苏科版2024-2025学年九年级数学上册2.13 直线与圆的位置关系（专项练习）（基础练）（含答案）

专题2.13直线与圆的位置关系（专项练习）（基础练）一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（2024·云南·模拟预测）“光盘行动”倡导厉行节约，反对铺张浪费，带动大家珍惜粮食，如图是“光盘行动”的宣传海报，图中餐盘与筷子可看成直线和圆的位置关系是（

）A．相切 B．相交 C．相离 D．平行2．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，，，，若与直线相交，则半径r的值或取值范围为（

）A． B． C． D．3．（20-21九年级上·福建龙岩·阶段练习）下列说法正确的是（

）A．垂直于半径的直线是圆的切线 B．经过三点一定可以作圆C．每个三角形都有一个内切圆 D．圆的切线垂直于圆的半径4．（20-21九年级·全国·课后作业）如图，P是的直径的延长线上一点，，则当（

）时，直线是的切线．A． B． C． D．5．（22-23九年级上·北京海淀·阶段练习）如图，中，，是底边的中点，若腰与相切，则与的位置关系为（

）A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定6．（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，切于，切于，交于，连接，下列结论中，错误的是（）．

A． B． C． D．以上都不对7．（2023·山东青岛·一模）如图，是等边的外接圆，若，则的半径是（

）A． B． C． D．8．（2024·广东广州·一模）如图，的内切圆与，，分别相切于点，，，若的半径为，，则的值和的大小分别为（

）A．0， B．，C．， D．，9．（2024·重庆·模拟预测）如图，内接于，为的直径，直线与相切于点，过点作，交于点，若，则的度数为（

）A． B． C． D．10．（2023·江苏镇江·模拟预测）如图，的半径为1，是的直径，是弦，是劣弧上一点，将沿折叠，使得点的对应点是点，且弧与相切于点，设线段的长度为，弦的长度为，则（）A． B．C． D．二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）11．（23-24九年级上·全国·课后作业）的半径为，点到直线的距离为，是关于的方程的两个根，当直线和相切时，的值为．12．（20-21九年级·全国·课后作业）如图，为的直径，，当时，直线与相切．13．（24-25九年级上·全国·假期作业）如图，为的切线，、分别与切于、点，若，，则的长是．14．（23-24九年级上·河南信阳·期末）在中，，则的外接圆半径R与内切圆半径r的差．15．（2024·山东滨州·一模）如图，点是外接圆的圆心，点是的内心，连接．若，则的度数为．16．（2024·浙江嘉兴·三模）如图，的半径为，切于点，则点到的最小距离是．17．（23-24九年级下·河南鹤壁·期中）如图，是半圆O的直径，切半圆于点的平分线交于点D，若，则的长为．18．（2024·山东潍坊·一模）如图，的半径为4，圆心M的坐标为，点P是上的任意一点，，且，与x轴分别交于A，B两点．若点A，点B关于原点O对称，则当取最小值时，的面积为．三、解答题（本大题共6小题，共58分）19．（8分）（24-25九年级上·全国·假期作业）如图，点D在的直径的延长线上，点C在上，，，求证：是的切线．20．（8分）（2023·内蒙古呼伦贝尔·一模）如图，在中，，以为直径的交于，点在线段上，且．

(1)求证：是的切线；(2)若，，求的半径．21．（10分）（2024·山东青岛·一模）已知：如图，四边形内接于，，是直径，切于点A，交的延长线于点E，过点D作，垂足为D；

