黑龙江省安达市第七中学2025届高三数学下学期第一次网络检测试题理含解析

PAGE24-黑龙江省安达市第七中学2025届高三数学下学期第一次网络检测试题理（含解析）一、选择题1.已知集合，集合，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出集合后可求.【详解】，，故.故选：C.【点睛】本题考查集合的运算，留意认清集合中元素的含义，如表示函数的定义域，而表示函数的值域，表示函数的图像.2.已知复数满意，则的共轭复数是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依据复数的除法运算法则和共轭复数的定义干脆求解即可.【详解】由，得，所以．故选：B【点睛】本题考查了复数的除法的运算法则，考查了复数的共轭复数的定义，属于基础题.3.已知满意，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】画出可行域，目标函数的几何意义是可行域内的点与定点连接的斜率，依据图像得到答案.【详解】画出可行域如图中阴影部分所示，目标函数的几何意义是可行域内的点与定点连接的斜率.直线与直线交于点，由图可知，当可行域内的点为A时，最小，故.故选：D.【点睛】本题考查了线性规划问题，画出图像是解题的关键.4.函数的大致图象为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】依据定义域解除，依据解除，当时，，当时，，解除D项，得到答案.【详解】由，解得，所以函数的定义域为，故解除B项.因为，所以函数为奇函数，又，故解除A项.设，明显该函数单调递增，故当时，，则当时，，故，当时，，故，所以解除D项.故选：C.【点睛】本题考查了图像的识别，意在考查学生的计算实力和综合应用实力.5.已知甲，乙，丙三人去参与某公司面试，他们被该公司录用的概率分别是，，，且三人录用结果相互之间没有影响，则他们三人中至少有一人被录用的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意，可先求得三个人都没有被录用的概率，接下来求至少有一人被录用的概率，利用对立事务的概率公式，求得结果.【详解】甲、乙、丙三人都没有被录用的概率为，所以三人中至少有一人被录用的概率为，故选B.【点睛】该题考查的是有关概率的求解问题，关键是驾驭对立事务的概率加法公式，求得结果.6.如图所示，中，点是线段的中点，是线段的靠近的三等分点，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用向量的加减运算求解即可【详解】据题意，．故选B．【点睛】本题考查向量加法、减法以及向量的数乘运算，是基础题7.已知函数是奇函数，将的图像上全部点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为.若的最小正周期为，且，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】只需依据函数性质逐步得出值即可．【详解】因为为奇函数，∴；又，，又∴，故选C．【点睛】本题考查函数的性质和函数的求值问题，解题关键是求出函数．8.已知曲线(，且a为常数)在点与处的切线相互平行，则直线恒过定点（）A B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求导得到，依据平行得到，计算线段的中点坐标为，得到答案.【详解】由题意可得，所以直线的斜率分别为，.又直线与平行，所以，即，因为，，所以，从而，所以，由此可知线段的中点坐标为，因a为常数，所以直线恒过定点.故选：B.【点睛】本题考查了切线问题，依据平行求参数，定点问题，意在考查学生的计算实力和综合应用实力.9.在锐角中，内角所对的边分别为，若，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依据余弦定理得到，再依据正弦定理得到，故，，计算得到答案.【详解】由余弦定理及可得，即，得，整理得.，，得.由正弦定理得，又，，整理得.易知在锐角三角形中，，，且.，，，当且仅当时等号成立.故选：B.【点睛】本题考查了正余弦定理，三角恒等变换，均值不等式，意在考查学生的计算实力和综合应用实力.10.已知双曲线E：－＝1(a>0，b>0)的右顶点为A，O为坐标原点，M为OA的中点，若以AM为直径的圆与E的渐近线相切，则双曲线E的离心率等于（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】依据双曲线的方程和其几何性质得出以AM为直径的圆的圆心的坐标为，半径r＝，再由圆心到双曲线的渐近线的距离建立关于的方程，再依据双曲线的离心率公式可得选项.【详解】由题意知，双曲线E的右顶点为A(a，0)，渐近线方程为y＝±x，即bx±ay＝0.由M为OA的中点，可知．