2023–2024学年七年级数学下册单元速记与巧练（人教版）第七章 平面直角坐标系压轴专练（解析版）

第七章平面直角坐标系（压轴题专练）目录TOC\o"1-3"\h\u【类型一直接利用面积公式求图形的面积】 1【类型二利用补形法或分割法求图形的面积】 8【类型三与图形面积相关的点的存在性问题】 11【类型四平面直角坐标系中动点移动问题】 15【类型五平面直角坐标系中图形翻转问题】 19【类型六平面直角坐标系中新定义型问题】 22【类型一直接利用面积公式求图形的面积】例题：（2023春·吉林松原·七年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为，，且，满足，点的坐标为．

(1)求，的值；(2)求的面积．【答案】(1)，，(2)【分析】（1）根据绝对值和算术平方根的非负性，即可求得，的值；（2）根据，的值可以确定点、的坐标，进而求得，的距离，即可求得的面积．【详解】（1）解：∵，∴，，∴，，（2）解：∵，，∴点，点，又∵点，∴，，∴．【点睛】本题考查了坐标与图形的性质、绝对值、算术平方根的非负性以及三角形的面积公式，解题的关键是：根据绝对值、算术平方根的非负性求出，的值．【变式训练】1．（2023春·天津滨海新·七年级校考期中）在直角坐标系中，三角形的顶点，，．

(1)求三角形的面积．(2)若P是x轴上一动点，若三角形的面积等于三角形面积的一半，求点P的坐标．【答案】(1)(2)或【分析】（1）过点B作轴于点H，由得到，由及得到，利用三角形面积公式即可得到三角形的面积；（2）设点P的坐标为，则，根据题意得到，解得或，即可得到点P的坐标．【详解】（1）解：过点B作轴于点H，

∵，∴，∵三角形的顶点，．∴，∴三角形的面积，即三角形的面积为；（2）设点P的坐标为，则，∵三角形的面积等于三角形面积的一半，∴，解得或，∴点P的坐标为或．【点睛】此题主要考查了图形与坐标、绝对值方程、三角形面积公式等知识，数形结合和准确计算是解题的关键．2．（2023春·河南商丘·七年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，三角形的边在轴上，且，顶点的坐标为，顶点的坐标为．

(1)画出所有符合条件的三角形，并写出点的坐标；(2)求三角形的面积．【答案】(1)点或，图见解析；(2)【分析】（1）根据题意设点，再根据数轴上两点之间的距离公式即可解答；（2）根据点的纵坐标为，即可解答．【详解】（1）解：∵三角形的边在轴上∴设点，∵，顶点的坐标为，∴，∴，，∴点或，∵顶点的坐标为，∴如图所示：

（2）解：∵顶点的坐标为，∴点的纵坐标为，∵，∴，即的面积为．【点睛】本题考查了平面直角坐标系内点的坐标特征，数轴上两点之间的距离公式，利用网格求三角形的面积，掌握平面直角坐标系内点的坐标特征是解题的关键．3．（2023春·河北廊坊·七年级校考期中）如图在平面直角坐标系中，已知，，，其中a、b满足．

(1)求a、b的值；(2)求的面积；(3)在x轴上求一点P，使得的面积与的面积相等．【答案】(1)，(2)(3)【分析】（1）根据绝对值和平方的非负性求解即可；（2）由（1）可知点A、B的坐标，从而可求出，再根据三角形的面积公式计算即可；（3）设，则，根据三角形的面积公式可求出，结合题意可列出关于x的等式，解出x的值即可求解．【详解】（1）解：∵，∴，，解得：，；（2）解：∵，，∴，，∴，∴；（3）解：设，∴，∴．∵的面积与的面积相等，∴，解得：或，∴点P的坐标为或．当点P的坐标为时点B与点P重合，∴点P的坐标为．【点睛】本题考查非负数的性质，坐标与图形，绝对值方程的应用等知识．掌握绝对值和平方的非负性，利用数形结合的思想是解题关键．4．（2023春·辽宁大连·七年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，．

(1)求三角形的面积；(2)设点是轴上一点，若，试求点坐标；(3)若点在线段上，求用含的式子表示．【答案】(1)(2)或(3)【分析】（1）根据三角形的面积公式解答即可；（2）根据三角形的面积公式和坐标特点得出方程解答即可；（3）根据，进行计算即可解答．【详解】（1）解：，，，，，；（2）解：设点是轴上一点，坐标为，，，，，即，解得：或，或；（3）解：如图，连接，

