2023–2024学年七年级数学下册单元速记与巧练（人教版）第九章 不等式与不等式组知识突破（解析版）

第九章不等式与不等式组（知识归纳+13题型突破）1.理解不等式的有关概念，掌握不等式的三条基本性质；2.理解不等式的解（解集）的意义，掌握在数轴上表示不等式的解集的方法；3.会利用不等式的三个基本性质，熟练解一元一次不等式或不等式组；4.会根据题中的不等关系建立不等式（组），解决实际应用问题；5.通过对比方程与不等式、等式性质与不等式性质等一系列教学活动，理解类比的方法是学习数学的一种重要途径.知识点一不等式1.不等式：用符号“＜”(或“≤”)，“＞”（或“≥”），≠连接的式子叫做不等式.特别说明：（1）不等式的解：能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解.（2）不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集．解集的表示方法一般有两种：一种是用最简的不等式表示，例如，等；另一种是用数轴表示，如下图所示：（3）解不等式：求不等式的解集的过程叫做解不等式．2.不等式的性质：不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变．用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或)．不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或)．知识点二一元一次不等式1.定义：不等式的左右两边都是整式，经过化简后只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，这样的不等式叫做一元一次不等式，特别说明：：ax+b＞0或ax+b＜0(a≠0)叫做一元一次不等式的标准形式．2.解法：解一元一次不等式步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1.

特别说明：不等式解集的表示：在数轴上表示不等式的解集，要注意的是“三定”：一是定边界点，二是定方向，三是定空实.3.应用：列不等式解应用题的基本步骤与列方程解应用题的步骤相类似，即：（1）审：认真审题，分清已知量、未知量；（2）设：设出适当的未知数；（3）找：找出题中的不等关系，要抓住题中的关键字，如“大于”“小于”“不大于”“至少”“不超过”“超过”等关键词的含义；（4）列：根据题中的不等关系，列出不等式；（5）解：解出所列的不等式的解集；（6）答：检验是否符合题意，写出答案.特别说明：列一元一次不等式解应用题时，经常用到“合算”、“至少”、“不足”、“不超过”、“不大于”、“不小于”等表示不等关系的关键词语，弄清它们的含义是列不等式解决问题的关键.知识点三一元一次不等式组

关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组.

特别说明：（1）不等式组的解集：不等式组中各个不等式的解集的公共部分叫做这个不等式组的解集.（2）解不等式组：求不等式组解集的过程，叫做解不等式组.

（3）一元一次不等式组的解法：分别解出各不等式，把解集表示在数轴上，取所有解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集.

（4）一元一次不等式组的应用：①根据题意构建不等式组，解这个不等式组；②由不等式组的解集及实际意义确定问题的答案．【题型一根据题意列不等式】例题：（2024上·浙江宁波·八年级统考期末）用不等式表示减去大于：．【答案】【分析】本题主要考查不等式，根据不等式的定义（用“>”或“<”表示不等关系的式子叫做不等式）即可求得答案．【详解】用不等式表示减去大于为：．故答案为：．【变式训练】1．（2023上·浙江温州·八年级校联考期中）根据数量关系“x的2倍与y的差大于3”，列不等式：．【答案】【分析】本题考查了列不等式题，关键是理解“大于”用数学符号表示应为“>”．表示出x的2倍与y的差，表示为，后用“>"与3连接即可．【详解】解∶“x的2倍与y的差大于3”可表示为．故答案为∶．2．（2023下·河南周口·七年级统考期末）某日我市最高气温是27℃，最低气温是22℃，则当天气温℃的变化范围是．【答案】【分析】根据题意，将其转化为数学式子表示即可得到答案．【详解】解：由题意得当天气温℃的变化范围是，故答案为：．【点睛】本题考查用不等式表示实际问题，读懂题意是解决问题的关键．【题型二不等式的解集】例题：（2023下·湖南衡阳·七年级校考期中）下列说法中，正确的是（

）A．不等式的解集是 B．是不等式的一个解C．不等式的整数解有无数个 D．不等式的正整数解有4个【答案】C【分析】先求出不等式的解集，再依次判断解的情况．【详解】解：A、该不等式的解集为，故错误，不符合题意；B、∵，故错误，不符合题意；C、正确，符合题意；D、因为该不等式的解集为，所以无正整数解，故错误，不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了不等式的性质和不等式的解集的理解，解题关键是根据解集正确判断解的情况．【变式训练】1．（2023下·全国·八年级假期作业）下列的值中，是不等式的解的是（

