苏科版2024-2025学年七年级数学上册专练习2.15有理数的混合运算(知识梳理与考点分类讲解)(学生版+解析)

专题2.15有理数的混合运算（知识梳理与考点分类讲解）第一部分【知识点归纳】【知识点一】有理数的混合运算一、理解运算顺序有理数混合运算的运算顺序：①从高级到低级：先算乘方，再算乘除，最后算加减；②从内向外：如果有括号，就先算小括号里的，再算中括号里的，最后算大括号里的.③从左向右：同级运算，按照从左至右的顺序进行（或应用分配律、结合律）；二、应用四个原则：1、整体性原则：乘除混合运算统一化乘，统一进行约分；加减混合运算按正负数分类，分别统一计算，或把带分数的整数、分数部分拆开，分别统一计算。2、简明性原则：计算时尽量使步骤简明，能够一步计算出来的就同时算出来；运算中尽量运用简便方法，如五个运算律的运用。3、口算原则：在每一步的计算中，都尽量运用口算，口算是提高运算率的重要方法之一，习惯于口算，有助于培养反应能力和自信心。分段同时性原则：对一个算式，一般可以将它分成若干小段，同时分别进行运算。如何分段呢?主要有：(1)运算符号分段法。有理数的基本运算有五种：加、减、乘、除和乘方，其中加减为第一级运算，乘除为第二级运算，乘方为第三级运算。在运算中，低级运算把高级运算分成若干段。一般以加号、减号把整个算式分成若干段，然后把每一段中的乘方、乘除的结果先计算出来，最后再算出这几个加数的和．(2)括号分段法，有括号的应先算括号里面的。在实施时可同时分别对括号内外的算式进行运算。(3)绝对值符号分段法。绝对值符号除了本身的作用外，还具有括号的作用，从运算顺序的角度来说，先计算绝对值符号里面的，因此绝对值符号也可以把算式分成几段，同时进行计算．(4)分数线分段法，分数线可以把算式分成分子和分母两部分并同时分别运算。说明：本题以加号、减号为界把整个算式分成三段，这三段分别计算出来的结果再相加。三、掌握运算技巧（1）归类组合：将不同类数(如分母相同或易于通分的数)分别组合；将同类数(如正数或负数)归类计算。（2）凑整：将相加可得整数的数凑整，将相加得零的数（如互为相反数）相消。（3）分解：将一个数分解成几个数和的形式,或分解为它的因数相乘的形式。（4）约简：将互为倒数的数或有倍数关系的数约简。（5）倒序相加：利用运算律，改变运算顺序,简化计算。（6）正逆用运算律：正难则反,逆用运算定律以简化计算。（7）绝对值和偶次幂的非负性。四、理解转化的思想方法有理数运算的实质是确定符号和绝对值的问题。因此在运算时应把握“遇减化加．遇除变乘，乘方化乘”，这样可避免因记忆量太大带来的一些混乱，同时也有助于学生抓住数学内在的本质问题。把所学的有理数运算概括起来。可归纳为三个转化：一是通过绝对值将加法、乘法在先确定符号的前提下，转化为小学里学的算术数的加法、乘法；二是通过相反数和倒数分别将减法、除法转化为加法、乘法；三是将乘方运算转化为积的形式．若掌握了有理数的符号法则和转化手段，有理数的运算就能准确、快速地解决了．五、会用三个概念的性质如果a．b互为相反数，那么a+b=O，a=-b；如果c，d互为倒数，那么cd=l，c=1/d；如果|x|=a(a＞0)，那么x=a或-a.第二部分【题型展示与方法点拨】【题型1】有理数的四则混合运算【例1】（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算：(1)；(2)．【变式1】（22-23六年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）若规定，例，则．【变式2】（23-24七年级上·云南昭通·阶段练习），括号里应该填（

）A． B．0 C．1 D．【题型2】含乘方的有理数混合运算【例2】（24-25七年级上·全国·假期作业）计算：(1)；(2)；【变式1】（23-24六年级下·全国·假期作业）计算的结果是．【变式2】（24-25七年级上·全国·随堂练习）下列式子计算正确的是（）A．B．C．D．【题型3】用简便方法进行有理数的混合运算【例3】（23-24七年级上·河南平顶山·阶段练习）学习了有理数的运算后，王老师给同学们出了这样一道题：计算，看谁算得又对又快．下面是两位同学给出的不同解法．小强：原式小莉：原式．（1）以上两种解法，你认为谁的解法比较简便？（2）你还有其他解法吗？如果有，请你写出解答过程；（3）你能用简便方法计算吗？