弹性力学数值方法：数值积分：有限元法中的数值积分应用

弹性力学数值方法：数值积分：有限元法中的数值积分应用1弹性力学基础理论1.1弹性力学基本方程在弹性力学中，基本方程描述了物体在受力作用下的变形和应力分布。这些方程主要包括平衡方程、几何方程和物理方程。1.1.1平衡方程平衡方程基于牛顿第二定律，描述了物体内部应力与外力之间的关系。在三维空间中，平衡方程可以表示为：∂∂∂其中，σx,σy,σz是正应力，τxy,τ1.1.2几何方程几何方程描述了物体变形与位移之间的关系。在小变形假设下，几何方程可以简化为：ϵϵϵγγγ其中，ϵx,ϵy,1.1.3物理方程物理方程，也称为本构方程，描述了应力与应变之间的关系。对于各向同性材料，物理方程可以表示为胡克定律：σσστττ其中，E是弹性模量，G是剪切模量。1.2应力应变关系应力应变关系是弹性力学中的核心概念，它描述了材料在受力作用下如何变形。对于线弹性材料，应力应变关系可以通过胡克定律来描述。胡克定律表明，应力与应变成正比，比例常数为材料的弹性模量。1.2.1胡克定律示例假设一个立方体结构，其弹性模量E=200×109Pa，剪切模量G=80×#定义材料参数

E=200e9#弹性模量，单位：Pa

G=80e9#剪切模量，单位：Pa

#定义应变

epsilon_x=0.001#x方向的线应变

#计算应力

sigma_x=E*epsilon_x#x方向的正应力

#输出结果

print(f"x方向的正应力σx为：{sigma_x}Pa")1.3边界条件与载荷在弹性力学问题中，边界条件和载荷是确定结构响应的关键因素。边界条件可以是位移边界条件或应力边界条件，而载荷可以是体积力或表面力。1.3.1位移边界条件示例假设一个长方体结构，其一端固定，另一端受到x方向的位移u=#定义位移边界条件

u_fixed=0.0#固定端位移

u_applied=0.01#应用端位移

#设置边界条件

#假设使用Python的FEniCS库进行有限元分析

fromdolfinimport*

mesh=UnitSquareMesh(10,10)#创建网格

V=VectorFunctionSpace(mesh,'Lagrange',1)#创建位移函数空间

#定义边界条件

bc_fixed=DirichletBC(V,Constant((u_fixed,u_fixed)),'on_boundary&&near(x[0],0)')

bc_applied=DirichletBC(V.sub(0),Constant(u_applied),'on_boundary&&near(x[0],1)')

#输出边界条件

print("位移边界条件设置完成。")1.3.2应力边界条件示例假设一个圆盘结构，其外表面受到均匀的正应力σr#定义应力边界条件

sigma_r=-1e6#外表面正应力

#设置边界条件

#假设使用Python的FEniCS库进行有限元分析

fromdolfinimport*

mesh=UnitDiskMesh()#创建圆盘网格

V=VectorFunctionSpace(mesh,'Lagrange',1)#创建位移函数空间

#定义外表面

defouter_boundary(x,on_boundary):

returnon_boundaryandnear(x[0]**2+x[1]**2,1)

#定义应力边界条件

classStressBC(Expression):

defeval(self,values,x):

values[0]=sigma_r#r方向的应力

values[1]=0.0#θ方向的应力

#应用应力边界条件

bc_stress=StressBC(V)

bc_stress=[bc_stress]

#输出边界条件

print("应力边界条件设置完成。")1.3.3载荷示例假设一个结构受到x方向的体积力fx#定义体积力

f_x=1e4#x方向的体积力

#定义载荷

#假设使用Python的FEniCS库进行有限元分析

fromdolfinimport*

mesh=UnitSquareMesh(10,10)#创建网格

V=VectorFunctionSpace(mesh,'Lagrange',1)#创建位移函数空间

#定义体积力函数

f=Constant((f_x,0.0))