，，，，，，，，，点在第三象限，，，，整理得：．【点睛】本题主要考查了坐标与图形，三角形的面积公式，熟练掌握三角形的面积公式是解题的关键．【类型二利用补形法或分割法求图形的面积】例题：（2023春·江西南昌·七年级校联考期中）如图，已知点，，，求三角形的面积．【答案】18【分析】方法一：如图，作长方形，由可得答案；方法二：如图，过点B作轴，并分别过点A和点C作的垂线，垂足分别为点E，F，由可得答案；方法三：如图，过点A作轴，并分别过点C和点B作的垂线，垂足分别为点D，E，由可得答案．【详解】解：方法一：如图，作长方形，则．方法二：如图，过点B作轴，并分别过点A和点C作的垂线，垂足分别为点E，F．∴，，，，，∴．方法三：如图，过点A作轴，并分别过点C和点B作的垂线，垂足分别为点D，E．∴，，，，，∴．【点睛】本题考查的是网格三角形的面积，坐标与图形，熟练的构建与网格三角形面积相关的长方形与梯形是解本题的关键．【变式训练】1．（2023春·湖北恩施·七年级校联考期中）如图，有一块不规则的四边形地皮，各个顶点的坐标分别为，，，图上一个单位长度表示米，求这个四边形的面积．【答案】这个四边形的面积为【分析】过点作轴于点，过点作轴于点，如图，先计算出相关线段的长，再根据求解即可【详解】解：过点作轴于点，过点作轴于点，如图，，，，，，，，，，，，．答：这个四边形的面积为．【点睛】本题考查了坐标与图形，正确得到相关线段的长度、掌握割补法求解的方法是关键．2．（2023春·黑龙江绥化·七年级校考期中）在如图所示的直角坐标系中，多边形的各顶点的坐标分别是，，确定这个多边形的面积，你是怎样做的?【答案】25，见解析【分析】根据矩形、三角形和梯形面积公式以及进行计算．【详解】解：如图所示，多边形的面积．【点睛】本题主要考查了坐标与图形性质，一些不规则图形可以转化为一些易求面积的图形的和或差来计算．【类型三与图形面积相关的点的存在性问题】例题：（2023春·湖北武汉·七年级统考期中）如图1，在坐标系中，已知，，，连接交轴于点，，．(1)请直接写出点，的坐标，______，______；(2)如图2，、分别表示三角形、三角形的面积，点在轴上，使，点若存在，求点纵坐标、若不存在，说朋理由；(3)如图3，若是轴上方一点，当三角形的面积为20时，求出的值．【答案】(1)，；(2)存在，12或；(3)或．【分析】（1）根据立方根的性质，算术平方根的性质可得a，b的值，即可求解；（2）设P点纵坐标为，然后分两种情况讨论：当在上方时，当在下方时，结合，即可求解；（3）分两种情况讨论：当在右侧时，当在左侧时，即可求解．【详解】（1）解：∵，，∴，∴，；故答案为：，（2）解：存在，设P点纵坐标为．当在上方时，，，，，∴，解得：；当在下方时，，，，，，∴，解得：．综上：点纵坐标为12或．（3）解：当在右侧时，，过左轴于，连接，∴，∵三角形的面积为20，∴，；当在左侧时，，过左轴于，连接，，∵三角形的面积为20，∴，；综上所述，的值为12或．【点睛】本题主要考查了立方根的性质，算术平方根的性质，坐标与图形，利用分类讨论思想解答是解题的关键．【变式训练】1．（2023春·广东湛江·七年级校考期中）如图所示，，，点在轴上，且．(1)求点的坐标；(2)求三角形的面积；(3)在轴上是否存在点，使以、、三点为顶点的三角形的面积为？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)或；(2)；(3)存在，或【分析】（1）分点在点的左边和右边两种情况解答；（2）利用三角形的面积公式列式计算即可得解；（3）利用三角形的面积公式列式求出点到轴的距离，然后分两种情况写出点的坐标即可．【详解】（1）如图，当点在点的右边时，，当点在点的左边时，，所以的坐标为或；（2）的面积，答：的面积为；（3）设点到轴的距离为，则，解得，当点在轴正半轴时，，当点在轴负半轴时，，综上所述，点的坐标为或【点睛】本题考查了点的坐标的确定，三角形的面积公式，分类讨论，坐标轴上两点间的距离公式等有关知识；能求出符合条件的点的坐标是解此题的关键．【类型四平面直角坐标系中动点移动问题】例题：（2023秋·辽宁盘锦·九年级校考开学考试）如图，在平面直角坐标系中，一动点沿箭头所示的方向，依次得到点，，，，，…，则的坐标是．