如果能，请你写出解答过程．【变式1】（23-24七年级上·江苏泰州·阶段练习）甲、乙两人用简便方法进行计算的过程如下所示，下列判断正确的是（）甲：乙：A．甲、乙都正确 B．甲、乙都不正确 C．只有甲正确 D．只有乙正确【变式2】（2021·安徽宣城·一模）读一读：式子“1+2+3+4+…+100”表示从1开始的100个连续自然数的和，由于式子比较长，书写不方便，为了简便起见，我们将其表示为n，这里“∑”是求和符号，通过对以上材料的阅读，计算．【题型4】有理数混合运算与程序流程图和算24点【例4】（23-24七年级上·河南信阳·期末）按下列程序计算，把答案填写在表格内，然后观察有什么规律，想一想：为什么会有这个规律？（1）填写表内空格：输入0…输出答案91（2）发现的规律是：输入数据x，则输出的答案是_____．（3）请验证你发现的规律．【变式1】（24-25七年级上·全国·随堂练习）嘉嘉和琪琪在玩24点游戏，游戏规则是：从一副扑克牌中抽去大小王剩下52张，任意抽取4张牌，把牌面上的数运用你所学过的运算（可以使用括号）得出24．每张牌都必须使用一次，但不能重复使用．嘉嘉抽到的四张牌如下，请帮他写出一个计算结果为24的算式．【变式2】（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）按如图所示的步骤操作，若输入的数为，则输出的数为（

）A． B． C． D．【题型5】有理数混合运算的实际应用【例5】（24-25七年级上·全国·随堂练习）在一次数学测验中，七年（2）班的平均分为87分，把高于平均分的部分记作正数，低于平均分的部分记作负数，下表是该班一个小组10名同学的成绩变化情况：学生序号12345678910成绩变化0（1）该小组10名同学的成绩最低分是多少？最高分是多少？（2）最高分比最低分高多少？（3）该组10名同学的成绩总分是多少？（4）若该组10名同学的成绩平均分不低于87分，将得到奖励，每高一分，每人奖励2个本，否则不奖励，那么该组10名同学是否受到奖励？若奖励，共奖励多少个本？【变式1】（2024·四川达州·三模）在我国古书《易经》中有“上古结绳而治”的记载，它指“结绳记事”或“结绳记数”．如图，一远古牧人在从右到左依次排列的绳子上打结，满6进1，用来记录他所放牧的羊的只数，由图可知，他所放牧的羊的只数是（

）A．1234 B．310 C．60 D．10【变式2】（22-23七年级上·福建福州·阶段练习）如图1，点A，B，C是数轴上从左到右排列的三个点，对应的数分别为，b，6，某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，发现点B对齐刻度，点C对齐刻度．则数轴上点B所对应的数b为．第三部分【中考链接与拓展延伸】1、直通中考【例1】（2024·甘肃·中考真题）定义一种新运算*，规定运算法则为：（m，n均为整数，且）．例：，则．【例2】（2021·山东日照·中考真题）数学上有很多著名的猜想，“奇偶归一猜想”就是其中之一，它至今未被证明，但研究发现，对于任意一个小于的正整数，如果是奇数，则乘3加1；如果是偶数，则除以2，得到的结果再按照上述规则重复处理，最终总能够得到1．对任意正整数，按照上述规则，恰好实施5次运算结果为1的所有可能取值的个数为（）A．8 B．6 C．4 D．22、拓展延伸【例1】（24-25七年级上·全国·假期作业）阅读与思考下面是小宇同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的计算．逆用乘法分配律解题我们知道，乘法分配律是，反过来．这就是说，当中有相同的a时，我们可以逆用乘法分配律得到，进而可使运算简便．例如：计算，若利用先乘后减显然很繁琐，注意到两项都有，因此逆用乘法分配律可得，这样计算就简便得多计算：(1)；(2)；(3)．(4)【例2】．（22-23七年级上·广东广州·期末）如图，已知点A、点B是直线上的两点，厘米，点C在线段上，且厘米．点P、点Q是直线上的两个动点，点P的速度为1厘米/秒，点Q的速度为2厘米/秒．点P、Q分别从点C、点B同时出发，在直线上运动，则经过秒时线段的长为6厘米．