中考衔接点15　乘法公式

中考衔接点15乘法公式中考早知道：利用平方差公式、完全平方公式进行计算.

(教材P112习题T1(6)改编)(2023石家庄模拟)计算：9992－998×1

002＝

(

B

)A.

－2

000B.

－1

995C.

1

995D.

2

000B子题1.1新定义型阅读理解题如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那

么称这个正整数为“奇巧数”，如12＝42－22，20＝62－42，28＝82－62，…，因此

12，20，28这三个数都是“奇巧数”.(1)52，72都是“奇巧数”吗？为什么？解：(1)∵52＝142－122，76＝202－182，∴52是“奇巧数”，72不是“奇巧数”.(2)设两个连续偶数为2

n

，2

n

＋2(其中

n

为正整数)，由这两个连续偶数构造的“奇

巧数”是8的倍数吗？为什么？解：(2)∵(2

n

＋2)2－(2

n

)2＝(2

n

＋2＋2

n

)(2

n

＋2－2

n

)＝4(2

n

＋1)，∴由这两个连续偶数构造的“奇巧数”不是8的倍数.(3)研究发现：任意两个连续“奇巧数”之差是同一个数，请给出验证.解：(3)证明：∵[(2

n

＋2)2－(2

n

)2]－[(2

n

＋4)2－(2

n

＋2)2]＝(2

n

＋2＋2

n

)(2

n

＋2－2

n

)－(2

n

＋4＋2

n

＋2)(2

n

＋4－2

n

－2)＝4(2

n

＋1)－4(2

n

＋3)＝8

n

＋4－8

n

－12＝－8，∴任意两个连续“奇巧数”之差是同一个数.子题1.2规律探究

(2023石家庄模拟)发现：若两个已知正整数之差为奇数，则它们

的平方差为奇数；若两个已知正整数之差为偶数，则它们的平方差为偶数.验证：如(2＋3)2－22＝

，(3＋4)2－32＝

⁠.21

40

探究：设“发现”中的两个已知正整数为

n

，

n

＋

m

(两数之差为

m

)，请论证“发

现”中结论的正确性.证明：(

n

＋

m

)2－

n2＝(

n

＋

m

＋

n

)(

n

＋

m

－

n

)＝

m

(2

n

＋

m

).当

m

为奇数时，由2

n

为偶数，得2

n

＋

m

为奇数，那么

m

(2

n

＋

m

)为奇数；当

m

为偶数时，由2

n

为偶数，得2

n

＋

m

为偶数，那么

m

(2

n

＋

m

)为偶数.

(2022河北中考)发现：两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和

一定是偶数，且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和.验证：如(2＋1)2＋(2－1)2＝10为偶数.请把10的一半表示为两个正整数的平方和；探究：设“发现”中的两个已知正整数为

m

，

n

，请论证“发现”中的结论正确.解：验证：10的一半为5，5＝1＋4＝12＋22.探究：证明：(

m

＋

n

)2＋(

m

－

n

)2＝

m2＋2

mn

＋

n2＋

m2－2

mn

＋

n2＝2

m2＋2

n2＝2(

m2＋

n2).其中2(

m2＋

n2)为偶数，且其一半

m2＋

n2正好是两个正整数的平方和，∴“发现”中的结论正确.子题2.1与(－

x

－1)2相等的是(

C

)A.

－

x2－1B.

x2＋1C.

x2＋2

x

＋1D.

－

x2－2

x

－1子题2.2(2024霸州期末)将1022变形正确的是(

C

)A.

1022＝1002＋22B.

1022＝1002－2×100×2＋22C.

1022＝1002＋4×100＋22D.

1022＝1002＋100×2＋22CC子题2.3(2023沧州模拟)小刚把(2

022

x

＋2

021)2展开后得到

ax2＋

bx

＋

c

，把(2

021

x

＋2

020)2展开后得到

mx2＋

nx

＋

q

，则

a

－

m

的值为(

C

)A.

1B.

－1C.

4

043D.

－4

043C

3.

过程纠错小红在计算

a

(1＋

a

)－(

a

－1)2时，解答过程如下：

a

(1＋

a

)－(

a

－1)2＝

a

＋

a2－(

a2－1)…………第一步＝

a

＋

a2－

a2－1…………第二步＝

a

－1.…………第三步小红的解答从第

步开始出错，请写出正确的解答过程.解：正确