(1)求证：四边形是平行四边形；(2)若，，求的长．22．（10分）（2024·广西南宁·三模）如图，为的直径，过圆上一点D作的切线交的延长线于点C，过点O作，交于点E，连接．(1)求证：直线与相切；(2)若，，求的长．23．（10分）（2024·天津西青·二模）已知是的直径，点C，D是上方半圆上的两点，连接．(1)如图①，若点C是的中点，，求和的大小；(2)如图②，若点D是半圆的中点，且，过点C作的切线，与的延长线交于点E，，求的长．24．（12分）（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）阅读理解：(1)【学习心得】小赵同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．我们把这个过程称为“化隐圆为显圆”．这类题目主要是两种类型．①类型一，“定点+定长”：如图1，在中，是外一点，且，求的度数．解：若以点（定点）为圆心，（定长）为半径作辅助圆，（请你在图1上画圆）则点必在上，是的圆心角，而是圆周角，从而可容易得到．②类型二，“定角+定弦”：如图，中，是内部的一个动点，且满足，求线段长的最小值．解：，，，（定角）点在以（定弦）为直径的上，请完成后面的过程．(2)【问题解决】如图3，在矩形中，已知，点是边上一动点（点不与，重合），连接，作点关于直线的对称点，则线段的最小值为．(3)【问题拓展】如图4，在正方形中，，动点分别在边上移动，且满足．连接和，交于点．①请你写出与的数量关系和位置关系，并说明理由；②点从点开始运动到点时，点也随之运动，请求出点的运动路径长．参考答案：1．B【分析】本题考查了直线和圆的位置关系的应用，注意∶已知O的半径为r，如果圆心O到直线的距离是d，当时，直线和圆相离，当时，直线和圆相切，当时，直线和圆相交．【详解】解：把餐盘看成圆形的半径，餐盘的圆心到筷子看成直线l的距离为d．∴，∴直线和圆相交，故选∶B．2．C【分析】本题考查了勾股定理，圆与直线的位置关系；过C作于D，利用勾股定理求出，根据三角形的面积求出，然后结合圆与直线的位置关系得出答案．【详解】解：过C作于D，∵，，，∴，∵，∴，∵与直线相交，∴半径r的值或取值范围为，故选：C．3．C【分析】根据与圆有关的基本概念依次分析各项即可判断．【详解】A．垂直于半径且经过半径外端点的直线是圆的切线，故本选项错误；B．经过不共线的三点一定可以作圆，注意要强调“不共线”，故本选项错误；C．每个三角形都有一个内切圆，本选项正确；D．圆的切线垂直于过切点的半径，注意强调“过切点”，故本选项错误．故选：C．【点拨】本题考查了有关圆的切线的判定与性质，解答本题的关键是注意与圆有关的基本概念中的一些重要字词，学生往往容易忽视，要重点强调．4．B【分析】当时，直线是的切线．连接OA．结合题意可知，从而得出．再根据，即得出，从而即可求出，即证明直线是的切线．【详解】解：当时，直线是的切线．证明：如图，连接OA．∵，∴．∵，∴，∴，即，∴直线是的切线．故选：B．【点拨】本题考查切线的判定，三角形内角和定理，等腰三角形的判定和性质．连接常用的辅助线是解题关键．5．B【分析】腰与相切，设切点为，连接，，过O点作，如图，如图，根据等腰三角形的性质得到平分，则利用角平分线的性质得，然后根据切线的判定定理可判断与相切．【详解】解：∵，∴为等腰三角形，∵腰与相切，设切点为，∴为⊙O的半径，，连接，，过O点作，如图，∵O是等腰的底边的中点，∴平分，∵，，∴，∴与相切．故选B．【点拨】本题考查了切线的性质和判定：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了等腰三角形的性质、角平分线的性质和切线的判定．6．D【分析】连接，，根据切线长定理可得，再证明，问题得解．【详解】连接，，如图，

∵切于，切于，∴，即是等腰三角形，∵，，∴，∴，即平分，∴，即A、B、C三项都正确，故选：D．【点拨】本题主要考查了切线长定理，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，掌握切线长定理，是解答本题的关键．7．C【分析】是等边的外接圆，如图所示，连接，过点作于，证明是含特殊角的直接三角形，根据勾股定理即可求解．【详解】解：∵是等边三角形，∴，如图所示，连接，过点作于，∵是等边的外接圆，，∴，平分，是弦的垂直平分线，∴，∴在中，，设，则，∴，即，解得，（舍去），，∴∴的半径是，故选：．【点拨】本题主要考查等边三角形，圆，含特殊角的直角三角形的综合，掌握等边三角形的性质，外接圆的性质，含特殊角的直角三角形的性质是解题的关键．8．A【分析】本题考查三角形的内切圆，圆周角定理，切线长定理等知识．连接．利用切线长定理，可得，从而得到，再由圆周角定理，可得，即可．【详解】解：如图，连接．∵的内切圆与，，分别相切于点，，，∴，∴，∴，∴．故选：A9．B【分析】本题考查了切线的性质，等边对等角，直角三角形的两个锐角互补，连接，根据为的直径，得出，进而可得，再根据等边对等角，得出，根据平行线的性质可得，根据切线的性质可得，进而即可求解．【详解】解：如图所示，连接，∵为的直径，∴，∵∴，又∵∴，∵，∴，∵直线与相切于点C，∴，∴，故选：B．10．A【分析】此题主要考查了翻折变换的性质以及垂径定理和勾股定理，切线的性质．设的圆心为，连接交于，连接，，由与相切于点，得到，由翻折得，根据垂径定理以及勾股定理即可求解．【详解】解：如图，设的圆心为，连接交于，连接，由折叠得，，的半径为1，，，，与相切于点，，，，，，故选：A．11．【分析】由相切可知，则有一元二次方程有两个相等的实数根，其判别式为0，可得到关于m的方程，可求得m的值．【详解】∵直线和相切，∴∵是关于的方程的两个根，∴关于的方程有两相等实数根，∴，即，解得，故答案为：．【点拨】本题主要考查切线的性质及一元二次方程根的判别式，由相切的性质得到，得出一元二次方程有两个相等的实数根是解题的关键．12．1【分析】直线与相切时，，根据勾股定理即可求出．【详解】解：当时，直线与相切，∴（cm），故答案为：1．【点拨】本题考查了切线的判定，掌握切线的判定和性质是解题关键．13．2【分析】本题考查了切线长定理，两次运用切线长定理并利用等式的性质是解题的关键．根据切线长定理得出，，根据，，求出结果即可．【详解】解：、为的切线，，、为的切线，，．故答案为：2．14．【分析】本题主要考查了三角形的内切圆与外接圆，切线长定理．设分别为与内切圆的切点，则，根据勾股定理可求出的长，从而得到R的值，再证明四边形是矩形，根据切线长定理可得，可求出r，即可求解．【详解】解：如图，设分别为与内切圆的切点，则，