专题2.15有理数的混合运算（知识梳理与考点分类讲解）第一部分【知识点归纳】【知识点一】有理数的混合运算一、理解运算顺序有理数混合运算的运算顺序：①从高级到低级：先算乘方，再算乘除，最后算加减；②从内向外：如果有括号，就先算小括号里的，再算中括号里的，最后算大括号里的.③从左向右：同级运算，按照从左至右的顺序进行（或应用分配律、结合律）；二、应用四个原则：1、整体性原则：乘除混合运算统一化乘，统一进行约分；加减混合运算按正负数分类，分别统一计算，或把带分数的整数、分数部分拆开，分别统一计算。2、简明性原则：计算时尽量使步骤简明，能够一步计算出来的就同时算出来；运算中尽量运用简便方法，如五个运算律的运用。3、口算原则：在每一步的计算中，都尽量运用口算，口算是提高运算率的重要方法之一，习惯于口算，有助于培养反应能力和自信心。分段同时性原则：对一个算式，一般可以将它分成若干小段，同时分别进行运算。如何分段呢?主要有：(1)运算符号分段法。有理数的基本运算有五种：加、减、乘、除和乘方，其中加减为第一级运算，乘除为第二级运算，乘方为第三级运算。在运算中，低级运算把高级运算分成若干段。一般以加号、减号把整个算式分成若干段，然后把每一段中的乘方、乘除的结果先计算出来，最后再算出这几个加数的和．(2)括号分段法，有括号的应先算括号里面的。在实施时可同时分别对括号内外的算式进行运算。(3)绝对值符号分段法。绝对值符号除了本身的作用外，还具有括号的作用，从运算顺序的角度来说，先计算绝对值符号里面的，因此绝对值符号也可以把算式分成几段，同时进行计算．(4)分数线分段法，分数线可以把算式分成分子和分母两部分并同时分别运算。说明：本题以加号、减号为界把整个算式分成三段，这三段分别计算出来的结果再相加。三、掌握运算技巧（1）归类组合：将不同类数(如分母相同或易于通分的数)分别组合；将同类数(如正数或负数)归类计算。（2）凑整：将相加可得整数的数凑整，将相加得零的数（如互为相反数）相消。（3）分解：将一个数分解成几个数和的形式,或分解为它的因数相乘的形式。（4）约简：将互为倒数的数或有倍数关系的数约简。（5）倒序相加：利用运算律，改变运算顺序,简化计算。（6）正逆用运算律：正难则反,逆用运算定律以简化计算。（7）绝对值和偶次幂的非负性。四、理解转化的思想方法有理数运算的实质是确定符号和绝对值的问题。因此在运算时应把握“遇减化加．遇除变乘，乘方化乘”，这样可避免因记忆量太大带来的一些混乱，同时也有助于学生抓住数学内在的本质问题。把所学的有理数运算概括起来。可归纳为三个转化：一是通过绝对值将加法、乘法在先确定符号的前提下，转化为小学里学的算术数的加法、乘法；二是通过相反数和倒数分别将减法、除法转化为加法、乘法；三是将乘方运算转化为积的形式．若掌握了有理数的符号法则和转化手段，有理数的运算就能准确、快速地解决了．五、会用三个概念的性质如果a．b互为相反数，那么a+b=O，a=-b；如果c，d互为倒数，那么cd=l，c=1/d；如果|x|=a(a＞0)，那么x=a或-a.第二部分【题型展示与方法点拨】【题型1】有理数的四则混合运算【例1】（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】此题考查了有理数的乘法与除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．（1）先计算括号中的运算，以及除法化为乘法运算，约分即可得到结果；（2）原式先将除法运算化为乘法运算，再利用乘法分配律计算即可得到结果．解：（1）；（2）．【变式1】（22-23六年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）若规定，例，则．【答案】【分析】此题考查了有理数的混合运算，正确理解题意列得算式是解题的关键．根据公式列式计算可得答案．解：，故答案为：．【变式2】（23-24七年级上·云南昭通·阶段练习），括号里应该填（

