1.3线段的垂直平分线（课件）北师大版数学八年级下册

线段的垂直平分线PNM点P是码头的位置线段的垂直平分线——创设情境，回顾性质如图，A、B表示两个仓库，要在A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置？线段垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.线段的垂直平分线——创设情境，回顾性质已知：如图,直线MN⊥AB,垂足为C，且AC=BC，

点P是MN上任意一点.求证：PA=PB.证明：∵

MN⊥AB，垂足为C，

∴

∠PCA=∠PCB=90°.

∵

AC=BC，PC=PC，

∴

△PCA≌△PCB（SAS）.

∴

PA=PB（全等三角形的对应边相等）..

线段的垂直平分线——创设情境，回顾性质

如果点P与点C重合，那么结论显然成立.已知：如图,直线MN⊥AB,垂足为C，且AC=BC，

点P是MN上任意一点.求证：PA=PB.线段的垂直平分线——创设情境，回顾性质文字语言：定理

线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.几何语言：∵

MN⊥AB，AC=CB，

点P在MN上,∴PA=PB.线段的垂直平分线——创设情境，回顾性质线段的垂直平分线——逆向思维，探索判定定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.逆命题逆命题：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.

是否为真命题？已知：线段AB，点P是平面内一点，且PA=PB．求证：点P在线段AB的垂直平分线上．

考虑P是否在线段AB上PAB线段的垂直平分线——逆向思维，探索判定证明：当点P在线段AB上时，∵PA=PB，∴点P为线段AB的中点，显然此时点P在线段AB的垂直平分线上.线段的垂直平分线——逆向思维，探索判定已知：线段AB，点P是平面内一点，且PA=PB．求证：点P在线段AB的垂直平分线上．当点P在线段AB外时思路一：过点P作已知线段AB的垂线PC，垂足为点C,则PC是△PAB的高.

∵PA=PB,

∴

△PAB是等腰三角形.∴PC是△PAB的中线.

∴AC=BC.

∴

直线PC是线段AB的垂直平分线.∴

点P在线段AB的垂直平分线上.线段的垂直平分线——逆向思维，探索判定当点P在线段AB外时思路二：取AB的中点C，过PC作直线．∵

AP=BP，PC=PC，AC=CB，∴

△APC≌△BPC(SSS)．∴

∠PCA=∠PCB.又∵

∠PCA+∠PCB=180°，∴

∠PCA=∠PCB=90°，即PC⊥AB.∴

点P在线段AB的垂直平分线上．线段的垂直平分线——逆向思维，探索判定当点P在线段AB外时思路三：过点P作∠APB的角平分线，交AB于点C．∵

AP=BP，∠APC=∠BPC，PC=PC，∴

△APC≌△BPC(SAS)．∴

AC=BC，∠PCA=∠PCB．∵∠PCA+∠PCB=180°,∴∠PCA=∠PCB=90°，即PC⊥AB.∴

点P在线段AB的垂直平分线上．线段的垂直平分线——逆向思维，探索判定文字语言：定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.几何语言：∵PA=PB,∴点P在线段AB的垂直平分线上.线段的垂直平分线——逆向思维，探索判定线段的垂直平分线——理性思考，归纳总结线段的垂直平分线可以看成是到线段两端距离相等的所有点(无穷个点）的集合.线段是一个轴对称图形，垂直平分线是它的一条对称轴.======到一条线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，因此只需找出这样满足条件的两个点即可作出线段的垂直平分线.AB====线段的垂直平分线——理性思考，归纳总结深刻理解判定定理

注意分析基本图形

读透图形重要信息

证明直线垂直平分线段

该直线上两点到线段两端点距离相等该直线垂直线段且平分线段线段的垂直平分线——理性思考，归纳总结线段的垂直平分线——开放训练，体现应用例1

如图，在△ABC中，AB＝AC，

O是△ABC内

一点，且OB＝OC.

求证：直线AO垂直平分线段BC.证明：∵AB=AC,∴点A在线段BC的垂直平分线上.同理，点O在线段BC的垂直平分线上.∴

直线AO是线段BC的垂直平分线.

是否还有其他证法？利用三角形的全等证明例1

如图，在△ABC中，AB＝AC，

O是△ABC内

一点，且OB＝OC.

求证：直线AO垂直平分线段BC.线段的垂直平分线——开放训练，体现应用证明：延长

AO

交

BC

于点

D，∵

AB

＝

AC，AO

＝

AO，OB

＝

OC，∴

△ABO

≌

△ACO(SSS).∴

∠BAO

＝

∠CAO，∵

AB

＝

AC，∴

AO

⊥

BC．∵OB

＝

OC，OD＝

OD，∴Rt△DBO

≌Rt△DCO(HL).∴

BD＝CD.∴

直线

AO

垂直平分线段

BC.D线段的垂直平分线——开放训练，体现应用线段的垂直平分线点与点的距离重点找准关键点得到线段相等利用性质解决线段相等角相等证明全等延伸拓展线段的垂直平分线——理性思考，归纳总结线段的垂直平分线——深入理解，方法提炼1.已知：如图，AB是线段CD的垂直平分线，

E，F是AB上的两点.

求证：∠ECF＝∠EDF.

证明：∵AB是CD的垂直平分线，

∴EC=ED，FC=FD.

又∵EF=EF，

∴△ECF≌△EDF(SSS).

∴∠ECF=∠EDF.2.如图，在△ABC中，AC＝27，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，△BCE的周长等于50，求BC的长．

∵AB的垂直平分线交AB于点D，

交

AC于点E，∴AE＝BE.∴AC＝AE＋EC＝BE＋EC＝27.又∵△BCE的周长等于50，即BC＋BE＋EC＝50，∴BC