新人教A版必修一 函数及其表示 学案

2019-2020学年新人教A版必修一函数及其表示学案

1.函数与映射

函数映射

两个集合

设A,8是两个非空数集设A,8是两个非空集合

A,B

如果按照某个对应关系方使对于集如果按某一个确定的对应关系工使

对应关系

合A中的任何一个数羽在集合B中都对于集合A中的每一个元素x,在集

存在唯一确定的数f(X)和它对应合B中都有唯一的元素y与之对应

称KA二旦为从集合A到集合B的一称/：A-8为从集合A到集合8的

名称

个函数一个映射

函数记法函数x^A映射：/：A-8

2.函数的有关概念

(1)函数的定义域、值域

在函数y=/(x),xeA中，尤叫作自变量,x的取值范围A叫作函数的定义域；与尤的值相对

应的y值叫作函数值，函数值的集合｛/(x)I尤八4｝叫作函数的值域.

(2)函数的三要素：定义域、对应关系和值域.

(3)函数的表示法

表示函数的常用方法有解析法、图像法和列表法.

3.分段函数

若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示,这种函

数称为分段函数.

分段函数的定义域等于各段函数的定义域的丑集，其值域等于各段函数的值域的法集，分段

函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.

【知识拓展】

简单函数定义域的类型

(1)/(%)为分式型函数时，定义域为使分母不为零的实数集合；

(2)为偶次根式型函数时，定义域为使被开方式非负的实数的集合；

(3)八x)为对数式时，函数的定义域是真数为正数、底数为正且不为1的实数集合；

(4)若/(x)=x°,则定义域为｛x|尤W0｝；

(5)指数函数的底数大于。且不等于1；

(6)正切函数〉=12!1关的定义域为错误!.

基础自测

题组一思考辨析

1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“或“X”)

(1)对于函数/：A-8,其值域就是集合B.(X)

(2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等.(义)

(3)函数段)的图像与直线x=l最多有一个交点.(J)

(4)若人=11,8={xlx〉0)/：x-y=I用，其对应是从A到8的映射.(X)

(5)分段函数是由两个或几个函数组成的.(X)

题组二教材改编

2.函数/(x)=错误!的定义域是.

答案(一8,1)U(1,4]

3.函数＞=於)的图像如图所示，那么，1x)的定义域是;值域是；其中只有

唯一的x值与之对应的y值的范围是.

答案[-3,0]U[2,3][1,5][1,2)U(4,5]

题组三易错自纠

4.已知函数/(x)=xIxI,若/(xo)=4,则为的值为.

答案2

解析当尤20时，f(x)=x2,f(xo)=4,

即看=4,解得xo=2.

当x〈0时，/(x)=—x2,式乂))=4,

即一*=4,无解，所以须)=2。

5.设/(x)=错误!则/』-2))=.

答案|

解析因为一2＜0,所以1-2)=2-2=：＞0,

所以用(-2))=熠误！=1—错误！=1—错误!=错误！。

6.已知函数/'(的二办3—2x的图像过点(一1,4),贝!|。=o

答案一2

解析由题意知点(一1,4)在函数/(X)=G?—2X的图像上，所以4=—。+2，则。=一2。

题型分类深度剖析

------------------------------------------真题典题深度剖析重点难点多维探究-------------------------------------------

题型一函数的概念.......一自主演练

1.若函数y=f(%)的定义域为M=(xI—2WxW2},值域为N={y|O0W2},则函数y

=/(x)的图像可能是()

答案B

解析A中函数的定义域不是[—2,2],C中图像不表示函数，D中函数值域不是[0,2],故选B.

2.有以下判断：

IXI

◎(尤)=■'与g(x)=错误!表示同一函数;

@y(x)=x2—2x+l与g(。=»—2f+l是同一函数；

③若/(x)=Ix-ll-kI，则遭误！=0。

其中正确判断的序号是.

答案②

解析对于①，由于函数式x)=错误!的定义域为{RxGR且xWO},而函数g(x)=错误!的

定义域是R,所以二者不是同一函数，故①不正确；对于②，穴x)与g(f)的定义域、值域和

对应关系均相同，所以/(x)和g⑺表示同一函数，故②正确；

对于③，由于福误！=错误!一错误！=0,

所以福误！=八0)=1,故③不正确.

综上可知，正确的判断是②.

思维升华函数的值域可由定义域和对应关系唯一确定；判断两个函数的对应关系是否相同，

只要看对于函数定义域中的任意一个相同的自变量的值，按照这两个对应关系算出的函数值

是否相同.