#定义弱形式

u=TrialFunction(V)

v=TestFunction(V)

a=inner(sigma(u),grad(v))*dx

L=inner(f,v)*dx

#输出载荷设置

print("体积力载荷设置完成。")通过以上示例，我们可以看到如何在有限元分析中设置位移边界条件、应力边界条件和体积力载荷。这些是解决弹性力学问题的基础，也是有限元法中的重要组成部分。2有限元法原理2.1有限元法概述有限元法（FiniteElementMethod,FEM）是一种广泛应用于工程分析和科学计算的数值方法，主要用于求解偏微分方程。在弹性力学中，FEM被用来分析结构的应力、应变和位移，通过将连续的结构离散化为有限数量的单元，每个单元用简单的函数来近似描述，从而将复杂的连续问题转化为一系列的代数方程，便于计算机求解。2.1.1有限元法的起源与应用有限元法起源于20世纪40年代，最初用于航空结构的分析。随着计算机技术的发展，FEM的应用范围不断扩大，现在不仅在结构工程中，还在热力学、流体力学、电磁学等多个领域得到广泛应用。2.2离散化过程离散化是有限元法的核心步骤，它将连续的结构或区域分解为有限数量的单元，每个单元用节点来表示边界。单元内部的物理量（如位移、应力、应变）通过节点上的物理量来插值。2.2.1单元与节点单元：可以是线性的、二次的或更高阶的，形状可以是三角形、四边形、六面体等。节点：单元的边界点，用于定义单元的形状和位置。2.2.2插值函数插值函数用于描述单元内部物理量与节点物理量之间的关系。对于线性单元，插值函数通常为线性函数；对于高阶单元，插值函数可能包含多项式。2.2.3离散化示例假设有一个简单的梁结构，我们可以将其离散化为多个线性单元，每个单元有两个节点，分别表示梁的两端。节点上的位移将用于描述整个梁的变形。示例：梁的离散化2.3刚度矩阵与载荷向量在有限元分析中，刚度矩阵和载荷向量是求解结构响应的关键。2.3.1刚度矩阵刚度矩阵描述了结构的刚度特性，反映了结构在受力时的变形行为。它是通过对每个单元的刚度矩阵进行组装得到的，每个单元的刚度矩阵由单元的几何形状、材料属性和插值函数决定。2.3.2载荷向量载荷向量包含了作用在结构上的外力和边界条件。在有限元分析中，载荷向量通常表示为节点上的力或力矩。2.3.3组装过程组装过程是将所有单元的刚度矩阵和载荷向量合并成全局刚度矩阵和全局载荷向量。这个过程涉及到将局部坐标系下的矩阵和向量转换到全局坐标系下，然后进行叠加。2.3.4求解过程一旦全局刚度矩阵和全局载荷向量被建立，就可以通过求解线性方程组来得到节点位移。节点位移可以进一步用于计算单元内部的应力和应变。示例：刚度矩阵的组装与求解2.3.5代码示例：刚度矩阵的组装以下是一个简单的Python代码示例，展示如何组装一个由两个线性单元组成的梁的刚度矩阵。假设每个单元的长度为L，弹性模量为E，截面惯性矩为I。#定义单元的长度、弹性模量和截面惯性矩

L=1.0

E=200e9#弹性模量，单位：Pa

I=0.001#截面惯性矩，单位：m^4

#定义单元的刚度矩阵

k1=E*I/L*np.array([[12,6*L,-12,6*L],

[6*L,4*L*L,-6*L,2*L*L],

[-12,-6*L,12,-6*L],

[6*L,2*L*L,-6*L,4*L*L]])

k2=E*I/L*np.array([[12,-6*L,-12,6*L],

[-6*L,4*L*L,6*L,-2*L*L],

[-12,6*L,12,-6*L],

[6*L,-2*L*L,-6*L,4*L*L]])

#定义全局刚度矩阵

K=np.zeros((4,4))

#组装刚度矩阵

K[:2,:2]+=k1[:2,:2]

K[:2,2:4]+=k1[:2,2:4]

K[2:4,:2]+=k1[2:4,:2]

K[2:4,2:4]+=k1[2:4,2:4]

K[1:3,1:3]+=k2[:2,:2]

K[1:3,3:4]+=k2[:2,2:4]

K[3:4,1:3]+=k2[2:4,:2]

K[3:4,3:4]+=k2[2:4,2:4]