）A．4 B．2 C．0 D．【答案】A【解析】略2．（2022·全国·七年级专题练习）下列说法错误的是（）A．是不等式的解 B．是不等式的解C．的解集是 D．的解集就是、、【答案】D【分析】根据不等式的性质即可求解．【详解】解：A选项，是不等式的解，把代入不等式，不等式成立，故正确；B选项，是不等式的解，把代入不等式，不等式成立，故正确；C选项，的解集是，解不等式得，故正确；D选项，的解集就是、、，不是不等式的解，故错误．故选：D．【点睛】本题主要考查不等式的性质解一元一次不等式，掌握不等式的性质是解题的关键．【题型三不等式的基本性质】例题：（2024上·浙江宁波·八年级宁波市第十五中学校考期末）若，则下列不等式不一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了不等式的性质，不等式两边加或减同一个数或式子，不等号的方向不变；不等式两边乘或除同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘或除同一个负数，不等号的方向改变，由此逐项判断即可求解，掌握不等式的性质是解题的关键．【详解】解：、∵，∴，故该选项成立，不合题意；、∵，∴，故该选项成立，不合题意；、∵，∴，∴，故该选项成立，不合题意；、∵，当时，；当时，不等式两边除以无意义；当时，；故该选项不一定成立，符合题意；故选：．【变式训练】1．（2024上·江苏苏州·七年级统考期末）已知，则下列各式中一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的性质逐个判断即可．【详解】A．不等式两边同时减，可得，选项一定不成立，不符合题意；B．当时，可得，选项不一定成立，不符合题意；C．不等式两边同时除以2再减去1，可得，选项一定不成立，不符合题意；D．不等式两边同时乘，可得，选项一定成立，符合题意；故选：D．2．（2024上·浙江杭州·八年级统考期末）已知，则下列各式中，正确的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】此题考查了不等式性质的应用能力，关键是能准确理解并运用该知识进行辨别．运用不等式的性质进行逐一辨别、求解．【详解】解：∵，∴故A错误；，故B错误；，故C正确；，故D错误∴选项C符合题意．故选：C．【题型四一元一次不等式的辨别】例题：（2023下·上海宝山·六年级统考期末）下列各式：（1）；（2）；（3）；（4）；中是一元一次不等式的有（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．0个【答案】A【分析】根据一元一次不等式的定义，未知数的次数是1，对各选项分析判断后利用排除法求解．【详解】解：（1），是一元一次不等式；（2），含有两个未知数，不是一元一次不等式；（3），是一元一次不等式；（4），未知数的最高次数为2，不是一元一次不等式；一元一次不等式共2个，故选：A．【点睛】本题考查一元一次不等式的概念，掌握一元一次不等式的定义：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式是解题关键．【变式训练】1．（2023下·福建福州·七年级统考期末）下列不等式中，属于一元一次不等式的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据一元一次不等式的三个特点：不等式的两边都是整式；只含个未知数；未知数的最高次数为次，进行求解即可．【详解】解：不含未知数，错误；B.符合一元一次不等式的定义，正确；C.分母含未知数，错误；D.含有两个未知数，错误．故选：B．【点睛】本题考查一元一次不等式的定义，熟记一元一次不等式的三个特点是关键．2．（2023下·全国·七年级专题练习）下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥，其中一元一次不等式有（

