2023湘教版新教材高中数学必修第二册同步练习-442 平面与平面垂直

4.4.2平面与平面垂直

基础过关练

题组一平面与平面垂直的判定

1.（2020内蒙古赤峰期末）对于直线力和平面£，一定能得出oJ_£的一

组条件是

A.勿_1_77,m//a,n//£

B.a0z?u£

C.mi/n,〃_LB,i仁a

D.mi/77,a,〃_LB

2.（2020陕西宝鸡金台质检）下列命题正确的是

A.过平面外一点有无数条直线与这个平面垂直

B.过平面外一点有无数个平面与这个平面平行

C.过平面外一点有无数个平面与这个平面垂直

D.过平面外一点有且只有一条直线与这个平面平行

3.四面体a极?中，p归p±PC,底面力比为等腰直角三角形，心式;。为血的中点,

以下平面中，两两垂直的有.（填序号）

①平面必花②平面力比；③平面为C;④平面如C;⑤平面POC.

4.（2022贵州遵义第四中学期末）如图，四棱锥人力宓9的底面力叫9是菱

形,PAUB,处，必尸是外的中点，连接AC,BD,且亦与班交于点£连接在

（1）求证:成〃平面PCD;

⑵求证:平面战江平面PAQ

p

题组二平面与平面垂直的性质

5.（2022北京延庆期末）设%B是两个不同的平面，直线仞，£，则“办=。”是

"力£'’的

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

6.（多选）关于三个不同的平面dy与一条直线1,下面命题中为真命题的是

A.若。，£,则a内一定存在直线平行于£

B.若。与£不垂直，则a内一定不存在直线垂直于£

C.若a_L/,£_L九on8二L则7±Y

D.若，则a内所有直线都垂直于B

7.（2020河北衡水武邑中学开学考试）正方形4a应所在的平面与等腰直角三角形

力力所在的平面互相垂直，且［e除2,NM?=90°,尺G分别是线段4昆8。的中

点，则CD与G尸所成角的余弦值为（）

B.--

8.（2020广东珠海期末）如图,在矩形ABCD中,E为外的中点,现将△为月与△口成

折起，使得平面的夕和平面缈后都与平面垂直.求证:宛〃平面DAE.

9.如图，在四棱锥上ABCD中,底面力时是菱形,且/如后60°,△处〃为等边三角

形，G为边相的中点,平面为〃J_平面ABCD.

(1)求证:8G_L平面PAD\

（2）若少为边力的中点,在边尸。上是否存在点F,使平面庞7」平面力切力?证明你

的结论.

题组三二面角

10.（2020湖北宜昌一中期末）如图，将正方形沿对角线NC折叠后,平面

历平面DAC,则二面角B-CD-A的余弦值为（）

B

A.—B.iC.—D.—

2235

11.（多选）（2022浙江温州期中联考）如图是一个正方体的表面展开图,还原成正

方体后，下列判断正确的是（）

A.AC//FH

B.阿与勿所成的角为60°

C.二面角6H的大小为45°

D.B,〃E,G恰好是一个正四面体的四个顶点

12.（2020湖南长沙第一中学月考）如图,在一个平面角大小为60°的二面角的棱

上有48两点，线段力。、M分别在这个二面角的两个半平面内，并且都垂直于

棱若力庐盼2,则缪的长为（）

A.2鱼B.V3C.2D.V5

13.（2022陕西渭南二模）如图，在梯形ABCD中，AB〃CD,/比次120°,四边形

ACFE为矩形,平面4侬1平面ABCD、且AACFBOCF^l.

（1）求证:£"_L平面BCF\

（2）求平面为8与平面阅?的夹角的余弦值.

能力提升练

题组一平面与平面垂直的判定

1.（2020湖北襄阳四中月考）如图,等边三角形相C的中线花与中位线座相交于

点G将△力口沿龙翻折成△小能在翻折过程中，下列命题中真命题的个数为

①恒有力'EL";

②异面直线力'?与劭不可能垂直；

③恒有平面平面BCED;

④动点力'在平面/回上的投影在线段力尸上.