故以AM为直径的圆的圆心的坐标为，半径r＝，|AM|＝，又双曲线的渐近线与圆相切，所以圆心到渐近线的距离等于圆的半径，即＝，整理得＝3b，即c＝3，即，从而得e2＝，所以e＝，故选：A.【点睛】本题考查双曲线的离心率的求解，关键在于依据已知条件和双曲线的几何性质，以及平面几何的一些性质，建立关于的方程，属于中档题.11.如图，平面四边形ABCD中，E，F是AD，BD中点，，，将沿对角线BD折起至，使平面平面BCD，则四面体中，下列结论不正确的是（）A.平面B.异面直线CD与所成的角为C.异面直线EF与所成的角为D.直线与平面BCD所成的角为【答案】C【解析】【分析】依据得到A正确，平面，即，B正确，取CD边中点M，连接EM，FM，，C错误，连接，,正确，得到答案.【详解】A选项：因为E，F分别为和BD两边中点，所以，即平面，A正确；B选项：因为平面平面BCD，交线为BD，且，所以平面，即，故B正确；C选项：取CD边中点M，连接EM，FM，则，所以为异面直线EF与所成角，又，即，故C错误，D选项：连接，则，平面平面BCD，故平面.故为直线与平面BCD所成的角，，，故，,正确；故选：C.【点睛】本题考查了线面平行，异面直线夹角，线面夹角，意在考查学生的计算实力和空间想象实力.12.已知函数，若方程有四个不相等的实根，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】原题等价于函数的图象与直线有四个交点，当直线与函数相切时，，当直线与函数相切时，利用导数的几何意义可得，再结合图象即可得结果.【详解】作出的图象如图所示，方程有四个不相等的实根，等价于函数的图象与直线有四个交点，其临界位置为和两段曲线相切时，当直线与函数相切时，联立得，由，解得或（由图可得舍负）当直线与函数相切时，设切点坐标为，，切线的斜率为：，切线方程为，由于切线恒过，代入可得，可得：，即由图知函数的图象与直线有四个交点时，实数的取值范围是，故选：D.【点睛】本题主要考查了方程的根的个数与函数图象交点个数的关系及利用导数求函数图象的切线方程，有肯定难度.二、填空题13.某工厂一、二、三、四4个车间共有职工1500，为了了解职工对工厂某项改革措施的看法，安排从这1500名职工中抽取一个容量为30的样本，考虑实行分层抽样若从一、二、三、四4个车间抽取的人数恰好为4个依据从小到大的依次排列的连续正整数，则该工厂第四车间的人数为___________.【答案】450【解析】【分析】依据分层抽样的比例关系计算得到答案.【详解】设从4个车间抽取的人数依次为，则，解得，所以从第四车间抽取9人，从第四车间抽取的人数占样本容量的，依据分层抽样的概念可知，第四车间人数占4个车间总人数的，所以第四车间有(人).故答案为：.【点睛】本题考查了分层抽样，意在考查学生的计算实力.14.二项式的绽开式中含的项的系数为15，则二项式的绽开式中二项式系数最大的项的系数为___________.【答案】【解析】【分析】依据二项式定理得到，二项式系数最大的项为第六项，计算得到答案.【详解】因为的绽开式中含的项的系数为，所以，所以.二项式的绽开式中二项式系数最大的项为第六项，系数为.故答案为：.【点睛】本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算实力.15.已知圆与直线，若直线与圆C交于两点且，则b的值为___________.【答案】【解析】【分析】联立方程得到，依据垂直得到，代入计算得到答案.【详解】由，得，，设，，则，因为，所以，得，得，得，解得，满意，所以.故答案为：.【点睛】本题考查了依据直线和圆的位置关系求参数，意在考查学生的计算实力和转化实力.16.如图，在四棱锥中，四边形为矩形，分别为的中点，平面平面，则四面体的体积为__________，若四面体的各个顶点均在球O的表面上，则球O的体积为__________.【答案】(1).1(2).【解析】【分析】F为的中点，证明平面，，再计算四面体体积，计算球O的直径，再计算体积得到答案.【详解】因为F为的中点，，所以.因为平面平面，所以平面，则.易知在矩形中，，，，所以，则，所以四面体的体积.因为点均在球O上，所以以F为顶点，为相邻棱的长方体的全部顶点均在球O上，则球O的直径，即，则球O的体积.故答案为：1；.【点睛】本题考查了四面体体积，三棱锥的外接球问题，意在考查学生的计算实力和空间想象实力.三、解答题17.在数列中，已知，（1）求数列的通项公式.（2）设，若数列的前n项中的最大项为，最小项为，，求数列的前n项和.【答案】（1）（2）【解析】分析】（1）化简得到是以1为首项，2为公差的等差数列，再利用累加法得到答案.（2）计算，依据数列的单调性得到和，得到，再计算和得到答案.【详解】（1）由，得，又，所以是以1为首项，2为公差的等差数列，所以，所以.（2），所以，所以，当时，，即；当时，，即，留意到，所以，当时，，所以；当时，，所以，综上所述：.【点睛】本题考查数列的通项公式，数列求和，意在考查学生的对于数列公式方法的综合应用.18.随着科技的发展，网购已渐渐融入了人们的生活.