#输出全局刚度矩阵

print(K)在这个示例中，我们首先定义了单元的物理属性，然后计算了每个单元的刚度矩阵。接着，我们创建了一个零矩阵作为全局刚度矩阵，并通过叠加局部刚度矩阵来完成组装。最后，我们输出了组装后的全局刚度矩阵。2.3.6结论有限元法通过离散化过程和刚度矩阵与载荷向量的建立，为解决复杂的弹性力学问题提供了一种有效的数值方法。通过上述示例，我们可以看到，即使是简单的结构，FEM的实施也需要对单元的物理属性、插值函数和组装过程有深入的理解。3数值积分在有限元法中的应用3.1高斯积分规则3.1.1原理高斯积分是一种数值积分方法，特别适用于有限元分析中的积分计算。它基于选择一组特定的积分点和对应的权重，以近似计算积分。对于一维积分，高斯积分公式可以表示为：−其中，xi是积分点，wΩ其中，Ω表示积分区域。3.1.2内容在有限元法中，高斯积分常用于计算单元刚度矩阵和质量矩阵。例如，对于一个线性单元，我们可能只需要一个积分点；而对于一个二次单元，可能需要两个或更多的积分点。高斯积分点和权重的选择取决于单元的形状函数和积分区域的几何形状。示例假设我们有一个简单的线性单元，其形状函数为N1x=1−x2和N2x=−代码示例importnumpyasnp

#定义形状函数

defN1(x):

return(1-x)/2

defN2(x):

return(1+x)/2

#高斯积分点和权重

x_gauss=[0]

w_gauss=[2]

#计算刚度矩阵的元素

K11=w_gauss[0]*N1(x_gauss[0])*N1(x_gauss[0])

K12=w_gauss[0]*N1(x_gauss[0])*N2(x_gauss[0])

K21=w_gauss[0]*N2(x_gauss[0])*N1(x_gauss[0])

K22=w_gauss[0]*N2(x_gauss[0])*N2(x_gauss[0])

#输出结果

K=np.array([[K11,K12],[K21,K22]])

print("刚度矩阵K:")

print(K)3.1.3讲解描述上述代码示例中，我们定义了两个形状函数N1x和N2x，并选择了高斯积分点x1=0和权重3.2数值积分的精度与稳定性3.2.1原理数值积分的精度和稳定性是有限元分析中非常重要的考虑因素。精度指的是积分结果与真实值的接近程度，而稳定性则涉及到积分过程是否会产生数值上的不稳定现象，如振荡或发散。高斯积分的精度通常与积分点的数量成正比，但过多的积分点可能会增加计算成本。3.2.2内容为了保证数值积分的精度和稳定性，通常需要进行以下步骤：选择适当的积分点和权重：根据单元的类型和积分区域的几何形状，选择合适的高斯积分点和权重。检查积分点的分布：确保积分点在积分区域中均匀分布，以避免局部积分误差过大。评估积分的稳定性：通过检查积分结果是否随积分点数量的增加而收敛，来评估积分的稳定性。示例考虑一个二次单元，其形状函数为N1x=12x代码示例importnumpyasnp

#定义形状函数

defN1(x):

return0.5*x**2-0.5*x+0.5

defN2(x):

return1-x**2

defN3(x):

return0.5*x**2+0.5*x+0.5

#高斯积分点和权重

x_gauss=[-np.sqrt(1/3),np.sqrt(1/3)]

w_gauss=[1,1]

#计算刚度矩阵的元素

K11=w_gauss[0]*N1(x_gauss[0])*N1(x_gauss[0])+w_gauss[1]*N1(x_gauss[1])*N1(x_gauss[1])

K12=w_gauss[0]*N1(x_gauss[0])*N2(x_gauss[0])+w_gauss[1]*N1(x_gauss[1])*N2(x_gauss[1])

K13=w_gauss[0]*N1(x_gauss[0])*N3(x_gauss[0])+w_gauss[1]*N1(x_gauss[1])*N3(x_gauss[1])

K21=w_gauss[0]*N2(x_gauss[0])*N1(x_gauss[0])+w_gauss[1]*N2(x_gauss[1])*N1(x_gauss[1])