A.1B.2

C.3D.4

2.（2020河北石家庄二中期中）如图所示,在四棱锥KABCD中,为，底面ABCD,且

底面各边都相等，点"是上上的一个动点，当点材满足时,平

面，柳必，平面上Z（填写一个你认为正确的条件即可）

3.（2020湖南师大附中期末）如图,直三棱柱/心顺的底面是边长为2的正三角

形，侧棱4>1,尸是线段〃的延长线上一点,平面为8分别与〃尸、原相交于欣N.

（1）求证:刈/〃平面CDE\

⑵当上为何值时，平面为反L平面CD由

题组二平面与平面垂直的性质

4.（多选）（2022黑龙江大庆中学期中）已知a,£是两个不同的平面，勿，〃是两条

不同的直线,下列说法中正确的是（）

A.若mA.a,勿〃〃，/?u£，贝ij。_L£

B.若a//£,R_La,B,则m//n

C.若a〃£,归。，〃u£，则m/!n

D.若oI£,〃xza,a0J3=ntviz?,则加IJ3

5.（2020黑龙江哈尔滨三中期末）已知直二面角点力£点。为

垂足,BeB,BDL1,悬〃为垂足.若AB=2,AeBD=l,则切的长为.

6.（2020安徽宣城二模）如图,在矩形ABCD^yAg£尸分别在线段BC,AD

上,EF//AB,现将矩形ABEF沿房折起，记折起后为矩形MNEF,且平面网吐L平面

ECDF.

（1）求证:AT〃平面朗叨；

⑵若旌3,求证:/叨_1_房

1/

AI)

题组三二面角

7.（2020重庆第八中学三诊）在直角△力纪中，AB=A（=y/3i回边上一点,沿AD

将△力切折起，使点。在平面/劭内的投影〃恰好在边上,若好1,则二面角

的余弦值是（）

A.iB.立CYD*

3332

8.（2022福建龙岩期中联考）如图，四边形4腼是等腰梯形,BO2AD=2AB=8tE是

线段理的中点,沿着〃£将4。厉折起，使得点。与点P重合.若二面角A-DE-P为

120°,则点尸到直线劭的距离是.

9.（2022江苏南京、镇江名校期中）如图，在四棱锥氏力时中，平面力比Z4平面

ABE,AB//DC,ABIBC,AF2BO2C22、AFB芹W,点、M为庞、的中点.

⑴求证：〃平面ADE\

(2)求二面角比60C的正弦值.

I)

10.(2020广东实验中学、华师附中、深圳中学、广雅中学四校联考)如图，48是

圆。的直径，点。是圆。上异于力、8的点,Ad平面力式;£、尸分别是四1、%的

中I占八、、♦

(1)记平面颂与平面力理的交线为7,试判断直线1与平面阳。的位置关系，并

加以证明；

⑵设PO2AB,求二面角氏的取值范围.

答案全解全析

基础过关练

l.cA中，。也可与£平行;B中，不一定有。，£;C

中，,:n,nIJ3,mIB,又仁a,：.aI£;D中，a〃6.故选C.

2.C过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直,故A错误;过平面外一点

有且只有一个平面与已知平面平行,故B错误；・・,过平面外一点有且只有一条直

线与已知平面垂直,而过这条直线的平面有无数个，，由平面与平面垂直的判定

定理,知这无数个平面都与已知平面垂直,故C正确;过平面外一点有无数条直线

与这个平面平行,故D错误.故选C.

3.答案①②，①⑤，②⑤

解析•・・PA=PB,AOBC,。为力8的中点，

・,.OPLAB,OCA.AB,又OPC彼0,・"员L平面POC,又力比平面为6"比平面

ABC,・・・平面以反L平面POC,平面/%1.平面POC.,・•底面为等腰直角三角

形,P归PFPC,:.PC=PhPC=PO+OC,：・P0工0C,又P010A,OCH0A=0,:.POL

平面力优•"后平面切瓦.♦.平面必以L平面ABC.故答案是①②,①⑤,②⑤.