）A． B．0 C．1 D．【答案】A【分析】本题考查的是有理数的混合运算的理解，理解和，积，商的含义是解本题的关键，先计算，，从而可得答案．解：∵，，而，∴括号内填的是；故选A【题型2】含乘方的有理数混合运算【例2】（24-25七年级上·全国·假期作业）计算：(1)；(2)；【答案】(1)(2)【分析】本题考查有理数混合运算，熟练掌握有理数混合运算法则是解题的关键．（1）本题考查有理数混合运算，先运用乘法分配律简便计算，同时运算除法，然后进行加减即可解题．（2）熟练掌握有理数混合运算顺序“先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先算括号内的运算”是解题的关键．（1）解：；（2）解：．【变式1】（23-24六年级下·全国·假期作业）计算的结果是．【答案】36【分析】本题考查了有理数的混合运算．先算乘方，再算乘除，最后算加减．解：，故答案为：36．【变式2】（24-25七年级上·全国·随堂练习）下列式子计算正确的是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据有理数的混合运算法则逐项判断即可得出答案，准确熟练地进行计算是解题的关键．解：A、，故A不符合题意；B、，故B不符合题意；C、，故C符合题意；D、，故D不符合题意；故选：C．【题型3】用简便方法进行有理数的混合运算【例3】（23-24七年级上·河南平顶山·阶段练习）学习了有理数的运算后，王老师给同学们出了这样一道题：计算，看谁算得又对又快．下面是两位同学给出的不同解法．小强：原式小莉：原式．(1)以上两种解法，你认为谁的解法比较简便？(2)你还有其他解法吗？如果有，请你写出解答过程；(3)你能用简便方法计算吗？如果能，请你写出解答过程．【答案】(1)小莉(2)有，见解析(3)【分析】（1）对比二者的运算过程的繁简程度即可判断；（2）将原数化为，用乘法分配律即可求解；（3）将原数化为，用乘法分配律即可求解．解：（1）解：由题意得小强没有进行约分计算，导致数字偏大，运算量大；小莉将原数拆分后利用乘法分配律进行运算，简化了运算；故小莉的解法比较简便；（2）解：还有其他的解法；原式；（3）解：能；原式．【点睛】本题考查了有理数的混合运算，乘法分配律，会利用运算律进行简便运算是解题的关键．【变式1】（23-24七年级上·江苏泰州·阶段练习）甲、乙两人用简便方法进行计算的过程如下所示，下列判断正确的是（）甲：乙：A．甲、乙都正确 B．甲、乙都不正确 C．只有甲正确 D．只有乙正确【答案】A【分析】先把减法转化成加法，再利用加法的运算律求解；解：甲：原式乙：原式故选：A【点睛】本题考查了有理数的混合运算，加法运算律是解题的关键【变式2】（2021·安徽宣城·一模）读一读：式子“1+2+3+4+…+100”表示从1开始的100个连续自然数的和，由于式子比较长，书写不方便，为了简便起见，我们将其表示为n，这里“∑”是求和符号，通过对以上材料的阅读，计算．【答案】【分析】根据求和公式写出分数的和的形式，根据分数的性质计算即可．解：由题意得，＝1＝1，故答案为：．【点睛】本题考查的是数字的变化类问题，根据题意写出分数的和的形式、并正确进行分解是解题的关键．【题型4】有理数混合运算与程序流程图和算24点【例4】（23-24七年级上·河南信阳·期末）按下列程序计算，把答案填写在表格内，然后观察有什么规律，想一想：为什么会有这个规律？(1)填写表内空格：输入0…输出答案91(2)发现的规律是：输入数据x，则输出的答案是_____．(3)请验证你发现的规律．【答案】(1)见解析(2)(3)见解析【分析】本题考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．（1）把输入行的数分别代入程序中计算即可得到结果；（2）根据程序得出一般性规律，写出即可；（3）由题中给出的式子我们可得出（1）解：填表如下：输入0…输出答案9410…（2）解：输入数据x，则输出的答案是．（3）解：【变式1】（24-25七年级上·全国·随堂练习）嘉嘉和琪琪在玩24点游戏，游戏规则是：从一副扑克牌中抽去大小王剩下52张，任意抽取4张牌，把牌面上的数运用你所学过的运算（可以使用括号）得出24．每张牌都必须使用一次，但不能重复使用．嘉嘉抽到的四张牌如下，请帮他写出一个计算结果为24的算式．【答案】（答案不唯一）【分析】此题主要考查了有理数的混合运算，注意明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．解：本题中设计的数字有：8，4，2，12．根据题目规则，可得满足条件的算式如下：（1）．（2）．（3）．（4）等．故答案为：（答案不唯一）．