2023–2024学年七年级数学下册单元速记与巧练（人教版）第六章 实数知识突破（解析版）

第六章实数（知识归纳+题型突破）1.了解算术平方根、平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根.2.了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根，会用立方运算求某些数的立方根，会用计算器求平方根和立方根.3.了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应，有序实数对与平面上的点一一对应；了解数的范围由有理数扩大为实数后，概念、运算等的一致性及其发展变化.4.能用有理数估计一个无理数的大致范围.知识点一：平方根和立方根类型项目平方根立方根被开方数非负数任意实数符号表示性质一个正数有两个平方根，且互为相反数；零的平方根为零；负数没有平方根；一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零；重要结论知识点二：实数有理数和无理数统称为实数.

1.实数的分类按定义分：按与0的大小关系分：实数实数特别说明：（1）所有的实数分成三类：有限小数，无限循环小数，无限不循环小数．其中有限小数和无限循环小数统称有理数，无限不循环小数叫做无理数．（2）无理数分成三类：①开方开不尽的数，如，等；②有特殊意义的数，如π；③有特定结构的数，如0.1010010001…（3）凡能写成无限不循环小数的数都是无理数，并且无理数不能写成分数形式.（4）实数和数轴上点是一一对应的.2.实数与数轴上的点一一对应.数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.3.实数的三个非负性及性质：

在实数范围内，正数和零统称为非负数。我们已经学习过的非负数有如下三种形式：

（1）任何一个实数的绝对值是非负数，即||≥0；

（2）任何一个实数的平方是非负数，即≥0；

（3）任何非负数的算术平方根是非负数，即().

非负数具有以下性质：

（1）非负数有最小值零；

（2）有限个非负数之和仍是非负数；

（3）几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0.4.实数的运算：数的相反数是－；一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立.实数混合运算的运算顺序：先乘方、开方、再乘除，最后算加减.同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里.5.实数的大小的比较：

有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立.法则1.实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大；法则2．正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小；法则3.两个数比较大小常见的方法有：求差法，求商法，倒数法，估算法，平方法.【题型一无理数的识别】例题：在实数0、、、、、（相邻两个1之间有1个0）中，无理数的个数有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】根据无理数、有理数的定义即可判定选择项．【详解】解：∵∴，是无理数，共2个，故选：B．【点睛】此题主要考查了无理数的定义，立方根，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．【变式训练】1．在实数（每两个1之间多一个0）中，无理数的个数有（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】B【解析】【分析】无限不循环小数叫做无理数，根据无理数的概念进行判断即可．【详解】由无理数的概念知：π，，0.010010001…（每两个1之间多一个0）这三个数是无理数．故选：B．【点睛】本题考查了无理数的概念，一般地：π与有理数的和、差、积（0除外）、商（0除外）的运算结果仍是无理数；开不尽方的数是无理数；形如0.010010001…（每两个1之间多一个0）的一类数也是无理数．2．在，，，，，，，，（两个“”之间依次多一个“”）中，无理数的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．【详解】解：在，，，，，，，，（两个“”之间依次多一个“”）中，，，，，，是有理数，，，（两个“”之间依次多一个“”）是无理数，共3个，故选：C．【点睛】本题考查了有理数、无理数的概念，求一个数的立方根．以下几类无理数应知道：或含有的式子；开不尽方的数以及它们与有理数的和、差、积、商也都是无理数；还有如（每两个之间依次多一个）这样的数也是无理数．【题型二实数的分类】例题：把下列各数分别填入相应的集合里：，0，，，，，，有理数集合：{_____________________}；无理数集合：{______________________}；负实数集合：{______________________}．【答案】见解析．【分析】根据有理数、无理数、负实数的定义解答．【详解】解∶在，0，，，，，，中，，，，有理数集合∶；无理数集合∶；负实数集合∶．【点睛】本题考查了实数的定义，掌握实数的范围以及分类方法是解题的关键．【变式训练】1．把下列各数分别填入相应的集合内：，，，，，0，（相邻两个2之间的1的个数逐次加1）【答案】无理数集合：，，（相邻两个2之间的1的个数逐次加1）；正实数集合：，，【分析】先化简，，再根据实数的分类方法把各数据填入表格即可．【详解】解：∵，，再把各数填入表格如下图：【点睛】本题考查的是算术平方根与立方根的含义，实数的分类，无理数的含义，掌握“实数的分类”是解本题的关键．2．把下列各数填到相应的集合内只填序号：；；；：；；；；；（相邻两个之间的个数逐次加一）有理数集合：___________________________．无理数集合：___________________________．正实数集合：___________________________．负实数集合：__________________________．【答案】；；；【分析】运用实数的概念进行逐一分类、辨别．【详解】解：；；：；；；是有理数，；；是无理数，；：；；；是正实数，；；是负实数，有理数集合：．无理数集合：．正实数集合：．负实数集合：．故答案为：，，，．【点睛】此题考查了对实数进行正确地分类，关键是能准确理解并运用以上知识．【题型三求一个数的算术平方根、平方根、立方根】例题：1的平方根为______，8的立方根为______，9的算术平方根为______．【答案】