）个．A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【分析】类似于一元一次方程，含有一个未知数，未知数的次数是1，未知数的系数不为0，左右两边为整式的不等式，叫做一元一次不等式．根据一元一次不等式的定义分析判断即可．【详解】解：①，属于不等式，但不是一元一次不等式，不合题意；②，属于一元一次不等式，符合题意；③，属于一元一次不等式，符合题意；④，属于一元二次不等式，不合题意；⑤属于方程，不合题意；⑥，属于一元一次不等式，符合题意．综上所述，一元一次不等式有3个．故本题选：A．【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的判别，熟练掌握一元一次不等式的定义是解题关键．【题型五求一元一次不等式的解集并在数轴上表示不等式的解集】例题：（2024上·广西来宾·八年级统考阶段练习）解不等式：，并把解集在数轴上表示出来．【答案】，数轴见解析【分析】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，解题的关键是严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．首先去分母，移项、合并同类项，系数化为1，即可求得原不等式的解集，再将解集表示在数轴上即可．【详解】解：去分母得：，去括号得：移项合并得：，解得：；在数轴上表示：．【变式训练】1．（2023下·全国·八年级假期作业）解不等式，并把它的解集表示在数轴上．【答案】，数轴见解析【详解】解：去分母，得，去括号，得，移项，得，合并同类项，得，两边都除以，得．该不等式的解集在数轴上的表示如图所示．2．（2024下·全国·七年级假期作业）解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来：(1)；(2)．【答案】(1)．(2)．【详解】（1）去括号，得．移项、合并同类项，得．系数化为1，得．这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示．（2）去分母，得．移项、合并同类项，得．系数化为1，得．这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示．【题型六求一元一次不等式的整数解】例题：（2022下·黑龙江哈尔滨·七年级统考期末）不等式的正整数解是．【答案】1，2【分析】根据不等式的基本性质及解不等式的步骤求出不等式的解集，再求出不等式的正整数解即可．【详解】解：，，，，，又∵不等式的解为正整数，∴不等式的正整数解为：1，2故答案为：1，2【点睛】本题考查解一元一次不等式及不等式的特殊解，能正确求出不等式的解集是解决本题的关键．【变式训练】1．（2023上·浙江宁波·八年级校考阶段练习）关于x的不等式的正整数解是．【答案】1【分析】先解出不等式，然后求满足条件的正整数解即可．【详解】解：，，，，，不等式的正整数解是1．故答案为：1．【点睛】本题考查了解一元一次不等式及其正整数解，熟练掌握一元一次不等式的解法是解题关键．2．（2023下·辽宁盘锦·七年级校考期末）不等式的所有正整数解的和为．【答案】3【分析】根据解不等式的步骤，先移项、合并同类项、系数化成1即可求解．【详解】解：移项，得，合并同类项，得，系数化成1得．则正整数解是1和2，有正整数解的和为．故答案为：3．【点睛】本题考查了一元一次不等式的解法，解不等式的依据是不等式的基本性质，需注意，在不等式两边都除以一个负数时，应只改变不等号的方向．【题型七用一元一次不等式的解决实际问题】例题：（2023下·陕西咸阳·八年级咸阳市实验中学校考阶段练习）某景区为了吸引游客，现打算在一空地种植A，B两种品种的牡丹，A、B两种牡丹每棵的价格分别是55元和72元，若购买两种牡丹共90棵，且总价格不超过5460元，求最少要购买A种牡丹多少棵？【答案】最少要购买A种牡丹60棵【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用．设购买A种牡丹x棵，则购买B种牡丹棵，根据题意，列出不等式，即可求解．【详解】解：设购买A种牡丹x棵，则购买B种牡丹棵，由题意得，，解得：，最少要购买A种牡丹60棵．【变式训练】1．（2023上·黑龙江哈尔滨·九年级校考阶段练习）某商店购进甲、乙两种品牌的文具，若购进甲种文具20件，乙种文具30件，共需要400元；若购进甲种文具10件，乙种文具5件，共需要100元．(1)求该商店购进甲、乙两种品牌的文具每件各需要多少元？(2)若该商店准备购进甲、乙两种品牌的文具共100件，且总预算费用不超过800元，那么该商店最多可购进乙种品牌的文具多少件？【答案】(1)该商店购进甲种品牌的文具每件需要5元，乙两种品牌的文具每件需要10元；(2)该商店最多可购进乙种品牌的文具60件．【分析】（1）根据题意列出二元一次方程，求解即可；（2）设该商店可购进乙种品牌的文具件，列出一元一次不等式，求出解即可；本题主要考查二元一次方程，一元一次不等式，准确列出式子是解题的关键．【详解】（1）解：设该商店购进甲种品牌的文具每件需要元，乙两种品牌的文具每件需要元，根据题意，得，解得，答：该商店购进甲种品牌的文具每件需要5元，乙两种品牌的文具每件需要10元．（2）设该商店可购进乙种品牌的文具件，则购买件甲种品牌的文具，根据题意，得：，解得，答：该商店最多可购进乙种品牌的文具60件．2．（2024上·浙江衢州·八年级统考期末）2024年，人工智能技术将迎来新的突破，智能驾驶、智能家居、智能医疗等领域的创新将改变人们的生活方式，并带来巨大的便利，某连锁酒店计划向机器人公司购买A型号和B型号送餐机器人共台，其中B型号机器人不少于A型号机器人的倍．(1)该连锁酒店最多购买几台A型号机器人？(2)机器人公司报价A型号机器人7万元/台，B型号机器人9万元/台，要使总费用不超过万元，则有哪几种购买方案？【答案】(1)最多购买台A型号机器人；(2)有两种方案：A型号台、B型号台或A型号台、B型号台．【分析】本题考查一元一次不等式的应用，能根据题中不等关系列出不等式是解题的关键，（1）设该垃圾处理厂购买台型号机器人，根据“B型号机器人不少于A型号机器人的倍”列出不等式求解即可；（2）根据“总费用不超过万元”列出不等式，结合（1）中不等式的解和为整数，即可得出共有两种方案．【详解】（1）解：设购买台型号机器人，则购买台型号机器人，则，∴，答：最多购买台型号机器人．（2）解：设购买台型号机器人，则购买台型号机器人，则，∴，，又是整数，∴或，当A型号为台时、B型号为台；当A型号为台时、B型号为台，答：共有2种方案，A型号台、B型号台；A型号台、B型号台．【题型八一元一次不等式组的定义】例题：（2023下·七年级课时练习）下列选项中，是一元一次不等式组的是（

