接。M,OM.易知。为5。的中

点，所以ADi/ZOM,则NMO£>为异面直线AD{与D&所成角或其补角.因为在长方体

ABCD-A闰GA中，A8=BC=1,AAt=y/3,

2

ADt=y/AD+DDr=2,

DB\=山原+心+§山=小

所以OM=；AOi=1,OO=：O8i=坐，

于是在△DMO中，由余弦定埋，

2Xlxf5

即异面直线4n与所成角的余弦值为坐.

延伸探究若将本例（1）中题干条件“44=小”变为“异面直线48与AG所成角的余弦值

9

为T5".试求的值.

解设A4i=f,,：AB=BC=\t

・"iG=啦，AiB=BC\=y[pn.

CQSZ.A\BC\=

2XA/XBG

产+1+产+1—29

-2X^//2+lX^//2+l-10,

解得f=3,则AAi=3.

（2）（2022•衡水检测）如图，在圆锥SO中，AB,CD为底面圆的两条直径，ABQCD=O,且

ABYCD,S0=0B=3,SE=$B,则异面直线SC与。七所成角的正切值为（）

A迤2c12口近

A.23J653

答案D

解析如图，过点S作S/〃OE,交AB于点尸，连接。尸，则NCSA（或其补角）为异面直线SC

与OE所成的角.

；SE=；SB,;・SE=&BE.

又08=3,：.OF=\()B=\.

•・・SO_LOC,SO=OC=3t

:,SC=3版

•:SO1OF,:.SF=«SG+0F2=®.

*：OCA-OF,ACF=ViO.

・•・在等腰ASC尸中，

(3)三求：解三角形，求出所作的角.

跟踪训练1(1)(2021•全国乙卷)在正方体ABCO-AiSG。中，P为8。的中点，则直线PB

与AG所成的角为()

，兀c兀一兀c兀

A，2B.§C.JD.g

答案D

解析方法一如图，连接GP,因为ABCO—48iG。是正方体，且P为SA的中点，所

以GP_LB|Oi,又GP_LB31,所以GP_L平面8]P.又8PU平面S8P,所以GP_L8P.连接

BCi,则AD\〃BC\,所以NP6G为直线PB与所成的角.设正方体ABCD-A\B\C\D\

的棱长为2,则在RlZ^GPB中，CF=/iD产地,BCi=2小,sinNPBG=痣==

所以/尸

方法二

如图所示，连接5G,A],4P,PCi,则易知AG〃BG,所以直线PB与A。所成的角等

于直线尸8与8G所成的角.根据P为正方形ABiGOi的对角线Bi。：的中点，易知4,P,

G三点共线，且P为4G的中点.易知4B=BG=4G,所以△4BG为等边三角形，所

以乙4此]=冬又P为4G的中点，所以可得NPBG=£NAI8G弋.

(2)如图，已知圆柱的轴截面A884是正方形，C是圆柱下底面弧43的中点，G是圆柱上底

面弧4所的中点，那么异面直线AG与BC所成角的正切值为.

答案册

解析如图，取圆柱下底面瓠AB的另一中点O,连接GO,AD,

因为C是圆柱下底面瓠48的中点，

所以4O〃BC,

所以直线4G与AD所成的角等于异面直线AG与BC所成的角.

因为G是圆柱上底面弧43]的中点，

所以GDJ_圆柱下底面，所以GfLLAD

因为圆柱的轴截面ABB\A\是正方形，

所以CiD=y[2AD,

所以直线AG与A。所成角的正切值为啦，

所以异面直线AG与8c所成角的正切值为也.

题型二直线与平面所成的角

例2如图，在长方体A8CO—A向中，E,尸分别为BC,CG的中点，AB=AO=2,

AA\=3.

(1)证明:E尸〃平面4ADD；

⑵求直线AC,与平面MADDx所成角的正弦值.

⑴证明如图，连接BG,AOi,由E,尸分别为8CCG的中点，可得E尸〃BG,

在长方体ABC。-4囱GO］中，

AB//C\D\tAB=CQ,

因此四边形ABG。为平行四边形，

所以BCiZ/AD^

所以£7*4。1,

又£7过平面AAODi,ADC平面小A。。，

所以E尸〃平面AiA。。］.

(2)解在长方体468—481Go中，

因为。1。|_1_平面44。。1,

所以AG在平面4Ao。中的射影为ADi,

所以NGAQ|(或其补角)为直线ACi与平面AiADDi所成的角，

由题意知AG=啦4再孕=行,

在RtZXADiG中，sinRGAG=17，

即直线AG与平面44。。所成角的正弦值为a伊.