±1

2

3【解析】【分析】根据平方根、立方根、算术平方根的定义进行解答即可．【详解】解：1的平方根为，8的立方根为2，9的算术平方根为3．故答案为：；2；3．【点睛】本题主要考查了平方根、算术平方根和立方根的定义，熟练掌握平方根、立方根、算术平方根的定义是解题的关键．【变式训练】1．的平方根是__________，的算术平方根是__________．【答案】

2

【解析】【分析】先将计算出来，再求平方根；先计算，再求的算术平方根．【详解】解：∵，∴的平方根是；∵，∴的算术平方根是．故答案为：；．【点睛】本题考查平方根和算术平方根．一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根；一个正数的正的平方根是这个数的算术平方根，零的算术平方根是零，负数没有算术平方根．正确理解和掌握平方根和算术平方根的定义是解题的关键．2．25的平方根是_______，的算术平方根是_______，的立方根是_________．【答案】

2

-3【解析】【分析】根据平方根、算术平方根和立方根的定义进行解答即可．【详解】解：25的平方根是，的算术平方根是2，的立方根是-3．故答案为：；2；-3．【点睛】本题主要考查了平方根，算术平方根和立方根的定义，注意求的算术平方根时，要先求出，即求4的算术平方根．【题型四利用算术平方根的非负性解题】例题：若+（b﹣2）2＝0，则a+b＝_____．【答案】1【解析】【分析】根据算术平方根和偶次方的非负数性质可得、的值，相加即可．【详解】解：，而，，，，解得，，．故答案为：1．【点睛】本题考查非负数的性质，解题的关键是掌握两个非负数的和为0，这两个非负数均为0．【变式训练】1．（2023上·浙江杭州·七年级校考期中）若，则的值是（

）A． B．1 C． D．2024【答案】A【分析】本题考查非负数的性质，代数式求值．掌握算术平方根和绝对值的非负性是解题关键．根据算术平方根和绝对值的非负性可求出，，再代入中求值即可．【详解】解：∵，∴，，解得：，，∴．故选A．2．（2023下·江苏·八年级专题练习）已知，则．【答案】4【分析】本题考查的是非负数的性质，掌握几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0是解题的关键．根据非负数的性质求出a、b的值，代入所求的式子计算即可．【详解】解：∵，，，∴，解得，∴．故答案为：4．3．（2023下·七年级课时练习）已知，则的算术平方根是.【答案】2【解析】略【题型五利用平方根、立方根解方程】例题：求出下列x的值：(1)4x2-9=0(2)8（x+1）3=125【答案】(1)x1，x2(2)x＝1.5【解析】【分析】（1）移项，把二次项系数化为1，开平方求出x；（2）根据立方根的定义，开立方求出x．(1)解：4x2﹣9＝0，4x2＝9，x2，x1，x2；(2)8（x+1）3＝125，（x+1）3，x+1，x＝1.5．【点睛】本题主要考查了平方根、立方根，熟练掌握其定义及性质是解题关键．【变式训练】1．求的值：(1)；(2)．【答案】(1)或(2)【解析】【分析】（1）通过系数化为1、开平方进行求解；（2）通过系数化为1、开立方进行求解．(1)系数化为1，得，开平方，得，解得或；(2)系数化为1，得，开立方，得，解得．【点睛】此题考查了运用开平方、开立方解方程的能力，关键是能通过方程的特殊结构选择解方程的方法求解．2．解方程：(1)3x2﹣27＝0；(2)（x﹣1）2(3)8（x﹣1）3【答案】(1)或(2)或(3)【解析】【分析】（1）根据平方根的定义解方程;（2）根据平方根的定义解方程；（3）根据立方根的定义解方程(1)或(2)（x﹣1）2或(3)8（x﹣1）3【点睛】本题考查了根据平方根与立方根解方程，掌握平方根与立方根是解题的关键．【题型六算术平方根和立方根的综合应用】例题：（2023上·贵州贵阳·八年级校考阶段练习）已知的立方根是的算术平方根为．(1)分别求的值；(2)求的平方根．【答案】(1)，，(2)或【分析】本题考查立方根，算术平方根，平方根．熟练掌握相关概念，是解题的关键．（1）根据立方根，平方根和算术平方根的定义进行求解即可；（2）先求出3a−b+c的值，再计算平方根即可．【详解】（1）解：∵的立方根是，的算术平方根为，∴，，解得：，，∵，∴；（2）当时，∴，∴的平方根是．当时，∴，∴的平方根是．综上所述，的平方根是或．【变式训练】1．（2023上·山东济南·八年级统考期中）已知：的立方根是的算术平方根3．(1)求的值；(2)求的平方根．【答案】(1)(2)【分析】本题考查立方根与平方根的运用，涉及立方根和平方根的定义、算术平方根定义、立方根与平方根的运算、解方程和代数式求值等知识，熟记立方根与平方根的运算是解决问题的关键．（1）根据立方根与算术平方根运算列方程求解即可得到答案；（2）将的值代入代数式求值，再由平方根运算求解即可得到答案．【详解】（1）解：的立方根是的算术平方根3，，解得；（2）解：将代入得到，的平方根是，的平方根．2．（2023上·甘肃定西·七年级校考期末）已知的两个平方根分别是，的立方根为2．(1)求的平方根；(2)若的算术平方根是3，求的立方根．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据平方根和立方根的意义求出字母的值，再求的平方根即可；（2）求出的值，再求的立方根即可．【详解】（1）解：∵的两个平方根分别是，的立方根为2．∴，，解得，，，，∵，∴的平方根是．（2）解：∵的算术平方根是3，∴，