K22=w_gauss[0]*N2(x_gauss[0])*N2(x_gauss[0])+w_gauss[1]*N2(x_gauss[1])*N2(x_gauss[1])

K23=w_gauss[0]*N2(x_gauss[0])*N3(x_gauss[0])+w_gauss[1]*N2(x_gauss[1])*N3(x_gauss[1])

K31=w_gauss[0]*N3(x_gauss[0])*N1(x_gauss[0])+w_gauss[1]*N3(x_gauss[1])*N1(x_gauss[1])

K32=w_gauss[0]*N3(x_gauss[0])*N2(x_gauss[0])+w_gauss[1]*N3(x_gauss[1])*N2(x_gauss[1])

K33=w_gauss[0]*N3(x_gauss[0])*N3(x_gauss[0])+w_gauss[1]*N3(x_gauss[1])*N3(x_gauss[1])

#输出结果

K=np.array([[K11,K12,K13],[K21,K22,K23],[K31,K32,K33]])

print("刚度矩阵K:")

print(K)3.2.3讲解描述在二次单元的刚度矩阵计算中，我们使用了两个高斯积分点±1/3和权重3.3特殊单元的数值积分处理3.3.1原理在有限元分析中，特殊单元如高阶单元、曲面单元或不规则单元，可能需要更复杂的数值积分策略。这是因为这些单元的形状函数可能更复杂，积分区域的几何形状也可能不规则。3.3.2内容处理特殊单元的数值积分，通常需要：选择更密集的积分点：对于高阶单元，可能需要更多的积分点来保证积分的精度。使用自适应积分：对于不规则单元，可能需要根据单元的几何形状动态调整积分点的位置和数量。考虑单元的变形：在计算曲面单元的刚度矩阵时，需要考虑单元的变形对积分点位置的影响。示例考虑一个六节点三角形单元，其形状函数和积分点的选择将比四节点三角形单元更复杂。代码示例对于六节点三角形单元的数值积分处理，代码示例将涉及更复杂的形状函数定义和积分点选择，这超出了本教程的范围。然而，可以使用现有的有限元软件包或库，如FEniCS或deal.II，来处理这类特殊单元的数值积分。3.3.3讲解描述处理特殊单元如六节点三角形单元的数值积分，需要更深入的数学和编程知识。通常，这涉及到定义更复杂的形状函数，以及选择更密集的积分点。在实际应用中，可以利用现有的有限元软件包来简化这一过程，这些软件包已经内置了处理各种单元类型和积分策略的算法。4有限元法中的数值积分技巧4.1积分点的选择在有限元分析中，数值积分用于计算单元刚度矩阵和质量矩阵中的积分。选择合适的积分点数量和位置对于确保计算的准确性和效率至关重要。积分点的选择通常基于高斯积分规则，这是一种高效的数值积分方法，能够以较少的积分点达到较高的积分精度。4.1.1高斯积分规则高斯积分规则基于多项式函数的积分，通过在积分区间内选择特定的点（高斯点）和相应的权重，可以精确地计算多项式的积分。对于一个一维的高斯积分，其形式如下：−其中，fx是被积函数，xi是第i个高斯点，wi4.1.2选择积分点的策略对于线性单元，使用一个积分点（即中点积分）就足够了，因为线性单元的应变和应力是常数，不需要更复杂的积分规则。对于二次单元，至少需要两个积分点，以确保二次函数的准确积分。更复杂的单元可能需要更多的积分点。避免过度积分，过度积分会增加计算成本，而不会显著提高精度。例如，对于一个线性单元，使用两个或更多的积分点是过度积分。4.2避免数值积分引起的锁合效应锁合效应（Locking）是有限元分析中一个常见的问题，特别是在薄板和壳体结构的分析中。它通常发生在数值积分不充分或单元选择不当的情况下，导致计算结果出现异常的刚性或软性。4.2.1锁合效应的类型剪切锁合：在薄板单元中，由于单元的厚度远小于其平面尺寸，剪切应变的计算可能不准确，导致单元表现出异常的刚性。体积锁合：在使用不可压缩材料的分析中，如果数值积分不充分，单元可能表现出异常的体积刚性，导致计算结果失真。4.2.2避免锁合效应的策略使用减缩积分：对于二次单元，使用比完全积分少的积分点可以避免锁合效应。例如，对于一个8节点的二次四边形单元，使用4点高斯积分（即减缩积分）而不是完全的9点积分。选择合适的单元类型：使用专门设计来避免锁合效应的单元，如混合单元或增强应变单元。4.3提高数值积分效率的方法数值积分的效率直接影响有限元分析的整体性能。提高效率的方法包括减少积分点数量、使用并行计算和优化积分算法。4.3.1减少积分点数量通过选择适当的积分点数量，可以显著减少计算时间。例如，对于线性单元，使用中点积分就足够了，而对于二次单元，使用减缩积分可以平衡精度和效率。4.3.2使用并行计算并行计算可以将积分任务分配给多个处理器，从而显著减少计算时间。在现代有限元软件中，这通常是通过多线程或分布式计算实现的。4.3.3优化积分算法自适应积分：根据被积函数的复杂性动态调整积分点的数量，以在保证精度的同时提高效率。预积分：对于一些常见的单元类型和材料模型，可以预先计算积分结果，然后在实际分析中使用，避免重复计算。4.3.4示例：使用Python进行数值积分下面是一个使用Python和SciPy库进行一维高斯积分的简单示例：importnumpyasnp