）A．B．C．D．【答案】D【解析】略【变式训练】1．（2022下·七年级单元测试）下列各式中是一元一次不等式组的是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据一元一次不等式组的定义进行判断．【详解】解：A、第二个不等式不是整式不等式，故本选项不合题意；B、该不等式组中有2个未知数，故本选项不合题意；C、该不等式组中的第二个不等式中不含有未知数，故本选项不合题意；D、该不等式组符合一元一次不等式组的定义，故本选项符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了一元一次不等式组的定义．几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合在一起，就组成了一个一元一次不等式组．2．（2023上·浙江·八年级专题练习）下列不等式组：①；②；③；④；⑤，其中是一元一次不等式组的个数（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】B【分析】根据一元一次不等式组的定义判断即可．【详解】解：①是一元一次不等式组；②是一元一次不等式组；③含有两个未知数，不是一元一次不等式组；④是一元一次不等式组；⑤，未知数是2次，不是一元一次不等式组，其中是一元一次不等式组的有3个，故选：B．【点睛】本题考查一元一次不等式组的定义，根据共含有一个未知数，未知数的次数是1来判断．【题型九求一元一次不等式组的解集】例题：（2024上·浙江·八年级统考期末）解一元一次不等式组．【答案】【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，熟知解一元一次不等式组的方法和步骤是解题的关键．分别求出两个不等式的解集，然后根据“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则可得该不等式组的解集．【详解】解：，解不等式①，可得，解不等式②，可得所以，该不等式组的解集为．【变式训练】1．（2024上·湖南湘潭·八年级统考期末）解不等式组将解集在数轴上表示出来，并写出它的所有整数解．【答案】不等式组的解集：，解集在数轴上表示见解析，整数解有：，，0，1，2，3【分析】本题考查解不等式组，用数轴表示出不等式组的解集，求不等式组的整理数解．先分别求出不等式组中每一个不等式解集，再确定出不等式组的解集，然后用数轴表示出不等式组的解集，并写不等式组的整数解即可．【详解】解：解不等式①，得：，解不等式②，得：，原不等式组的解集：，解集数轴表示：整数解有：，，0，1，2，3．2．（2023上·湖南岳阳·八年级统考期末）解不等式组，并将解集在数轴上表示出来．【答案】不等式组的解集为，数轴表示见解析．【分析】本题主要考查了求不等式组的解集、不等式组的解集在数轴上的表示方法．先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后把不等式的解集表示在数轴上．【详解】解：解不等式得，解不等式得，所以不等式组的解集为，将解集在数轴上表示，如图，．【题型十求一元一次不等式组的整数解】例题：（2024上·湖南永州·八年级统考期末）解不等式组，并求其整数解．【答案】，整数解为【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，求不等式组的整数解，先求出每个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，再求出不等式组的整数解即可．【详解】解：解不等式①得，解不等式②得，∴不等式组的解集是，∴不等式组的整数解为．【变式训练】1．（2023上·湖南娄底·八年级统考期末）解不等式组，并把所有的整数解写出来．【答案】原不等式组的解集为，不等式组的所有整数解为、0、1【分析】此题主要考查不等式组的解法，根据不等式的性质，分别解出不等式，再求出其公共解集，再写出整数解即可．【详解】解：，解①得：，解②得：，把它们的解集在数轴上表示如下：∴原不等式组的解集为，∴不等式组的所有整数解为、0、1.2．（2023下·甘肃天水·七年级校考期末）解不等式组：．（注：必须通过画数轴求解集）并写出该不等式组的最小整数解．【答案】原不等式组的解集是：；该不等式组的最小整数解是：【分析】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握确定解集的规律：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小找不到是解答本题的关键．根据解一元一次不等式组的方法，分别解不等式，得到，，在数轴上将，表示出来，由此得到答案．【详解】解：根据题意得：，解①得：，解②得：，