【变式2】（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）按如图所示的步骤操作，若输入的数为，则输出的数为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据运算程序直接计算即可求解，掌握有理数的运算法则是解题的关键．解：由题意可得，输出的数为，故选：．【题型5】有理数混合运算的实际应用【例5】1．（24-25七年级上·全国·随堂练习）在一次数学测验中，七年（2）班的平均分为87分，把高于平均分的部分记作正数，低于平均分的部分记作负数，下表是该班一个小组10名同学的成绩变化情况：学生序号12345678910成绩变化0（1）该小组10名同学的成绩最低分是多少？最高分是多少？（2）最高分比最低分高多少？（3）该组10名同学的成绩总分是多少？（4）若该组10名同学的成绩平均分不低于87分，将得到奖励，每高一分，每人奖励2个本，否则不奖励，那么该组10名同学是否受到奖励？若奖励，共奖励多少个本？【答案】(1)最低分为72分，最高分为100分(2)28分(3)890分(4)是，奖励40个本【分析】本题考查的是有理数的混合运算，进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简．（1）分别求出各同学的成绩即可；（2）由（1）中同学的成绩求出最高分与最低分的差即可；（3）根据10名同学的平均分为87分，再由这些同学成绩的变化情况进行解答；（4）由该班10名同学的总分求出其平均分，再根据若该组10名同学的成绩平均分不低于87分，将得到奖励，每高一分，每人奖励2个本，否则不奖励即可得出结论．（1）解：∵1号同学的成绩：分；2号同学的成绩：分；3号同学的成绩：分；4号同学的成绩：分；5号同学的成绩：分；6号同学的成绩：分；7号同学的成绩：分；8号同学的成绩：分；9号同学的成绩：分；10号同学的成绩：分，∴最低分为72分，最高分为100分；（2）解：∵最低分为72分，最高分为100分，∴分；（3）解：∵七年（2）班的平均分为87分，∴10名同学的总成绩（分）；（4）解：∵该组10名同学的总成绩是890分，∴，，∴该组10名同学受到奖励，共奖励40个本．【变式1】（2024·四川达州·三模）在我国古书《易经》中有“上古结绳而治”的记载，它指“结绳记事”或“结绳记数”．如图，一远古牧人在从右到左依次排列的绳子上打结，满6进1，用来记录他所放牧的羊的只数，由图可知，他所放牧的羊的只数是（

）A．1234 B．310 C．60 D．10【答案】B【分析】本题考查了有理数的运算，根据计数规则可知，从右边第1位的计数单位为，右边第2位的计数单位为，右边第3位的计数单位为，右边第4位的计数单位为，……，依此类推，可求出结果．解：根据题意得：（只），答：他所放牧的羊的只数是310只．故选：B．【变式2】（22-23七年级上·福建福州·阶段练习）如图1，点A，B，C是数轴上从左到右排列的三个点，对应的数分别为，b，6，某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，发现点B对齐刻度，点C对齐刻度．则数轴上点B所对应的数b为．【答案】0【分析】本题考查的是数轴的概念，有理数四则混合运算的应用，解题的关键是确定数轴上的单位长度等于多少厘米．数轴上A、C两点间的单位长度是，点C对齐刻度，所以数轴的单位长度是，的长度是，除以得在数轴上的单位长度．解：∵，∴数轴的单位长度是，∵，∴在数轴上A，B的距离是3个单位长度，∴点B所对应的数b为．故答案为：0．第三部分【中考链接与拓展延伸】1、直通中考【例1】（2024·甘肃·中考真题）定义一种新运算*，规定运算法则为：（m，n均为整数，且）．例：，则．【答案】8【分析】根据定义，得，解得即可．本题考查了新定义计算，正确理解定义的运算法则是解题的关键．解：根据定义，得，故答案为：8．【例2】（2021·山东日照·中考真题）数学上有很多著名的猜想，“奇偶归一猜想”就是其中之一，它至今未被证明，但研究发现，对于任意一个小于的正整数，如果是奇数，则乘3加1；如果是偶数，则除以2，得到的结果再按照上述规则重复处理，最终总能够得到1．对任意正整数，按照上述规则，恰好实施5次运算结果为1的所有可能取值的个数为（）A．8 B．6 C．4 D．2【答案】D【分析】利用第5次运算结果为1出发，按照规则，逆向逐项计算即可