fromegrateimportfixed_quad

#定义被积函数

deff(x):

returnx**2

#使用固定数量的高斯点进行积分

result,error=fixed_quad(f,-1,1,n=3)

print("积分结果：",result)

print("估计误差：",error)在这个例子中，我们定义了一个简单的被积函数fx=x2，并使用SciPy库中的通过调整n参数，我们可以控制积分点的数量，从而平衡计算的精度和效率。例如，对于更复杂的被积函数，我们可能需要增加积分点的数量以提高精度，但这也会增加计算时间。5数值积分实例分析5.1平面应力问题的数值积分5.1.1原理在平面应力问题中，结构的厚度方向应力可以忽略，因此问题简化为二维。有限元法中，平面应力问题的应变能可以表示为：U其中，σ是应力矩阵，ε是应变矩阵，Ω是结构的二维区域。在实际计算中，这个积分通常通过数值积分方法来近似，如高斯积分。5.1.2内容高斯积分是一种常用的数值积分方法，它通过在积分区间内选取若干个积分点和对应的权重来近似积分。对于平面应力问题，我们通常在每个单元内使用高斯积分点来计算应变能。示例假设我们有一个四边形平面应力单元，其应变能为：U其中，J是雅可比行列式，ξ和η是局部坐标。使用2x2高斯积分点，积分可以近似为：U其中，wi和wj代码示例#Python示例代码

importnumpyasnp

#定义高斯积分点和权重

gauss_points=np.array([[-1/np.sqrt(3),-1/np.sqrt(3)],[1/np.sqrt(3),-1/np.sqrt(3)],

[-1/np.sqrt(3),1/np.sqrt(3)],[1/np.sqrt(3),1/np.sqrt(3)]])

weights=np.array([1,1,1,1])

#定义应变能计算函数

defstrain_energy(stress,strain,jacobian):

return0.5*np.sum(weights*weights[:,None]*stress.T@strain*jacobian)

#假设的应力和应变矩阵

stress=np.array([[100,0],[0,50]])

strain=np.array([[0.001,0],[0,0.0005]])

jacobian=1.0#假设雅可比行列式为1

#计算应变能

U=strain_energy(stress,strain,jacobian)

print("平面应力问题的应变能近似值为:",U)5.1.3解释上述代码示例中，我们定义了高斯积分点和权重，然后通过strain_energy函数计算了平面应力问题的应变能。这里，我们假设了应力和应变矩阵以及雅可比行列式的值，实际应用中这些值需要根据单元的几何和材料属性计算得出。5.2维弹性问题的数值积分5.2.1原理三维弹性问题的应变能可以表示为：U其中，Ω是三维结构的体积。数值积分方法，如高斯积分，同样可以应用于三维问题，通过在每个单元内选取积分点和权重来近似积分。5.2.2内容在三维问题中，我们通常使用3x3x3的高斯积分点来计算应变能。每个积分点的坐标和权重需要根据单元的形状和积分规则来确定。示例假设我们有一个六面体单元，其应变能为：U使用3x3x3高斯积分点，积分可以近似为：U代码示例#Python示例代码