题型二函数的定义域问题

命题点1求函数的定义域

典例(1)函数凡r)=错误!+ln(2尤一/)的定义域为()

A.(2,+8)B.(1,2)

C.(0,2)D.[1,2]

答案B

解析要使函数有意义，则错误！

解得1G<2»

，函数/'(x)=错误!+ln(2x—f)的定义域为(1,2).

(2)若函数y=/(x)的定义域是[0,2018],则函数g(x)=错误!的定义域是()

A.[-1,2017]B.[-1,1)U(l,2017]

C.[0,2018]D.[-1,1)U(l,2018]

答案B

解析使函数式尤+1)有意义，则0Wx+lW2018,解得一1WXW2017,故函数/(x+l)的定义

域为1—1,2017],所以函数g(x)有意义的条件是错误!解得一1WX<1或1<XW2017。故

函数g(x)的定义域为[—1,1)U(1,2017].

引申探究

本例(2)中，若将“函数》=式尤)的定义域为[0,2018]”,改为“函数/(无一1)的定义域

为[0,2018],"则函数g(x)=错误！的定义域为.

答案L2,l)U(1,2016]

解析由函数/(x—1)的定义域为[0,2018].

得函数y=/U)的定义域为[-1,2017],

令错误！

则一2WxW2016且xWl.

所以函数g(x)的定义域为[—2,1)U(l,20161.

命题点2已知函数的定义域求参数范围

典例(1)(2018•衡水联考)若函数y=错误!的定义域为R,则实数机的取值范围是()

Ao错误!B.错误!

Co错误!D.错误！

(2)若函数/(x)=错误！的定义域为{尤门W尤W2},则a+b的值为.

答案(1)D⑵一错误！

解析(1)要使函数的定义域为R,贝心病+4加彳+3#0恒成立，

①当m=0时，显然满足条件；

②当加/0时，由/=(4机)2-4〃ZX3<0,

得0〈机〈错误！，

由①②得0W加〈错误！.

(2)函数人无)的定义域是不等式a^+abx+bNO的解集.不等式cz^+afcv+bX)的解集为

{尤|1WxW2},

所以错误!解得错误！

所以a+b=—错误！一3=一错误！。

思维升华(1)求给定函数的定义域往往转化为解不等式(组)的问题，可借助于数轴，注意端

点值的取舍.

(2)求抽象函数的定义域：①若y=/(x)的定义域为(a,b),则解不等式a〈8(尤)〈6即可

求出y=/(g(x))的定义域;②若(g(x))的定义域为(a,b),则求出g(无)在(a,8)上的值

域即得了(x)的定义域.

(3)已知函数定义域求参数范围，可将问题转化成含参数的不等式，然后求解.

跟踪训练(1)(2017•江西九江七校联考)函数y=错误！的定义域是()

A.(-1,3)B.(-1,30

C.(-1,0)U(0,3)D.(-1,0)U(0,3]

答案D

解析由题意得错误!解得一1<XW3且xWO,

.•.函数的定义域为(一1,O)U(0,3].

(2)已知函数了=/(/—1)的定义域为[一错误！，错误!]，则函数尸八无)的定义域为.

答案[一L2]

解析•.•〉=/(/—1)的定义域为[一错误!,错误!],

[—错误!，错误!],%2—1G[—1,2],

...丫=/'(尤)的定义域为[—1,2].

(3)(2017•杭州模拟)若函数40=寸加/+»«:+1的定义域为一切实数,则实数比的取值范围

是.

答案[0,4]

解析当初=0时，人0的定义域为一切实数；

当机W0时，由错误！得0〈mW4,

综上"的取值范围是[0,4].

题型三求函数解析式......，自主演练

1.若福误！=错误!，则当且时，危)等于()

A.^Bo错误！

C.错误!D.错误！—1

答案B

解析危)=错误！=错误!(尤WO且尤W1).

2.已知/(%)是二次函数且/(0)=2,f(x+1)—/(x)—x—1,则/(无)=o

答案错误!%2—错误!x+2

解析设y(尤)=ax2+b_r+c(aWO),

由f(0)=2,得c=2,

1)-fix)=a(x+l)2+6(x+1)+2—ox2—bx-2=x-1,

即2ax+a+b=x-1,

错误!即错误！.'./(x)=错误!错误!x+2.

3.已知函数式无)的定义域为(0,+°°)，且式x)=2法|误!•错误！一1,则/(x)=.

答案错误!错误!+错误！(x>0)

解析在7(x)="错误!•错误！一1中，

将x换成错误！，则错误!换成x,

得虐误!=4⑸•错误!—1,

由错误!解得/(x)=错误!错误!+错误!.

