利用导数研究函数的零点讲义 解析版

也即关于x的方程b=-有3个根.令则直线y=b与g(x)=-的图象有3个交点.由g′(x)<0解得0<x<2；由g′(x)>0解得x<0或x>2，.2.设函数f(x)=lnx+，m∈R，讨论函数g(x)=f′(x)-零点的个数.g(x)=f′(x)-=--(x>0)，令g(x)=0，得m=-x3+x(x>0).设φ(x)=-x3+x(x>0)，则φ′(x)=-x2+1=-(x-1)(x+1).∴φ(x)的最大值为结合y=φ(x)的图象(如图)可知，①当m>时，函数g(x)无零点；④当m≤0时，函数g(x)有且只有一个零点.当m=或m≤0时，函数g(x)有且只有一个零点；3.已知函数f(x)=(2a+1)x2-2x2lnx-(1)求f(x)的单调区间；(1)解：∵f(x)=(2a+1)x2-2x2lnx-4，∴f(x)的定义域为(0，+∞)，f′(x)=4x(a-lnx).∴f(x)在(0，ea)上单调递增；∴f(x)在(ea，+∞)上单调递减.(2)证明先证充分性.a即f(x)的最大值为f(ea)=e2a-4.由f(x)有两个零点，得e2a-4>0，解得a>ln2.∴a>ln2.再证必要性.∴f(ea)=e2a-4>0.∴f(e-a)=e-2a(4a+1)-4=-4<-4=-2<-2=-2<0.∵f(ea+1)=-e2a+2-4<0，a+1)，f(x2)=0.x≠x2，易得f(x)≠0.4.(2022·全国乙卷节选)已知函数f(x)=ax--(a+1)lnx，若f(x)恰有一个零点，求a的取值范围.解：由f(x)=ax--(a+1)lnx(x>0)，得f′(x)=a+-=(x>0).①当a=0时，f(x)=--lnx，f′(x)=，f′(x)>0；所以f(x)≤f(1)=-1<0，所以f(x)不存在零点；f′(x)>0，f(x)单调递增；所以f(x)max=f(1)=a-1<0，所以f(x)不存在零点；x2③当a>0时，f′(x)=a(x-x2f′(x)≥0，f(x)在(0，+∞)上单调递增，因为f(1)=a-1=0，所以函数f(x)恰有一个零点；因为f(1)=a-1>0，所以f>f(1)>0，+所以a>1满足条件；因为f(1)=a-1<0，所以f<f(1)<0，5.已知函数f(x)=ex-1+ax(a∈R).x+a.若a<-1，令f′(x)<0，得x<ln(-a)，∴f(x)在(0，ln(-a))上单调递减，得ex-a=lnx+a.∴x+lnx=t+lnt.则原问题可转化为方程a=x-lnx有两个不同的实数解.令φ(x)=x-lnx(x>0)，则φ′(x)=，令g(x)=x-lnx-a(a>1)，令h(a)=ea-2a，即g(ea)=ea-2a>0，a)上有一个零点.即xex=ea+lnx(lnx+a).令u(x)=xex，则有u(x)=u(a+lnx).下同法一.6.(2021·全国甲卷节选)已知a>0且a≠1，函数f(x)=(x>0).若曲线y=f(x)与直线y=1有且仅有即方程=有两个不同的解.设g(x)=(x>0)，则g′(x)=(x>0)，故g(x)max=g(e)=，∴h(x)max=h(1)=.当a>时，f(x)在R上无零点；当0<a<时，f(x)在R上有两个零点.∴f(x)max=f(e)=.(2)证明f′(x)==，故f(x)在(e，+∞)上无零点；∵f=a-e<0，f(e)=a+>0，且f(x)在(0，e)上单调递增，9.(2024·太原模拟节选)已知函数f(x)=xex-x-1，讨论方程f(x)=lnx+m-2的实根个数.解；由f(x)=lnx+m-2，得xex-x-lnx+1=m，x>0，令h(x)=xex-x-lnx+1，则h′(x)=ex+xex-1-=(x>0)，令m(x)=xex-1(x>0)，则m′(x)=(x+1)·ex>0，又m=-1<0，m(1)=e-1>0，(x0=0=-x0.0)则h(x)单调递减；则h(x)单调递增；∴h(x)min=h(x0)=x0ex0-x0-lnx0+1=x0·-x0+x0+1=2，+∴当m<2时，方程f(x)=lnx+m-2没有实根；当m=2时，方程f(x)=lnx+m-2有1个实根；当m>2时，方程f(x)=lnx+m-2有2个实根.10.(2024·郑州模拟节选)已知函数f(x)=ln(x+1)-x+1，g(x)=aex-x+lna，若函数F(x)=f(x)-解：函数F(x)=f(x)-g(x)有两个零点，即f(x)=g(x)有两个实根，即ln(x+1)-x+1=aex-x+lna有两个实根，x+lna+x+lna=ln(x+1)+x+1有两个实根，x+lna+x+lna=eln(x+1)+ln(x+1)有两个实根.设函数h(x)=ex+x，则ex+lna+x+lna=eln(x+1)+ln(x+1)⇔h(x+lna)=h(ln(x+1)).所以h(x)=ex+x在R上单调递增，所以x+lna=ln(x+1)，x>-1，所以要使F(x)有两个零点，只需lna=ln(x+1)-x有两个实根.设M(x)=ln(x+1)-x，则M′(x)