【教师备选】

如图，在四棱锥P-ABC。中，底面A8CO为正方形，PD=BC=1,二面角P-CO-A为直

二面角.

(1)若E为线段尸。的中点，求证：DELPB；

(2)若PC=，5,求PC与平面以8所成角的正弦值.

(1)证明・・・PD=DC=1,且E为PC的中点，

：.DEA.PC.

又.••二面角P-CD-A为直二面角，

・•・平面PCO_L平面ABCD,

VBC1CD,平面PCZ)n平面ABCD=CD,

・・・8CJ■平面PCD,

：.BCVDE.

：BCu平面PBC,PCu平面PBC,BCHPC=Ct

，OEJ_平面PBC,

又・・・P8u平面PBC,

:・DESB.

⑵解若PC=小,

由余弦定理可求得NPOC=120。，

过点尸作尸”_LCO的延长线于，，如图，

可得尸平面ABCD,

在R3HD中，

PH=PD$in60。=苧，

过”点作，G〃D4,且”G与B4的延长线交于G点.

可得"G_LA8,从而PGJLAB.

在RtAPHG中,PG=NP序+”G2=亭,

:.VP-ABC=|SAABCP//=|X|X^=^,

设点C到平面以8的距离为从

则三棱锥。一心8的体积

V=|sAABr/i=|><2X当%=*，

解得人=畜，设与平面％8所成的角为仇

.Ah亚

sin夕=定=亍，

即PC与平面以8所成角的正弦值为坐.

思维升华求线面角的三个步骤

一作（找）角，二证明，三计算，其中作（找）角是关键，先找出斜线在平面上的射影，关键是作

垂线，找垂足.然后把线面角转化到三角形中求解.

跟踪训练2（1）如图，在直三棱柱ABC-AiBiCi中，。为4C的中点.若A8=8C=38,NABC

=会则CG与平面BGD所成角的正弦值为.

答案坐

解析过点。作C”J_G。于点儿如图，

•••三棱柱ABC—4SG为直三棱栏，

••・CG_L平面A3C.

平面ABC,

：.CCs±BD.

•・・A3=BC,。为AC的中点，

・・・BO_L4C,

XCCiC\AC=C,CCi,ACU平面ACG,

.•・8£)_L平面ACG,

•・・CHU平面ACG,

：.BDVCH.

又CHA_C\D,CiDRBD=D,G",8DU平面BCQ,

，CaJ_平面BCiD,

:.ZCGD为CC与平面BGD所成的角，

设AB=2a,

则CD=W，CiD=«a,

・・CDga小

•,sin/CGO-a。一晒-3.

•贵溪市实脸中学模拟)如图，在长方体向中,

(2)(2022A8CD-ACDAB=AD=ltAAi=2,

点P为。G的中点.

①求证：直线8。1〃平面附C；

②求直线BDy与平面ABCD所成角的正切值.

①证明如图，设AC和50交于点0,则。为3。的中点，

连接P0,又丁尸是。。1的中点，故尸。〃83”

又・・・P0u平面力C,BON平面B4C,

・•・直线35〃平面附C.

②解在长方体A8CD-ABiGd中，

「DO」平面A8CD,

・・・/。8。是直线BDi与平面4BCD所成的角，

11

•.•£)£>1=2,BD=^AB-\-AI)=^21

2

lox\X.D\BD=—^2,

・•・直线BDi与平面ABCD所成角的正切值为啦.

题型三二面角

例3(2022.上海市延安中学模拟)如图，在多面体A6CDE/中，四边形ABCO是边长为2的

菱形，NBAZ)=60。，四边形尸是正方形，平面BDE凡L平面ABCD.

(1)证明：平面ACE_L平面8DEB

(2)若点M是线段8b上的一点，且满足OM_L平面ACE,求二面角4一。加一3的正切值.

⑴证明•・•四边形ABCD是菱形，

・・・AC_LB。，

由四边形8DE尸是正方形有DELBD,

又平面BOEHL平面ABCD,平面BDEFC平面ABCD=BD,QEU平面BDEF,

平面ABCD,

又ACU平面ABCD,

：.DE±ACt

又BDCDE=D,且8。，DEU平面BDEF,

・・・AC_L平面B。"，由ACU平面ACE,

J平面ACE_L平面BDEF.

⑵解设。是AC,5。的交点，连接。£交。M于G,连接AG,如图.

由。M_L平面ACE,AG,OEU平面ACE,

・・・AG_LOM,OELDM,

:.NAGO是二面角4一。“一5的平面角，

由射影定理知，ON=OGOE,0D=\yDE=2,

则0E=小，0G=乎.

