浙江省杭州外国语学校2024-2025学年九年级上学期开学数学试题

2024-2025学年浙江省杭州外国语学校九年级（上）开学数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在中，，那么等于（）A． B． C． D．2．小明不慎把家里的圆形镜子打碎了（如图），其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的碎片应该是（）A．① B．② C．③ D．④3．如图，点在半上，四边形均为矩形．设，则下列各式中正确的是（）A． B． C． D．4．如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，连接，下列结论错误的是（）A． B．平分C． D．点为线段的黄金分割点5．已知二次函数的与的部分对应值如表：…013……131…则下列判断中正确的是（）A．抛物线开口向上 B．抛物线与轴交于负半轴C．当时， D．方程的正根在3与4之间6．二次函数和正比例函数的图象如图所示，则方程的两根之和（）A．大于0 B．等于0 C．小于0 D．不能确定7．如图，直径为10的上经过点和点是轴右侧优弧上一点，则的余弦值为（）A． B． C． D．8．如图，在半径为1的中，直径把分成上、下两个半圆，点是上半圆上一个动点（与点不重合），过点作弦，垂足为的平分线交于点，设，下列图象中，最能刻画与的函数关系的图象是（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．9．分解因式：______．10．如图，线段于点于点，点为线段上一动点，且以为顶点的三角形与以为顶点的三角形相似，则的长为______．11．如图，在扇形中，，点是上的一个动点（不与重合），，垂足分别为．若，则扇形的面积为______．12．已知二次函数图象的对称轴为，其图象如图所示，现有下列结论：①，②，③，④，⑤．正确的序号是______．三、解答题：本题共4小题，共42分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．13．（本小题10分）（1）计算：；（2）解分式方程：．14．（本小题10分）如图，四边形中，平分为的中点，连接．（1）求证：；（2）若，求的值．15．（本小题14分）已知五个点，抛物线经过其中的三个点．（1）求证：两点不可能同时在抛物线上；（2）点在抛物线上吗？为什么？（3）求和的值．16．（本小题8分）如图，在矩形中，（是大于0的常数），为线段上的动点（不与重合）．连接，作与射线交于点，设．（1）求关于的函数关系式；（2）若，求为何值时，的值最大，最大值是多少？（3）若，要使为等腰三角形，的值应为多少？

答案和解析1．【答案】B【解析】解：，，是直角三角形，，，故选：B．根据中，可利用勾股定理逆定理判断出是直角三角形，再根据正弦的定义可得答案．此题主要考查了勾股定理逆定理，解直角三角形，关键是掌握勾股定理逆定理：如果三角形的三边长，满足，那么这个三角形就是直角三角形．2．【答案】A【解析】解：第①块出现一段完整的弧，可在这段弧上任做两条弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长．故选：A．利用段完整的弧结合垂径定理确定圆心即可．本题考查了确定圆的条件，解题的关键是熟练掌握：圆上任意两弦的垂直平分线的交点即为该圆的圆心．要确定圆的大小需知道其半径．根据垂径定理知第①块可确定半径的大小．3．【答案】D【解析】解：连接、根据矩形的对角线相等，得，．再根据同圆的半径相等，得．故选D．本题主要根据矩形的性质以及垂径定理进行做题．此题主要能够根据矩形的对角线相等把线段进行转换，根据同圆的半径相等即可证明．4．【答案】C【解析】【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定，等腰三角形性质，黄金分割点，线段垂直平分线性质的应用，主要考查学生的推理能力．求出的度数即可判断；求出和的度数，求出的度数，即可判断；根据三角形面积即可判断；求出，得出，求出，即可判断．【解答】解：A、，，，正确，B、是垂直平分线，，，，是的角平分线，正确，C，根据已知不能推出的面积和面积相等，错误，D、，，，，，，，，，即点是的黄金分割点，正确，故选：C．5．【答案】D【解析】解：由图表可得，该函数的对称轴是直线，有最大值，抛物线开口向下，故选项A错误，抛物线与轴的交点为，故选项B错误，和时的函数值相等，则时，，故选项C错误，方程的正根在3与4之间，故选项D正确，故选：D．根据题意和表格中的数据可以得到该函数的对称轴、开口方向，从而可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．