原不等式组的解集是：．该不等式组的最小整数解是：．【题型十一解一元一次不等式组中错解复原问题】例题：（2023·宁夏·统考中考真题）解不等式组下面是某同学的部分解答过程，请认真阅读并完成任务：解：由①得：

第1步

第2步

第3步

第4步任务一：该同学的解答过程第_______步出现了错误，错误原因是_______，不等式①的正确解集是_______；任务二：解不等式②，并写出该不等式组的解集．【答案】任务一：4，不等号的方向没有发生改变，；任务二：，【分析】任务一：系数化1时，系数小于0，不等号的方向要发生改变，即可得出结论；任务二：移项，合并同类项，系数化1，求出不等式②的解集，进而得出不等式组的解集即可．【详解】解：任务一：∵，∴；∴该同学的解答过程第4步出现了错误，错误原因是不等号的方向没有发生改变，不等式①的正确解集是；故答案为：4，不等号的方向没有发生改变，；任务二：，，，；又，∴不等式组的解集为：．【点睛】本题考查解一元一次不等式，求不等式组的解集．解题的关键是正确的求出每一个不等式的解集，注意系数化1时，系数是负数，不等号的方向要发生改变．【变式训练】1．（2023下·河南南阳·七年级统考期末）下面是小东同学解不等式组的过程，请认真阅读，完成相应的任务．解：由不等式①，得．…………第一步解得．………第二步由不等式②，得．……第三步移项，得．