,tanNAGO=,

J二面角A—OM—B的正切值为、「冷.

【教师备选】

如图，在正方体ABCO-AibGd中，点E在线段CG上，CE=2EDi，点户为线段48上的

动点，AFGFB,且E/〃平面ADD4.

⑴求2的值；

(2)求二面角E—OF—C的余弦值.

解(1)过E作EG_L。。于G,连接G4,如图.

则EG〃CO,而CO〃必，所以EG〃以.

因为EF〃平面AOOiAi,EFu平面£7%G,

平面EGAFA平面AOO|4=G4,所以所〃G4,

所以四边形EGA尸是平行四边形，所以GE=AF.

因为CE=2E。，

保D\E1

所以反一万下一子

4F1Ap11

所以第=点即器=点所以4+

(2)过E作E”_LCO于”，过“作"M_L。尸于M,连接EM,如图.

因为平面CZ)DiG_L平面ABC。，EHVCD,

所以EH_L平面ABCD.

因为。尸u平面ABCD,所以EHVDF.

又“M_L£＞尸，HMREH=H,

HM,EHu平面EMH,

所以。凡L平面EMH.

因为EMu平面EMH,所以DFYEM.

所以是二面角E一。/一C的平面角.

设正方体的棱长为3a,则EH=2a

在RtZ\O〃/中，DH=a,HF=3a,DF=®a,

DHHF_a义3a_3

所以HM=DF_@礼_机产

在中，求得EM=NEH?+府=京。,

所以cos4EMH=喘/

所以二面角七一。尸一。的余弦值为方.

思维升华作二面角的平面角的方法

作二面角的平面角可以用定义法，也可以用垂面法，即在一个半平面内找一点作另一个半平

面的垂线，再过垂足作二面角的枝的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可

得二面角的平面角.

跟踪训练3如图，在四棱锥P-A5CO中，四边形ABCO是边长为2的正方形，4PBC为

正三角形，M,N分别为PZ),BC的中点，PN1AB.

(1)求三棱锥P—AMN的体积；

(2)求二面角M-AN-D的正切值.

解(1)・；PB=PC,

・・・PN_LBC,

义,：PNLAB,ABQBC=Bt

AB,BCu平面ABC。，

・・・PN_L平面ABC。，

•:AB=BC=PB=PC=2,

・"N=小，

=

M为PD的中点，Vp-AMNVD-AMN=VM-ADN>

**•Vp-AMN=^Vp-ADN=^Vp-ABCD=^^4X小=坐

(2)如图，取ON的中点E,连接ME,

•:M,七分别为P。，ON的中点，

:・ME〃PN,

•••PN_L平面48c。，

，ME_L平面ABC。，

过E作EQ_LAN,连接MQ,

又ME_LAN,EQC}ME=E,E。，MEu平面M£Q,

，AN_L平面MEQ,

・・・ANJ_MQ,

NMQE即为二面角M—AN—。的平面角，

ME

,,tanZMQE=~Q^,

•・・PN=小，

・A加-亚

••ME—29

■；AN=DN=币,AD=2t

.CF2小

••QU59

；・tanNMQE=^^.

即该二面角的正切值为45

课时精练

1.（2020・新高考全国I）日展是中国古代用来测定时间的仪器，利用与唇面垂直的唇针投射到

卷面的影子来测定时间.把地球看成一个球（球心记为0）,地球上一点A的纬度是指OA与

地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面.在点A处放置

一个日唇，若禅面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40。，则唇针与点A处的水平

面所成角为（）

A.20°B.40°C.50°D.90°

答案B

解析如图所示，。0为赤道平面，为A点处的日署面所在的平面，

由点A处的纬度为北纬40。可知N040i=40。，

又点4处的水平面与。4垂直，悬针AC与。Oi所在的面垂直，

则馨针4C与水平面所成角为40°.

2.如图，以，圆。所在平面，A8是圆。的直径，C是圆周上一点，其中AC=3,雨=4,BC

=5,则P5与平面布C所成角的正弦值为（）

A乎

答案A

解析根据题意，A5是圆0的直径，C是圆周上一点，则3C_LAC,

又由附_L圆。所在平面，则附J_BC,

因为%nAC=A,朋，ACU平面以C,

则5C_L平面以C,故NBPC是P8与平面心。所成的角，在AACB中，4C=3,BC=5,AC_LBC,

则AB=y/Ad+BC2=用,

在△%8中，48=取，B4=4,

则P8=N阴2+4#=5啦,

在RtZ\PC8中，8c=5,PB=56

则sinNBPC=^=乎.