importnumpyasnp

#定义3x3x3高斯积分点和权重

gauss_points=np.array([[-np.sqrt(3/5),-np.sqrt(3/5),-np.sqrt(3/5)],

[np.sqrt(3/5),-np.sqrt(3/5),-np.sqrt(3/5)],

[-np.sqrt(3/5),np.sqrt(3/5),-np.sqrt(3/5)],

[np.sqrt(3/5),np.sqrt(3/5),-np.sqrt(3/5)],

[-np.sqrt(3/5),-np.sqrt(3/5),np.sqrt(3/5)],

[np.sqrt(3/5),-np.sqrt(3/5),np.sqrt(3/5)],

[-np.sqrt(3/5),np.sqrt(3/5),np.sqrt(3/5)],

[np.sqrt(3/5),np.sqrt(3/5),np.sqrt(3/5)]])

weights=np.array([5/9,8/9,5/9,8/9,5/9,8/9,5/9,8/9])

#定义应变能计算函数

defstrain_energy_3d(stress,strain,jacobian):

return0.5*np.sum(weights*weights[:,None]*weights[:,None,None]*stress.T@strain*jacobian)

#假设的应力和应变矩阵

stress=np.array([[100,0,0],[0,50,0],[0,0,25]])

strain=np.array([[0.001,0,0],[0,0.0005,0],[0,0,0.00025]])

jacobian=1.0#假设雅可比行列式为1

#计算应变能

U=strain_energy_3d(stress,strain,jacobian)

print("三维弹性问题的应变能近似值为:",U)5.2.3解释在三维弹性问题的数值积分示例中，我们使用了3x3x3的高斯积分点和权重来近似计算应变能。strain_energy_3d函数实现了应变能的计算，其中应力和应变矩阵以及雅可比行列式的值是假设的，实际应用中需要根据单元的具体情况计算。5.3接触问题的数值积分处理5.3.1原理接触问题在有限元分析中是一个复杂的问题，涉及到两个或多个物体之间的相互作用。在接触面上，应力和应变的分布可能非常不均匀，因此需要使用更密集的积分点来准确计算接触力和应变能。5.3.2内容接触问题的数值积分通常需要在接触面上使用更密集的积分点，以捕捉接触区域的细节。此外，接触问题的数值积分还需要考虑接触条件，如摩擦和间隙。示例假设我们有两个物体接触，接触面上的应变能可以表示为：U其中，σn是接触面上的法向应力，δ是接触间隙，Γc代码示例#Python示例代码

importnumpyasnp

#定义接触面上的高斯积分点和权重

gauss_points_contact=np.array([[-1,-1],[1,-1],[-1,1],[1,1]])

weights_contact=np.array([1,1,1,1])

#定义接触应变能计算函数

defcontact_strain_energy(normal_stress,gap,jacobian_contact):

returnnp.sum(weights_contact*normal_stress*gap*jacobian_contact)

#假设的法向应力和接触间隙

normal_stress=np.array([100,50,25,10])

gap=np.array([0.001,0.0005,0.00025,0.0001])

jacobian_contact=1.0#假设雅可比行列式为1

#计算接触应变能

U_contact=contact_strain_energy(normal_stress,gap,jacobian_contact)