在中，，由勾股定理得，∴外接圆半径．∵分别为与内切圆的切点，∴，，∴四边形是矩形，∵，∴四边形是正方形，∴，∴，∴，解得：，∴．故答案为：15．/16度【分析】连接，由点是的内心，可得，再根据圆周角定理和三角形内角和定理即可求解．【详解】解：连接，∵点是的内心，∴∴，∵，∴故答案为：．【点拨】本题考查了三角形的内心和外心的概念、圆周角定理、等腰三角形的定义、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键．16．/【分析】本题考查了切线的性质，勾股定理，根据勾股定理求得的长，进而根据点到圆的最小距离为，即可求解．【详解】解：∵切于点，∴，在中，∴∴点到的最小距离是，故答案为：．17．【分析】本题考查了角平分线的性质，切线的性质，勾股定理，过点作于点，根据勾股定理求得，进而根据角平分线的性质以及三角形的面积公式得出，进而即可求解．【详解】解：如图所示，过点作于点，∵是的切线，∴在中，∴，∵是的角平分线，∴，∵，∴，∴，解得：，又∵，∴，故答案为：．18．【分析】本题考查了点与圆的位置关系，解题的关键是根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出取最小值时点P的位置．连接，先得出要使取最小值，则需取得最小值，再连接，交于点，当点P位于点时，取得最小值，过点M作轴于点Q，过点作于点H，根据三角形面积公式即可得出答案．【详解】连接，，，点A，点B关于原点O对称，，，要使取最小值，则需取得最小值，连接，交于点，当点P位于点时，取得最小值，过点M作轴于点Q，过点作于点H，如图所示，则，，，，，，，，，，，故答案为：．19．见解析【分析】此题考查了切线的判定，三角形的内角和，三角形的外角性质，等腰三角形的性质，切线的判定方法有三种：①利用切线的定义，即与圆只有一个公共点的直线是圆的切线；②到圆心距离等于半径的直线是圆的切线；③经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．连接，由等腰三角形的性质可得，，再利用三角形的内角和及外角性质即可求证，解题的关键是熟练掌握以上知识点的应用.【详解】证明：连接，∵，，∴．∵，∴，∴，∴，∴，∴是的切线．20．(1)证明见解析(2)1【分析】本题考查了切线的判定和性质，直角三角形的性质，等边对等角，正确的作出辅助线是解题的关键．（1）连接．根据等腰三角形的性质和切线的判定定理即可得到结论；（2）根据切线的性质得到，求得．根据直角三角形的性质即可得到结论．【详解】（1）证明：连接．

，，，，，．，，是的切线；（2）解：，为直径，是的切线．是的切线，，，．，在中，，，．的半径为1．21．(1)见解析(2)【点拨】（1）根据等腰三角形的性质，切线的性质以及平行线的判定可得，再根据圆周角定理，垂直的定义以及平行线的判定可得即可；（2）根据平行四边形的性质和面积的计算方法求出半径，再根据勾股定理求出即可．本题考查切线的性质，平行四边形的判定和性质，圆周角定理以及平行四边形、三角形面积的计算，掌握切线的性质，平行四边形的判定和性质，圆周角定理以及平行四边形、三角形面积的计算方法是正确解答的关键．【详解】（1）证明：如图，连接，

，，，是的切线，切点为，，，是的直径，，即，，，四边形是平行四边形．（2）解：四边形是平行四边形，，，，，，，，在中，，，，．22．(1)见解析；(2)6．【分析】本题考查了切线的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，等边对等角，（1）连接，根据题意得，根据得，，根据得，则，根据可得，则，根据是的半径，即可得；（2）设的半径为r，由（1）得，，在中，根据勾股定理得，即，进行计算得，可得，即可得，由（1）得，，则，在中，根据勾股定理得，即，进行计算即可得；掌握切线的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质是解题的关键．【详解】（1）证明：如图所示，连接，∵与相切于点D，∴，∵，∴，，∵，∴，∴，在和中，∴，∴，∵是的半径，∴直线与相切；（2）解：设的半径为r，由（1）得，，在中，，∴，，，∴，∴，由（1）得，，∴，在中，，∴，，，，即的长为6．23．(1)，(2)【分析】（1）先求出的度数，根据等弧所对的角等得到，根据直径所对的角为直角求出，即可求出结果；（2）连接，得到，根据等边三角形性质，再求出，再利用勾股定理即可求出；本题主要考查切线的性质，圆周角定理，弧，弦，等边三角形等知识．【详解】（1）解：连接．，．∵点C是的中点，．．∵AB是的直径，．．．（