3.（2022•哈尔滨模拟）已知在直三棱柱4BC—4由©中，NABC=12（r,AB=2,BC=CCi=

1,则异面直线ABi与BG所成角的余弦值为（）

迎

,5

答案C

解析如图所示，补成直四棱柱4BCQ-4由Cid,

则所求角为N8G。，

■:BC\=3,BD=^22+1-2X2X1Xcos60°=^3,GD=ABT=&易得0。2=83+8。彳,

即BGLBD,

BCi_^/2_Vl0

因此cos/BGO=杀=布=5-

4.在正四面体P—A8C中，点M是棱8c上的动点（包含端点），记异面直线PM与AB所成

的角为a,直线PM与平面ABC所成的角为£,贝lj（）

A.a>pB.a<p

C.a*D.a&0

答案C

解析根据题意，如图，作PO_L底面ABC,连接OM,

则NPMO是直线PM与平面ABC所成的角，

即NPMO=A

过点M作/平行于A8,过点P作PN_U,与/交于点N,NPMN是直线PM与A8所成的角,

即NPMN=a,在RtZXPOM和RtzXPMN中，有PN2P0,则sina2sin6，则。2及

在长方体中，则二面角一一。为（）

5.ABCQ—4BiGDi4B=2,AD=AA\=\fC144

，兀「2冗

A-3BT

C岑D.f

答案D

解析由图可知GBJLA8,CB1AB,

所以NG8C是二面角G—A8—C的平面角，

tanZCiBC=^F=l,所以NG8C=9.

£>C4

6.在正方体A8CO—A61Goi中，下列说法不正确的是()

A.AiCilBD

B.AyCLBD

C.8c与3。所成的角为60。

D.AG与平面48co所成的角为45。

答案D

解析对于A,如图，

由正方体性质可知

B\D\_LA|C|,

又因为

且

BB\=DD\y

所以四边形8用GO为平行四边形，

所以B\D\〃BD,

所以4iG_L8Q,故选项A正确；

对于B,如图，

由正方体ABCO—ABiGG可得CG_L平面ABCD,

B£)u平面A8CZ),

所以CCi±BD,

由选项A可知4GJ_BD,又4GCICG=G,

AiCi,CGu平面4CC,

所以3Q_L平面4GC,因为4CU平面4CC,

所以BO_LAiC,故选项B正确；

对于C,如图，

由选项A可知

所以为直线3c与直线8。所成的角,

由正方体性质可知△BCG为正三角形,

所以NC8iG=60。，故选项C正确;

对于D,如图,

由CG~L平面A8CQ,

所以NGAC为直线AG与平面ABCD所成的角,

在正方体ABCO—48iGU中，AC=y[2CCi,

tanZCACi=^7=^,

所以NCA0W45。,

故选项D错误.

4

7.在正四棱锥P-ABCO中，底面边长为2,四棱锥的体积为小则二面角P—AB—C的大小

为.

答案45°

解析如图，连接AC,BD交于点E,

依题意，PE_L平面ABCD,

取48的中点尸，连接PE,FP,易知AB±PF,

则NPFE为二面角尸一48一。的平面角,

I4

又VP-ABCD=^2X2XPE=y

故PE=1,；・PE=EF=1,

•••△PE尸为等腰直角三角形，

:.ZPFE=45°.

8.在三棱锥S-A8C中，ZXABC是边长为2的正三角形，SAJ_平面/48C,且SA=2,则AB

与平面SBC所成角的正弦值为.

拄口案术7

解析如图，取8C的中点O,连接AO,SD,过A作40_LS。，交SD于点0,连接。3,

•・•在三棱锥S—A8C中，△ABC是边长为2的正三角形，

SA_L平面ABC,且SA=2,

：.AD±BC,SDIBC,SALAD,

•・・Aonso=。，ADtSOu平面SA。，

・・・BC_L平面SADt

・・・8C_LA。，

4£>=、4_]=小,S£>=、4+4—l=币,

*：^XSAXAD=^XSDXAO,

・"。=普=率，

\77

•・・AOJ_S£),SDC\BC=D,SD,8Cu平面SBC,

，AOJ_平面SBC,

・•・NABO是AB与平面SBC所成的角，

：.AB与平面SBC所成角的正弦值为

2匹

…八_也__Z__直

sinABOAB27•

9.如图，已知在三棱锥A—88中，平面A3。_L平面ABC,ABLAD,8C_LAC,30=3,AD

=1,AC=BC,M为线段AB的中点.

(1)求证：BC_L平面4c。；

(2)求异面直线MD与8c所成角的余弦值；

(3)求直线MD与平面ACD所成角的余弦值.