print("接触问题的应变能近似值为:",U_contact)5.3.3解释在接触问题的数值积分处理示例中，我们定义了接触面上的高斯积分点和权重，并通过contact_strain_energy函数计算了接触应变能。这里，我们假设了法向应力和接触间隙的值，实际应用中这些值需要根据接触条件和单元的几何来确定。接触问题的数值积分处理通常比平面应力和三维弹性问题更复杂，因为它涉及到接触条件的判断和处理。6有限元软件中的数值积分6.1商业有限元软件中的数值积分实现在商业有限元软件中，数值积分是实现高精度求解的关键技术之一。软件通常采用高斯积分规则，这是一种高效的数值积分方法，能够以较少的积分点准确地近似积分值。高斯积分的原理基于正交多项式，通过选取适当的积分点和权重，可以精确地计算多项式的积分。6.1.1高斯积分规则高斯积分规则在有限元分析中广泛应用于计算单元刚度矩阵和应力应变矩阵。例如，在二维四节点矩形单元中，高斯积分可以表示为：−其中，fξ,η是被积函数，ξ和η是自然坐标，wi和6.1.2实现示例在商业软件如ANSYS或ABAQUS中，用户通常不需要直接编写数值积分的代码，但可以通过设置积分点的数量来控制数值积分的精度。例如，在ABAQUS中，可以通过element对象的integration属性来指定积分点的数量。6.2开源软件中的数值积分应用开源有限元软件，如FEniCS和deal.II，提供了更灵活的数值积分实现方式，允许用户自定义积分规则和被积函数。6.2.1FEniCS中的数值积分在FEniCS中，数值积分是通过assemble函数实现的，该函数可以计算基于有限元空间的函数的积分。例如，计算一个函数fxfromfenicsimport*

#创建网格和有限元空间

mesh=UnitSquareMesh(8,8)

V=FunctionSpace(mesh,'P',1)

#定义被积函数

f=Expression('x[0]*x[1]',degree=2)

#创建测试函数

v=TestFunction(V)

#计算积分

integral=assemble(f*v*dx)

print("Integralvalue:",integral)6.2.2deal.II中的数值积分在deal.II中，数值积分是通过QGauss类实现的，该类定义了高斯积分规则。例如，计算一个单元上的函数fx#include<deal.II/base/function.h>

#include<deal.II/fe/fe_q.h>

#include<deal.II/numerics/vector_tools.h>

#include<deal.II/lac/full_matrix.h>

#include<deal.II/lac/vector.h>

#include<deal.II/lac/sparse_matrix.h>

#include<deal.II/lac/dynamic_sparsity_pattern.h>

#include<deal.II/lac/solver_cg.h>

#include<deal.II/lac/precondition.h>

#include<deal.II/lac/constraint_matrix.h>

#include<deal.II/grid/tria.h>

#include<deal.II/grid/grid_generator.h>

#include<deal.II/dofs/dof_handler.h>

#include<deal.II/dofs/dof_tools.h>

#include<deal.II/fe/fe_values.h>

#include<deal.II/numerics/data_out.h>

#include<deal.II/numerics/vector_tools.h>

#include<deal.II/lac/full_matrix.h>

#include<deal.II/lac/vector.h>

#include<deal.II/lac/sparse_matrix.h>

#include<deal.II/lac/dynamic_sparsity_pattern.h>

#include<deal.II/lac/solver_cg.h>

#include<deal.II/lac/precondition.h>

#include<deal.II/lac/constraint_matrix.h>

#include<deal.II/grid/tria.h>

#include<deal.II/grid/grid_generator.h>

#include<deal.II/dofs/dof_handler.h>

#include<deal.II/dofs/dof_tools.h>

#include<deal.II/fe/fe_values.h>

#include<deal.II/numerics/data_out.h>

usingnamespacedealii;

//定义被积函数

classMyFunction:publicFunction<2>

{

public:

virtualdoublevalue(constPoint<2>&p,constunsignedintcomponent=0)constoverride

{

returnp[0]*p[1];

}

};

intmain()

{

//创建网格

Triangulation<2>triangulation;

GridGenerator::hyper_cube(triangulation,0.,1.);

triangulation.refine_global(4);

//定义有限元和DoF处理器

FE_Q<2>fe(1);

DoFHandler<2>dof_handler(triangulation);

dof_handler.distribute_dofs(fe);

//创建被积函数

MyFunctionfunction;

//创建积分器

QGauss<2>quadrature(2);

//计算积分

Vector<double>integral(dof_handler.n_dofs());

VectorTools::create_right_hand_side(dof_handler,quadrature,function,integral);

//输出积分结果

std::cout<<"Integralvalue:"<<integral.l2_norm()<<std::endl;

return0;