4.证明⑴由题知,£是劭的中点,尸是PB的中点、，：.EF//PD,

又,.・跖!平面PCD,49c平面PCD,

・・・/%〃平面PCD.

(2)PALAB,PA上AD,ABHAD-A,AB,力以二平面ABCD,ABCD,

・.,必=平面ABCD,：.PALBD、

••,底面力颇是菱形，:.BDLAC,

又PAQAOA,PA,力比平面PAC,

・,•他_L平面PAC,

又如平面PBD,

J平面必0JL平面PAC.

5.A由/_L£，归。，可得。_L£;由a_L£,勿_1_£,可得归。，或勿〃。，故

“归。”是“。_L£”的充分不必要条件,故选A.

6.ABC对于A,假设。ClB=a,则。内所有平行于a的直线都平行于£,故A为

直命题；易知B为直命题；

对于C,如图，设4ny=a,Bny=b,归4,〃u£，且加_1_&〃J_b,

rm5^np

/brHJ/

〃JL£JLy,y,nl,Y、：.m〃n,

.：ga,/a,:.n〃a,

■:nuB,aCB=l,：.n〃九故C为真命题;

对于D,根据两个平面垂直的性质定理可知D为假命题.故选ABC.

7.C连接/G,如图所示.

•・•四边形力延为正方形，AE//CD.

・・•平面力切上1平面ABC,平面力C必A平面ABOAC,力住平面ACDE,・・.4£JL平面ABC.

・・3⑥平面ABC,：.AELAG.

•:AC^BO2,NACF90。，F、G分别是线段力区8。的中点，

：.A(^y/AC2+CG2=V5,0户］,

/.尸6f/心+人『=巫,

・・・cosN力心竺金.

FG6

VAE〃CD、：.CD三GQ所成角的余弦值为金

6

故选C.

8.证明过点8作BMLAE于M,过点。作CNLED于N、连接MN.

・.・平面的/与平面的6垂直，平面BAEC平面DA6AE,BMLAE,〃侬平面BAE,

・••以0_平面DAE,

同理可证例平面DAEy：.BM//CN.

又知△胡£与△侬全等，，笈沪制

・・・四边形式沏/是平行四边形，，比〃/瞅

又晒平面DAEy助比平面DAE,

・・.」宛〃平面DAE.

9.解析⑴证明：如图,连接BD,因为底面/腼是菱形,所以A斤AD,又因为

NB/D60°,所以△力勿是等边三角形.

因为G为边49的中点,所以BGLAD.

因为平面为。_1_平面ABCD,平面PADC平面ABCAAD,庞c平面BAD,BGLAD,

所以优工平面PAD.

⑵存在点£且尸为比的中点.

证明如下:取的中点F,连接DF,EF,EG,CG,DE,PG、且CG与DE交于点、M,连接

FM.

因为力。〃和且力历为CEG分别是阳力〃的中点，所以CE〃DG、旦gDG.

则四边形的是平行四边形，

所以C距MG.

又因为C户FP,所以MF//PG.

因为△处〃是等边三角形，6是成的中点，

所以夕GJ_49.

又因为平面平面ABCD,平面PADC平面ABCD=AD,

所以％_L平面ABCD,所以也＜1平面ABCD.

又加七平面DEF,

所以平面㈤U平面ABCD.

10.C设正方形的边长为a,取力。的中点0,连接BO,则BOA.AC,过。作力〃的平

行线OE交CD千£连接应：・・・平面加C_L平面DAC,平面倒CA平面

DAOAC,BO工AC,・♦•仇U平面DAC,:・BOA_CD,又OELCD,

・・・切，平面BOE,：.CDLBE,

・・・NH川即为二面角层缈■/的平面角.

易知B潜a,0吟,

由加工比得,△仇应为直角三角形，

42

c.a^XBEO=--^-=—.故:选C.