⑴证明•・•平面ABD_L平面ABC,平面ABOCI平面ABC=AB,AO_LA8,AOu平面ABO,

・・・AO_L平面ABC,・・・AO_LBC,

又AC_L3C,AODAC=A,AD,4Cu平面ACO,

.•.8C_L平面ACD

⑵解如图，取AC的中点N,连接MN,DN,

・・・M是A8的中点,

:.MN//BC,

:.NMW。(或其补角)为异面直线MO与BC所成的角，

由(1)知BC_L平面ACO,

・・・MN_L平面ACO,MNLND,

"：BD=3,AQ=1,ABLAD,

・"B=2加,

又・・・AC=BC,AC_LBC,：.AC=BC=2t

在RtAMND中，MN=/c=1,

MD=ylAD2+AM2=y{3,

MNS

・・・cos/NMO=^=早

即异面直线MO与8c所成角的余弦值为唱.

⑶解由(2)知NA/ON为直线与平面ACO所成的角，

在RlAMND中，ND=7MA-Ml^=®

••cos/MON-MO-小-3'

即直线MD与平面ACD所成角的余弦值为孝.

10.如图，在三棱锥A-6CO中，AABD为等边三角形,BC=BD,平面4BO_L平面BCD且

BA1BC.

⑴求证:BCLAD；

(2)求二面角A-CD-B的正切值.

⑴证明如图，取8。的中点反连接人七，

则AE_L3O,因为平面AB。_L平面BCD,平面ABOA平面88=5。，AE<=平面4BZ),

则AE_L平面BCD,

所以4E_LBC,

又因为

AB_L8C,ABQAE=Ai

AB,AEU平面AB。，

则BC_L平面A4Q,因为AOU平面A5O,

则BCLAD.

⑵解如图，过点E作E/LLCO交CO于点尸，连接A凡

由(1)知4E_LCO,AEQEF=E,4E,EA平面

所以CO_L平面AEF,

因为4尸u平面AEF,

则CD_L”，

所以NA在为二面角A-CO-B的平面角.

因为△ABD为等边三角形，设BO=2,

5

则AE=W，EF=2^

则1211/4正芯=而=罡=加.

2

所以二面角A-CD-B的正切值为求.

11.在长方体A8CO—48Ci。］中，底面ABCO是正方形，异面直线A8与4。所成角的大

小为志则该长方体的侧面积与表面积的比值是()

4一6

B.4

8—2节4.6

C.7D.§

答案C

解析如图，连接囱C,

因为

所以NB4C是异面直线AB与4c所成的角，

即N8[AiC=$

设4B=x,AA]=yt

在△48C中，Bid=f+V，4。2=*+产,

x2+Zt2+y2-(x2+y2)1

则cosZB|AiC=

2¥、*+），2T

整理得丁=曲,

从而该长方体的侧面积S=4町，=4叱,

该长方体的表面积

S2=4x），+2^=（4啦+2*,

」,Si4应v28-2小

政法=（4媳+2）/=7-

12.某几何体的三视图如图所示，记底面的中心为E,则PE与底面所成的角为（）

A匹71

A.?B-4

答案A

解析由三视图可知该几何体的直观图如图所示，

ZPEA为PE与底面所成的角.

•・•勿=佩AE=巾,

tanZPEA=缁=小,

・•・NPEA=$

13.已知正四面体A-8C。的棱长为2,点£是A。的中点，点尸在线段BC上，则下面四

个命题中：

©3FGSC,EF//AC；

②PFGBC,EFW小;

③m尸WBC,E/与AO不垂直；

④V/EbC,直线EF与平面8CQ夹角正弦的最大值为坐.

所有不正确的命题序号为.

答案①③

解析如图，

对▼尸£8C,EF与4c异面或相交，故①错误；

当点尸为BC的中点时，£尸为异面直线AO和BC的公垂线段，此时EV取得最小值，当F

与B,C重合时，E尸取得最大值巾，故②正确；

因为AD±C£,BECCE=E,所以AO_L平面BEC,故ADLEF,故③错误；

因为上到平面8CO的距离为定值乩设直线Er与平面BCO的夹角为仇则sin®=g,当F

为BC的中点时，易知七尸为异面直线A。和BC的公垂线段，此时所取得最小值，sin0=4^

Lr

有最大值，此时。尸=小，OE=1,故EF=«3-1=巾,在RlZXEFD中，EFDE=DFd,解

得〃=幸，所以sinO=S=半，故④正确.

JtLr3

14.如图，在矩形A8CO中，AB=2,BC=1,E是CO的中点，将△AOE沿AE折起，使折

起后平面AOE_L平面A8CE,则异面直线4E和CD所成角的余弦值为.