………第四步解得．………第五步所以，原不等式组解集是．…………第六步(1)小东的解答过程中，第______；步开始出现错误，他错误的原因是_____________；(2)第三步的依据是_____________________；任务二：(3)直接写出这个不等式组的解集：______．【答案】(1)五；不等式的两边都除以同一个负数，不等号的方向没改变(2)不等式两边同时乘以个正数，不等式不改变方向(3)【分析】（1）根据等式的性质逐步分析即可；（2）第三步变形的依据是不等式的基本性质2；（3）通过解一元一次不等式得到这个不等式组正确的解集．【详解】（1）小东的解答过程中，第五步开始出现了错误，产生错误的原因是不等式的两边都除以同一个负数，不等号的方向没改变；故答案为：五；不等式的两边都除以同一个负数，不等号的方向没改变；（2）第三步变形的依据是不等式两边同时乘以个正数，不等式不改变方向；故答案为：不等式两边同时乘以个正数，不等式不改变方向；（3）由不等式①，得，解得．由不等式②，得，移项，得，解得．，所以，原不等式组解集是．故答案为：．【点睛】本题考查了解一元一次不等式，步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1；依据：不等式的基本性质．【题型十二列一元一次不等式组】例题：（2023下·福建三明·八年级统考期中）一本书共98页，张力读了一周（7天）还没读完，而李永不到一周就已读完．李永平均每天比张力多读3页．若设张力平均每天读x页，则由题意列出不等式组为（）A． B．C． D．【答案】A【分析】由“张力读了一周（7天）还没读完，而李永不到一周就已读完”可建立不等式组．【详解】解：设张力平均每天读x页，则李永平均每天读页由“张力读了一周（7天）还没读完”可得：由“李永不到一周就已读完”可得：故：故选：A．【点睛】本题考查列一元一次不等式组．正确理解题意是解题关键．【变式训练】1．（2022上·浙江宁波·八年级统考期中）将一箱苹果分给若干个小朋友，若每位小朋友分5个苹果，则还剩个苹果；若每位小朋友分8个苹果，则有一个小朋友所分苹果不到8个，若小朋友的人数为x，则下列正确的是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】由“每位小朋友分5个苹果，则还剩个苹果，且小朋友的人数为”，可得出这箱苹果共个，结合“若每位小朋友分8个苹果，则有一个小朋友所分苹果不到8个”，即可列出关于的一元一次不等式组，此题得解．【详解】解：每位小朋友分5个苹果，则还剩个苹果，且小朋友的人数为，这箱苹果共个，每位小朋友分8个苹果，则有一个小朋友所分苹果不到8个，，故选：C．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式组，根据各数量关系，正确列出一元一次不等式组是解题关键．2．（2023·全国·七年级假期作业）一本书共98页，张力读了一周(7天)还没读完，而李永不到一周就已读完．李永平均每天比张力多读3页．若设张力平均每天读x页，则由题意列出不等式组为()A． B．C． D．【答案】A【分析】张力平均每天读x页，则李永每天读页，根据张力读了一周(7天)还没读完可得不等式，根据李永不到一周就已读完可得不等式，再联立两个不等式即可．【详解】解：设张力平均每天读x页，由题意得：，故选：A．【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，解答此题的关键是找到关键性的描述语言，列出不等式组．在求解时不要忽略x为整数这一关键性条件．【题型十三用一元一次不等组的解决实际问题】例题：（2024上·浙江宁波·八年级校联考期末）随着梦天实验舱的顺利发射，我国空间站完成了在轨组装，为了庆祝这令人激动的时刻，某校开展了关于空间站的科学知识问答竞赛．为了奖励在竞赛中表现优异的学生，学校准备一次性购买A，B两种航天器模型作为奖品．已知购买1个A模型和1个B模型共需159元；购买3个A模型和2个B模型共需374元．(1)求A模型和B模型的单价．(2)根据学校的实际情况，需一次性购买A模型和B模型共20个，但要求购买A模型的数量多于12个，且不超过B模型的3倍．请你给出一种费用最少的方案，并求出该方案所需的费用．【答案】(1)56元，103元；(2)购买A模型15个，B模型5个，费用最少，该方案所需的费用为元．【分析】（1）设1个A模型的价格为x元，1个B模型的价格为y元，根据“购买1个A模型和1个B模型共需159元；购买3个A模型和2个B模型共需374元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设购买A模型m个，则购买B模型（20-m）个，根据“购买A模型的数量多于12个，且不超过B模型的3倍”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为整数，即可得出各购买方案，利用总价=单价×数量可求出各方案所需费用，比较后即可得出结论．本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．【详解】（1）解：设1个A模型的价格为x元，1个B模型的价格为y元，依题意得：，解得：．答：1个A模型的价格为56元，1个B模型的价格为103元．（2）设购买A模型m个，则购买B模型个，依题意得：，解得：．又∵m为整数，∴m可以为，∴共有3种购买方案，方案1：购买A模型13个，B模型7个，所需费用为（元）；方案2：购买A模型14个，B模型6个，所需费用为（元）；方案3：购买A模型15个，B模型5个，所需费用为（元）．∵，∴方案3购买A模型15个，B模型5个费用最少，最少费用为元．【变式训练】1．（2024上·浙江·八年级统考期末）学校准备安装校园人脸识别系统，计划购买人脸识别通道闸机和门禁机．已知通道闸机的单价是门禁机单价的3倍，购买2台通道闸机和4台门禁机共需7500元．(1)求通道闸机和门禁机的单价．(2)已知该校园内至少需要安装10台通道闸机，若购买通道闸机和门禁机共40台，且费用不超过48000元，请列出所有购买方案，并指出哪种方案所需资金最少？最少资金多少元？【答案】(1)通道闸机的单价为2250元，门禁机的单价为750元(2)方案1：购买道闸机10台，购买门禁机30台；方案2：购买道闸机11台，购买门禁机29台；方案3：购买道闸机12台，购买门禁机28台．其中方案1所需资金最少，为45000元【分析】（1）设门禁机的单价为元，则通道闸机的单价为元，根据题意列方程并求解，即可获得答案；（2）设购买道闸机台，则购买门禁机台，根据题意列出关于的一元一次不等式组并求解，结合实际确定的值，即可列出可能方案，并分别计算每一种方案的费用，比较即可获得答案．【详解】（1）解：设门禁机的单价为元，则通道闸机的单价为元，根据题意，可得，解得元，则元．答：通道闸机的单价为2250元，门禁机的单价为750元；（2）解：设购买道闸机台，则购买门禁机台，根据题意，可得，解得，∵为正整数，∴可以为10，11，12，∴共有3种购买方案：方案1：购买道闸机10台，购买门禁机30台，费用为元；方案2：购买道闸机11台，购买门禁机29台，费用为元；方案3：购买道闸机12台，购买门禁机28台，费用为元，∵，∴方案1所需资金最少，为45000元．【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用、一元一次不等式的应用、有理数混合运算以及有理数比较大小等知识，理解题意，弄清数量关系是解题关键．2．（22·23七年级下·内蒙古通