}6.3自定义数值积分方案的编程指导在某些情况下，标准的高斯积分规则可能不满足特定问题的需求，这时需要自定义数值积分方案。6.3.1自定义高斯积分点自定义高斯积分点通常涉及选择积分点的位置和对应的权重。例如，在一维空间中，可以定义一个包含两个积分点的自定义高斯积分规则：#自定义高斯积分点和权重

xi_points=[-0.5773502691896257,0.5773502691896257]

weights=[1.0,1.0]

#计算积分

integral=0.0

fori,xiinenumerate(xi_points):

integral+=weights[i]*f(xi)

print("Customintegralvalue:",integral)6.3.2自定义积分规则在更高维度或更复杂形状的单元中，可能需要自定义积分规则。例如，在一个三角形单元中，可以使用自定义的积分点和权重来近似积分：//自定义积分点和权重

conststd::vector<Point<2>>quadrature_points={Point<2>(0.16666666666666666,0.16666666666666666),

Point<2>(0.6666666666666666,0.16666666666666666),

Point<2>(0.16666666666666666,0.6666666666666666)};

conststd::vector<double>quadrature_weights={0.3333333333333333,0.3333333333333333,0.3333333333333333};

//计算积分

doubleintegral=0.0;

for(unsignedintq=0;q<quadrature_points.size();++q)

integral+=quadrature_weights[q]*f(quadrature_points[q]);

std::cout<<"Customintegralvalue:"<<integral<<std::endl;自定义数值积分方案时，需要确保积分点和权重的选择能够保证积分的准确性和稳定性。通常，这需要对积分规则的理论有深入的理解，并可能需要通过数值实验来验证自定义方案的有效性。在编写自定义数值积分代码时，应遵循以下原则：准确性：确保积分点和权重的选择能够准确地近似积分值。稳定性：避免使用可能导致数值不稳定的积分规则。效率：选择能够以最少的积分点达到所需精度的积分规则。可读性：代码应清晰、简洁，易于理解和维护。通过遵循这些原则，可以有效地实现自定义数值积分方案，从而解决有限元分析中的复杂问题。7数值积分的高级主题7.1自适应数值积分7.1.1原理自适应数值积分是一种动态调整积分区间或积分点数量的方法，以提高积分的精度。这种方法基于对积分结果的误差估计，当估计的误差超过预设的阈值时，自适应算法会自动细化积分区间，直到满足精度要求。自适应数值积分特别适用于函数在某些区间内变化剧烈的情况，能够有效地分配计算资源，避免在变化平缓的区域浪费计算力。7.1.2内容自适应数值积分通常包括以下步骤：1.初始积分：使用简单的数值积分方法（如辛普森法则或矩形法则）对整个区间进行积分。2.误差估计：计算积分的误差，这通常通过比较不同步长下的积分结果来实现。3.区间细分：如果误差超过阈值，将区间细分，对每个子区间重复上述步骤。4.结果合并：将所有子区间的积分结果合并，得到最终的积分值。7.1.3示例以下是一个使用Python实现的自适应辛普森积分的例子：defadaptive_simpson(f,a,b,tol=1e-6):

"""

自适应辛普森积分算法

:paramf:被积函数

:parama:积分区间的左端点

:paramb:积分区间的右端点

:paramtol:容忍误差

:return:积分结果

"""

defsimpson(f,a,b):

"""

辛普森积分公式

"""

h=(b-a)/2

return(h/3)*(f(a)+4*f((a+b)/2)+f(b))

defrecursive_simpson(f,a,b,tol):

"""

递归实现自适应辛普森积分

"""

c=(a+b)/2

left=simpson(f,a,c)

right=simpson(f,c,b)

total=left+right

ifabs(total-simpson(f,a,b))<3*tol:

returntotal

else:

returnrecursive_simpson(f,a,c,tol/2)+recursive_simpson(f,c,b,tol/2)

returnrecursive_simpson(f,a,b,tol)

#定义被积函数

deff(x):

returnx**2

#调用自适应辛普森积分函数

result=adaptive_simpson(f,0,1)

print("积分结果:",result)7.2高阶单元的数值积分7.2.1原理在有限元法中，高阶单元指的是具有更多节点和更复杂形状函数的单元，如二次、三次或更高次的单元。高阶单元能够更准确地表示结构的几何形状和应力分布，但同时也增加了数