BE回3

2

11.BCD将正方体的表面展开图还原为正方体，如图所示:

易得与田为异面直线,故A错误.

连接BD、DG,因为HD//BFyHD-BF、

所以四边形切仍为平行四边形，

所以HF〃BD,

所以/〃箔（或其补角）为异面直线能与方所成的角.

设正方体的棱长为%则BFDG^BG^lia,

所以N%小60°,所以异面直线BG与四所成的角为60°,故B正确.

连接AG,因为平面GABQ平面ABOAB,力8,平面BCGF,BG,at平面BCGF,

所以48_1_能/心L/

所以NG%为二面角心46C的平面角，

由于N6CR90°,且BOCG,所以/必上45°,

因此二面角的大小为45°,故C正确.

连接DE,BE,EG,因为B咛B/G及D序所以B,D,£G恰好是一个正四面

体的四个顶点，故D正确.故选BCD.

12.C过点力作熊〃劭,且力后能连接庞、CE、

9

：BD.LABf：.AELAB,又ACLAB,

・・・/。£即为二面角的平面角，・・・/。尼60°,

・・・CB=y/CA2+AE2-2CA-AE-cos60°

=Jl+4-2xlx2x1=V3.

■:心AB,AE_LAB,ACCA斤A,AC,4fc平面CAE,.,.4?_L平面CAE.

由AE//BD,A^BDy知四边形四必为平行四边形，，龙〃仍修仍.••皿平面

CAE,

又Gfc平面CAE,:.DE1CE,

：.CD-ylCE2+DE2=V3TT=2.故选C.

13.解析⑴证明：在梯形力腼中，少上式;，梯形48⑦为等腰梯

形，

*：ZBCD=120°,

工NDA庐NABC=6G°,ZADO120°,

，ZDAC=ZAC/)=30°、：./力叱90°,：.BCLAC.

・・,四边形力旌为矩形，

：.EF//AC,EFICF,:・EFLBC,

又CFQBOC,CF,at平面BCF,

・・・初1平面BCF.

(2)如图，取质的中点G,连接S/G,

♦：B白FC,：.CGVBF.

■:BOFC,AOACyZAC/^ZACB-90°,

ARtAJCT^RtAJC^,

:.A芹AB,：.AG±BFf

・・・N/GC为平面见方与平面2所成的锐二面角，

在中，BC=1,/月吐60:

：.AB=2f4信

・・・平面平面ABCD,平面ACFEQ平面ABCAAC,FCVAQ依=平面ACFE,

，尸平面ABCD,

・・•砥I平面ABCD,：.FCLBC.

在RtZXHT中,小诉1,J止应,C吟、

在RtA4"中，止IAB2-倍了4-湾

71

AG2+CG2-ACZ/丁31V7

在△力龙中，根据余弦定理，得cosN4GG

2AGCG2x-X—夕7'

・♦・平面用6与平面凡3的夹角的余弦值为

能力提升练

1.C易知G为DE的中点,A'AA'E,F&FD、：・FGLDE,A'G工DE,又

R；n，RG・・・"_1平面用T,又力'/七平面FGA',：.A'FLDE,故①正确;

易知EF〃BD,故异面直线不/与劭所成的角（或其补角）为//耳；当

力上+欧41时,异面直线/£与物垂直,故②错误；

由①证得OEL平面FGA',又跟平面BCED,故平面力'GEL平面BCED,故③正确；

由③证得平面/'GRL平面BCED、故动点/'在平面上的投影在线段/月上，故

④正确.故选C.

2.答案DML（或BM1PC）

解析连接力。（图略），由题意得以U_/K

・.・必_1_底面ABCD,：,PALBD.

又用A4信4用,力比平面PAC,

・,.HLL平面PAC、:,BDLPC.

令点〃满足〃归_比（或BMLPO,

•.*BDC〃上〃（或BDCB拒B）,

；・PUL平面初犯

而依=平面PCD,

J平面物切J_平面PCD.