网购是特别便利的购物方式，为了了解网购在某市的普及状况，某调查机构进行了有关网购的调查，并从参与调查的市民中随机抽取了男、女各100人进行分析，得到如下所示的统计表.常常网购间或网购或不网购合计男性50100女性70100合计附:，其中.0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（1）完成上表，并依据以上数据推断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为该市市民的网购状况与性别无关.（2）①现从所抽取的100位女性市民中利用分层抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机选取3人赠送实惠券，求选取的3人中至少有2人常常网购的概率；②将频率视为概率，从该市全部参与调查的市民中随机抽取10人赠送礼品，记其中常常网购的人数为X，求随机变量X的数学期望和方差.【答案】（1）见解析，能（2）①②数学期望6，方差2.4.【解析】【分析】（1）完善列联表，计算，得到答案.（2）计算得到，依据题意知，计算数学期望和方差得到答案.详解】（1）完成列联表如下图所示.常常网购间或网购或不网购合计男性5050100女性7030100合计12080200由列联表，得，∴能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为该市市民的网购状况与性别有关.（2）①由题意知所抽取的10位女性市民中，常常网购的有(人)，间或网购或不网购的有(人)，∴选取的3人中至少有2人常常网购的概率.②由列联表可知，抽到常常网购的市民的频率为，将频率视为概率，∴从该市全部参与调查的市民中随意抽取一人，抽到常常网购的市民的概率为0.6，∴由题意知.∴随机变量X的数学期望，方差.【点睛】本题考查了独立性检验，概率的计算，数学期望和方差，意在考查学生的计算实力和应用实力.19.如图，在多面体中，底面是边长为的的菱形，，四边形是矩形，平面平面，，和分别是和的中点．（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）求二面角的大小．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）．【解析】试题分析：第一问依据三角形的中位线找到平行线，利用面面平行的判定定理，在其中一个平面内找到和另一个平面平行的两条相交直线，证得结果，其次问先在几何体中找到共点的相互垂直的三条直线，建立相应的空间直角坐标系，求得面的法向量，利用面的法向量所成的角的余弦值推断求得二面角的余弦值，结合二面角的取值范围，求得二面角的大小．试题解析：（Ⅰ）证明：在中，因为分别是的中点，所以，又因为平面，平面，所以平面．设，连接，因为为菱形，所以为中点在中，因为，，所以，又因为平面，平面，所以平面．又因为，平面，所以平面平面．（Ⅱ）解：取的中点，连接，因为四边形是矩形，分别为的中点，所以，因为平面平面，所以平面，所以平面，因为为菱形，所以，得两两垂直．所以以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，如图建立空间直角坐标系．因为底面是边长为的菱形，，，所以，，，，，．所以，．设平面的法向量为，则．令，得．由平面，得平面的法向量为，则所以二面角的大小为．考点：面面平行的判定定理，求二面角的大小．20.已知为圆上一动点，圆心关于轴的对称点为，点分别是线段上的点，且.（1）求点的轨迹方程；（2）直线与点的轨迹只有一个公共点，且点在其次象限，过坐标原点且与垂直的直线与圆相交于两点，求面积的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【详解】（1）因为，所以为的中点，因为，所以，所以点在的垂直平分线上，所以，因为，所以点在以为焦点的椭圆上，因为，所以，所以点的轨迹方程为.（2）由得，，因为直线与椭圆相切于点，所以，即，解得，即点的坐标为，因为点在其次象限，所以，所以，所以点的坐标为，设直线与垂直交于点，则是点到直线的距离，设直线的方程为，则，，当且仅当，即时，有最大值，所以，即面积的取值范围为.点睛：圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；③利用基本不等式求出参数的取值范围；④利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．21.已知，．（1）若在恒成立，求实数a的取值范围；（2）若，，求证：．【答案】(1)；(2)见证明【解析】【分析】（1）化简不等式，分别常数，构造函数，利用导数求得的最大值，由此求得的取值范围.（2）将所要证明的不等式转化为，依据（1）的结论得到，由此证得，依据基本不等式得到的取值范围，由此对放大后，利用配方法，结合二次函数的性质证得.【详解】解：（1）在恒成立，当在恒成立．令，则，令，则在恒成立，所以在内，所以在内，所以在内递增，所以在内，所以．（2）即证由（1）知，即，所以，