【答案】【分析】由图可得，，，，，…，当n能够被3整除时，点坐标为，根据得，点按“上→右→下→下→右→上”6次一循环，则，根据点在点的上方，即可得．【详解】解：由图可得，，，，，…当n能够被3整除时，点坐标为，∵，∴，∵按“上→右→下→下→右→上”6次一循环，∴，∵点在点的上方，∴故答案为：．【点睛】本题主要考查了点的坐标变化规律，解决问题的关键找出图形的变化规律．【变式训练】1．（2023春·江苏·七年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，动点A从出发，向上运动1个单位长度到达点B，分裂为两个点，分别向左、右运动到点C，D，此时称动点A完成第一次跳跃；再分别从C，D点出发，每个点重复上面的运动，到达点G，H，I，此时称动点A完成第二次跳跃；依此规律跳跃下去，动点A完成第2023次跳跃时，最右边一个点的坐标是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据题意找到点坐标变化的规律即可．【详解】解：由题意可得：A、D、I．．．每完成一次跳跃，最右边一个点的纵坐标增加2，到达点的横坐标增加1，则动点A完成第2023次跳跃时，最右边一个点纵坐标为，横坐标为：故选：C．【点睛】本题考查了点坐标规律的探索．根据题意寻找变化规律是解题关键．2．（2023春·重庆·七年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中方向排列，如，，，，，，…，根据规律探索可得，第40个点的坐标为(

)

A． B． C． D．【答案】D【分析】由题意知，把第一个点作为第一列，，作为第二列，，，作为第三列，进而可推导一般性规律为：第列有个数，则列共有个数，且奇数列的点的顺序由上到下，偶数列点的顺序由下到上，由，可知第40个点的坐标在第9列，从上往下第4个点，进而可求点坐标．【详解】解：由题意知，把第一个点作为第一列，，作为第二列，，，作为第三列，进而可推导一般性规律为：第列有个数，则列共有个数，且奇数列的点的顺序由上到下，偶数列点的顺序由下到上，∵，∴第40个点的坐标在第9列，从上往下第4个点，坐标为，故选：D．【点睛】本题考查了点规律的探究．解题的关键在于根据题意推导出一般性规律．3．（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，动点P从原点O出发，水平向左平移1个单位长度，再竖直向下平移1个单位长度得点；接着水平向右平移2个单位长度，再竖直向上平移2个单位长度得到点；接着水平向左平移3个单位长度，再竖直向下平移3个单位长度得到点；接着水平向右平移4个单位长度，再竖直向上平移4个单位长度得到点，…，按此作法进行下去，则点的坐标为．

【答案】【分析】对奇数点，偶数点分开讨论，找出点坐标与序数的关系，总结规律求解．【详解】解：，；，；，；，；……当为奇数时，；当为偶数时，；∴，即．故答案为：．【点睛】本题考查点坐标规律探索，由开始的几个点坐标总结规律是解题的关键，注意分开讨论．4．（2023春·四川内江·八年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，把一条长为a个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点A处，并按的规律紧绕在四边形的边上．（1）当时，细线另一端所在位置的点的坐标是；（2）当时，细线另一端所在位置的点的坐标是．