∵，∴，，∵，∴的立方根是．【点睛】本题考查了平方根和立方根，解题关键是根据平方根和立方根的意义求出字母的值，会熟练求一个数的平方根和立方根．【题型七实数与数轴】例题：如图，正方形的面积为7.顶点A在数轴上表示的数为1，点E在数轴上，且，则点E表示的数是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】因为面积为7的正方形边长为，所以，而，得，点的坐标为1，故点的坐标为．【详解】解：正方形的面积为7，即，，，，点表示的数为1，点表示的数为，故选：C．【点睛】本题考查了实数与数轴有关的问题，算术平方根，关键是结合题意求出．【变式训练】1．如图所示，面积为5的正方形的顶点A在数轴上，且点A表示的数为1，若点在数轴上（点在点A左侧），且，则点所表示的数为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先根据正方形的面积为5，即可求得它的边长为，再根据点A表示的数为1，，即可求解．【详解】解：正方形的面积为5，它的边长为，点A表示的数为1，，点所表示的数为：，故选：D．【点睛】本题考查了正方形的性质，求数轴上的点所表示的数，采用数形结合的思想是解决此类题的关键．2．如图，在数轴上，两点表示的数分别为1，，，则点所表示的数为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求出，再根据数轴上两点距离公式进行求解即可．【详解】解：∵在数轴上，两点表示的数分别为1，，，∴，又∵点C在点A的左边，∴点C表示的数为，故选B．【点睛】本题主要考查了实数与数轴，实数的混合计算，熟知数轴上两点距离公式是解题的关键．【题型八实数的大小比较】例题：比较大小：______．【答案】【分析】先求出两者的差，根据差的正负即可比较大小.【详解】解：，，，∴，∴，∴，∴故答案为：【点睛】本题考查了实数的大小比较，能选择适当的方法比较两个数的大小是解此题的关键．【变式训练】1．比较大小：______．【答案】【分析】先估算出的范围，再求出以及的范围，然后比较大小即可；【详解】解：∵∴，∴，∴，∵，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了无理数的估算以及实数的大小比较，能估算出的范围是解此题的关键．2．比较大小：（1）_____；（2）_____（3）_____；（4）_____．【答案】

【分析】（1）先把和分别平方，然后再进行大小比较．（2）先把和分别平方，然后再进行大小比较．（3）先把和分别平方，然后再进行大小比较．（4）先求出和的倒数，然后进行大小比较．【详解】解：（1），，，（2），，，（3），，，（4），，而，，故答案为：，，，．【点睛】本题考查了实数的大小比较，利用平方法或倒数法进行比较大小．【题型九实数的混合运算】例题：计算：．【答案】【分析】先计算立方根、化简绝对值、计算算术平方根，然后进行合并即可．【详解】解：．【点睛】本题考查了实数的运算，熟记法则和运算顺序是解决此题的关键．注意引入无理数后有理数的一些运算法则和性质仍然适用．【变式训练】1．（2023上·江苏常州·八年级校考阶段练习）计算：(1)；(2)．【答案】(1)；(2)．【分析】本题考查实数的运算，熟练掌握算术平方根和立方根性质以及负指数幂的运算法则，乘方、二次根式以及去绝对值的运算规则是解题的关键．（1）由题意根据算术平方根和立方根性质以及乘方的运算法则进行计算即可；（2）由题意根据乘方、算术平方根、负指数幂以及去绝对值的运算规则进行计算即可．【详解】（1）解：（2）解：．2．（2023上·陕西西安·八年级校考阶段练习）计算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】此题考查实数的运算，解题关键在于掌握运算法则．（1）原式利用平方根，立方根进行化简，计算即可解答；（2）原式利用平方根，立方根，绝对值进行化简，计算即可解答．【详解】（1）解：原式；（2）解：原式．3．（2023上·江苏常州·八年级校考期中）计算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】此题主要考查了实数的混合运算；（1）首先计算零指数幂、乘方和绝对值，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可；（2）首先计算乘方、开平方和开立方，然后从左向右依