3.解析⑴证明：由题意得,力△〃〃£力因平面〃砧底平面DEF,・"8〃平面DEF.

・・•平面PABH平面DE用MN,

：.AB//MNy：.DE//MNt

又"口平面CDE,即z平面CDE,

J助#〃平面CDE.

⑵分别取线段AB,龙的中点G,〃连接CG、GH,CH,PG,则GH//CP,

・・・26；6〃四点共面.

易得Rt/\PCA*RtAPCB,：・PA=PB,JPGLAB.

,:AB〃DE、

：.PGA.DE.

若PG1CH,则AGJ_平面CDE、

又Rfc平面为6，平面为81平面CDEy

此时NC7Q/ZA%,则M备.

・.・△/!阿是边长为2的正三角形，

：.CG=2sin600=V3.

r「2

又G加1,：.PC^-=3,：・PF^PC-FO2、

GH

：.当P六2时,平面为8,平面CDE.

4.ABD对于A,若勿JL。，勿〃〃，则又因为〃u£,所以。_1_£，故A正确;

对于B,若a//J3i/nl_则勿〃〃，故B正确；

对于C,若a〃B,nua、nu£,则卬与〃可能平行也可能异面,故C错误；

对于D,由面面垂直的性质定理可得,D正确.故选ABD.

5.答案V2

解析如图，连接比:

・.•二面角。-/-£为直二面角，力比。，且他。A,又

BCu8,：.AC工BC,:・B-C=3.又BD工CD、：.C^BC2-BD2=y/2.

6.证明（1）因为四边形MNEF,四边形即圻都是矩形,所以

MN〃EF〃CD、MN^EACD、

所以四边形助区》是平行四边形,所以NC//MD.

因为M7I平面就叨，极七平面MFD,

所以M?〃平面掰叨.

⑵如图，连接被

M

m

EC

因为平面物防J_平面ECDF、且NE1EF,

所以跖1平面ECDF,所以FCLNE.

又由。3,所以四边形ECDF为正方形,所以FCA.ED,

又NECED=Ef瓯/平面NED,

所以用J_平面NED,所以ND1FC.

7.A如图，过〃作HG1AD,垂足为G,连接CG.

由题意得或L平面ABD,所以CHLAD,

又CVHm氏CH,我t平面CHG,

所以平面酸;所以

所以N/0=N力宓=90°,

所以NQH为二面角小4)8的平面角.

因为N掰小NO少90°,所以若设N物决明

则NG4氏90。一a.

在Rt△力。7中，力生1,贝ijCH7L

在中，於/〃•sin4=sina.

在RtZ\4CG中，叱AC・sin(90°—Q)=V5cosa.

在RtZ\C67/中，由CH+HG=CG,得2+sin2。=3cos?

解得sinocos0二当所以丛号，戊号，

所以cosZCO=空故选A.

CG3

8.答案等

解析因为在等腰梯形ABCD中,小2月分2/庐8,月是线段欧的中点,所以四边形

ABED为菱形.

连接力及易知△侬;△?!鹿都是等边三角形,

取应的中点0,连接AO、P0,如图,

P©

则AOLDE,POLDE,/P04是二面角上叱P的平面角，贝i」N做4=120°,

又POC0A=0,P0,为u平面POA,

所以平面做I,

又小平面ABED,所以平面加_L平面ABED,

在平面POA内过点〃作PHLA0,交力。的延长线于H,连接BH、

因为平面加A平面ABEFA0,

所以9_1_平面ABED,又R七平面ABED,

所以BHIPH、易知A0=P0=2W,而N比年60°,

则443,04腑3旧,

又AB^AO,所以B0AH2+朋=后,PB=、PH2+BH?=2匹,

在△加中,勿=4,除4次,

8D2+PD2p82(4Vi)2+42(2Vl^)2Vi

由余弦定理得COS/BD4

2BDPD2X4V3X48

从而得sinZZ^—,