【答案】【分析】根据点的坐标，求出四边形的周长，然后求出另一端是绕第几圈后的第几个单位长度，从而确定答案．【详解】解：∵，∴，∴四边形的周长为，∴细线绕一圈的长度为10，∵，∴当时，细线另一端所在位置的点与点重合，坐标为：；∵，∴当时，细线另一端所在位置的点在点下方1个单位长度处，即为：；故答案为：，；【点睛】本题考查坐标与图形，点的规律探究，解题的关键是求出四边形的周长。【类型五平面直角坐标系中图形翻转问题】例题：（2023秋·浙江·九年级专题练习）如图所示，长方形的两边分别在x轴、y轴上，点C与原点重合，点，将长方形沿x轴无滑动向右翻滚，经过一次翻滚，点A的对应点记为，经过第二次翻滚，点A的对应点记为；……，依次类推，经过第2023次翻滚，点A的对应点的坐标为（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】观察图形即可得到经过4次翻滚后点A对应点一个循环，求出的商，从而解答本题．【详解】解：观察图形得，，，，，经过4次翻滚后点A对应点一个循环，，∵点，长方形的周长为：，∴经过505次翻滚后点A对应点的坐标为，即．∴的坐标为．故选：B．【点睛】此题考查探究点的坐标的问题，解题的关键是找到点的变化规律．【变式训练】1．（2023春·重庆九龙坡·七年级重庆实验外国语学校校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，是直角三角形，点O为直角顶点，已知点，，，将按如图方式在x轴负半轴上向左连续翻滚，依次得到、、、…，则的直角顶点的横坐标是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】观察图形，从到经过的路程恰好为的周长，据此即可求解．【详解】解：由题意得：从到经过的路程恰好为的周长：故的直角顶点的横坐标为：；的直角顶点的横坐标为：同理：从到经过的路程恰好为：故的直角顶点的横坐标为：；的直角顶点的横坐标为：…∴、、、…、的直角顶点的横坐标为：∵∴的直角顶点的横坐标为：∵与的直角顶点的横坐标相同故的直角顶点的横坐标是故选：B【点睛】本题考查坐标与规律．根据题意确定坐标变化规律是解题关键．2．（2022·黑龙江大庆·大庆外国语学校校考模拟预测）如图，将边长为1的正方形OAPB沿x轴正方向连续翻转2019次，点P依次落在点的位置，则的横坐标为（

）

A．2019 B．2018 C．2017 D．2016【答案】B【分析】观察图形和各点坐标可知：点到要翻转4次为一个循环，到横坐标刚好加4，到处横坐标加3，按照此规律，求出的横坐标，进而求出答案．【详解】解：由题意可知：点到要翻转4次为一个循环，，，，，，，到横坐标刚好加4，到处横坐标加3，，，，的横坐标，故选：B．【点睛】本题主要考查了规律型：点的坐标，解题关键是根据各点坐标和题意，找出坐标规律．【类型六平面直角坐标系中新定义型问题】例题：（2022秋·湖南常德·八年级统考期末）在平面直角坐标系中，对于点，我们把点叫做点P伴随点．已知点的伴随点为，点的伴随点为，点的伴随点为，…，这样依次得到点，，，…，，…．若点的坐标为，点坐标为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据“伴随点”的定义依次求出各点，不难发现，每4个点为一个循环组依次循环，用2022除以4，根据商和余数的情况确定点的坐标即可．【详解】解：∵的坐标为，∴，，，，…．依此类推，每4个点为一个循环依次循环，∵,∴点的坐标与的坐标相同，为．故选：B．【点睛】本题考查了点的变化规律，读懂题目信息，理解“伴随点”的定义并求出每4个点为一个循序组依次循环是解题的关键．【变式训练】1．（2023春·河南漯河·七年级统考期末）在平面直角坐标系中，对于点，我们把点叫做点P的友好点，已知点的友好点为点，点的友好点为点，点的友好点为点．……以此类推，当点的坐标为时，点的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据的坐标为和友好点的定义，顺次写出点、、、的坐标，发现循环规律，即可求解．【详解】解：当点的坐标为时，点的友好点的坐标为，点的友好点的坐标是，点的友好点的坐标是，点的友好点的坐标是，……以此类推，∴，，，（n为自然数），∵，∴点的坐标为，故选：C【点睛】此题考查了点的坐标变化规律，从已知条件得出循环规律是解题的关键．2．（2023春·河北张家口·七年级统考期末）已知点，，点是线段的中点，则，．在平面直角坐标系中有三个点，，，点关于的对称点为（即，，三点共线，且），关于的对称点为，关于的对称点为，按此规律继续以，，为对称点重复前面的操作，依次得到，，，则点的坐标是．【答案】【分析】根据题意，可求得点至点的坐标，观察各点坐标，可知每个点循环一次，即可求得点的坐标与已知某个点的坐标相同．【详解】设点的坐标为．根据题意，得解得所以，点的坐标为．同理可得，，，，．观察各点坐标可知，点至点为一个循环，即每个点循环一次．∵，∴点的坐标与点的坐标相同．∴点的坐标是．故答案为：．【点睛】本题主要考查平面直角坐标系，解题的关键在于根据题意求得某点的对称点的坐标．3．（2023上·陕西西安·八年级西安市第二十六中学校联考期中）在平面直角坐标系中，对于两点给出如下定义：若点到轴、轴的距离之差的绝对值等于点到轴、轴的距离之差的绝对值，则称两点互为“等差点”．例如．点与点到轴、轴的距离之差的绝对值都