本题考查抛物线与轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用二次函数的性质解答．6．【答案】A【解析】解：设的两根为，由二次函数的图象可知，．设方程的两根为，则，，，．故选A．设的两根为，由二次函数的图象可知，设方程的两根为再根据根与系数的关系即可得出结论．本题考查的是抛物线与轴的交点，熟知抛物线与轴的交点与一元二次方程根的关系是解答此题的关键．7．【答案】C【解析】解：如图，连接并延长交与点，连接，同弧所对的圆周角相等，，是的直径，，，，，，即的余弦值为．故选：C．首先根据圆周角定理，判断出；然后根据是的直径，判断出，在中，用的长度除以的长度，求出的余弦值为多少，进而判断出的余弦值为多少即可．（1）此题主要考查了圆周角定理的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．（2）此题还考查了锐角三角函数值的求法，要熟练掌握．8．【答案】A【解析】解：连接，，．，．．．，．故选：A．连接，根据条件可判断出，即是定值，与的大小无关，所以函数图象是平行于轴的线段．要注意的长度是小于1而大于0的．解决有关动点问题的函数图象类习题时，关键是要根据条件找到所给的两个变量之间的函数关系，尤其是在几何问题中，更要注意基本性质的掌握和灵活运用．9．【答案】【解析】解：原式，故答案为：．原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．此题考查了因式分解-提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键．10．【答案】1或3或8．【解析】解：设．以为顶点的三角形与以为顶点的三角形相似，①当时，，解得．②当时，，解得或，当以为顶点的三角形与以为顶点的三角形相似时，的长为1或3或8，故答案为1或3或8．分两种情形构建方程求解即可．本题考查了相似三角形的判定，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键11．【答案】【解析】解：连接，，分别为的中点，为的中位线，．又在中，，，扇形的面积为：．故答案是：．连接，由垂直于垂直于，利用垂径定理得到分别为的中点，即为三角形的中位线，即可求出的长．利用勾股定理、，且，可以求得该扇形的半径．此题考查了垂径定理，勾股定理，扇形面积的计算以及三角形的中位线定理，熟练掌握定理是解本题的关键．12．【答案】④⑤【解析】解：抛物线开口向下，，抛物线对称轴为直线，，，②错误．抛物线与轴交点在轴上方，，，①错误．由图象可得时，，③错误．由图象可得时，为最大值，，即，④正确．时，，抛物线对称轴为直线，时，，，，，，⑤正确．故答案为：④⑤．由抛物线的开口方向判断的符号，由抛物线与轴的交点判断的符号，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．本题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与轴的交点确定．13．【答案】解：（1）；（2），方程可化为，方程两边同乘，得，解得，检验：当时，，所以不是分式方程的解；当时，，所以是分式方程的解；所以原分式方程的解是．【解析】（1）先根据有理数的乘方、算术平方根、负整数指数幂的运算法则计算，再合并即可；（2）分式方程两边同乘，将分式方程化为整式方程求解即可．本题考查了解分式方程，实数的运算，熟练掌握运算法则以及解分式方程的步骤是解题的关键．14．【答案】（1）证明：平分，，，，，．（2）解：为中点，，，平分，，，，，，，，，．【解析】（1）由平分，可证得，然后由相似三角形的对应边成比例，证得；（2）易证得，然后由相似三角形的对应边成比例，求得的值．此题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．15．【答案】解：（1）抛物线的对称轴为，而两点纵坐标相等，由抛物线的对称性可知，关于直线对称，又与对称轴相距2，与对称轴相距3，两点不可能同时在抛物线上；（2）假设点在抛物线上，则，解得，因为抛物线经过5个点中的三个点，将代入，得出的值分别为，所以抛物线经过的点是，又因为，与矛盾，所以假设不成立．所以不在抛物线上；（3）由题意，抛物线可能经过或者，将两点坐标代入中，得，解得，，在抛物线上．或将两点坐标代入中，得，解得，，在抛物线上．综上所述，或．【解析】（1）由抛物线可知，抛物线对称轴为，而两点纵坐标相等，应该关于直线对称，但与对称轴相距与对称轴相距3，故不可能；（2）假设点在抛物线上，得出矛盾排除点在抛物线上；（3）两点关于对称轴对称，一定在抛物线上，另外一点可能是点或点，分别将或、两点坐标代入求和的值．本题考查了二次函数图象上点的坐标特点．关键是明确图象上点的坐标必须满足函数解析式．16．【答案】解：（1），，又，，，即，解得；（