思维升华函数解析式的求法

(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法；

(2)换元法：已知复合函数/(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；

(3)配凑法：由已知条件Kg(x))=F(x),可将尸(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以尤替

代g(x)，便得五尤)的解析式；

(4)消去法:已知兀0与缗误!或八一尤)之间的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式

组成方程组，通过解方程组求出/G).

题型四分段函数

命题点1求分段函数的函数值

典例已知|x)=错误!且式0)=2,八一1)=3,则欢—3))等于()

A.-2B.2C.3D.-3

答案B

解析由题意得大。)=a°+6=l+6=2,解得6=1；

八-1)=q—i+b=。一〔+1=3,

解得。=错误!.

故)-3)=错误!r+i=9,

从而加(—3))=八9)=log39=2.

命题点2分段函数与方程、不等式问题

典例(1)己知实数aWO,函数/(尤)=错误!若黄1—4)=/(1+。)，则。的值为.

3

答案一a

解析当。>0时，1一。<1,l+a>],

由f(1—a)—f(1+a),

可得2(1—a)+a=—(1+a)—2a,

3

解得a=—,不合题意.

当a<0时，

由八1一a)=y(l+a),可得一(1一a)—2a—2(1+a)+a,

解得a=一错误！，符合题意.

(2)(2017•南京、盐城模拟)已知函数/(x)=错误！则不等式式X)》一1的解集是

答案{x|一44W2}

解析当xWO时，由题意得错误！+1三一1,

解之得一4WxW0.

当x>0时，由题意得一(x—1)2^—1,

解之得0<xW2,

综上/(劝2—1的解集为国一4W尤W2).

思维升华(1)分段函数的求值问题的解题思路

①求函数值：当出现用(。))的形式时，应从内到外依次求值.

②求自变量的值:先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，

切记要代入检验.

(2)分段函数与方程、不等式问题的求解思路

依据不同范围的不同段分类讨论求解，最后将讨论结果并起来.

跟踪训练设函数/(无)=错误!则使人无)=错误!的x的集合为.

答案错误！

解析由题意知，若尤W0,则2工=错误！，解得x=—1；若x>0,则门。82兄=错误！，解得x

=2亍或天=2-5。故尤的集合为错误!.

-----------------■思想方法■-----------------

分类讨论思想在函数中的应用

典例(1)设函数兀v)=错误!则满足了(/(a))=2户。,的a的取值范围是()

A.错误!B.[0,1]

Co错误!D.[1,+8)

(2)(2017・全国III)设函数»=错误!则满足於)十编误！>1的x的取值范围是.

思想方法指导(1)求分段函数的函数值，首先要确定自变量的范围，通过分类讨论求解；

(2)当给出函数值或函数值的取值范围求自变量的值或自变量的取值范围时，应根据每一段解

析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或取值范围是否符合相应段的自变量的值或取

值范围.

解析(1)令加)=t,则财=2,

当f〈1时，3?-1=2,,

令g«)=31—1—2。得g'⑺〉0,

；.g«)〈g(l)=0,1=2,无解.

当时，2=2，成立，由穴.)21可知，

当时，有3a—1N1,错误！，，错误!Wa<l；

当a'l时，有：.a^lo

综上,aN错误!，故选C。

⑵当x>错误！时，>)十齐t误！=2叶2,5>2工>错误！>1;

当0<xW错误！时，/(无)+为t误！=2叶错误！+1=2叶尤+错误！>2*>1；

当xWO时/(%)+法|误!=无+1+错误!+1

=2x+错误！，

.•.由八元)+通误！>1,得2x+错误！>1,即x>一错误！，即一错误！<xW0.

综上,xe错误!.

答案(1)C(2)错误！

课时作业

g基础保分练

1.下列图像可以表示以M={x|04Wl)为定义域，以"={yIOWyWl}为值域的函数的是()

cD

答案C

解析A选项中的值域不对，B选项中的定义域错误，D选项不是函数的图像，由函数的定

义可知选项C正确.

X

2.(2018•郑州调研)函数次无)=ln不行+x错误！的定义域为()

A.(0,+°°)B.(1,+8)

C.(0,1)D.(0,1)U(l,+co)

答案B

解析要使函数八无)有意义，应满足错误!解得尤>1,故函数/(x)=ln错误!+/的定义域

为(1,+8).

3.(2016・全国II)下列函数中,其定义域和值域分别与函数>=10^的定义域和值域相同的是0

A.y—xB.y—lgxC.y—2xD.y=错误！

答案D

解析函数y=10igx的定义域为{小>0},值域为{y|y>0},所以与其定义域和值域分别相同的

函数为y=错误!，故选D.

4.(2017•湖南衡阳八中一模)已知危尸错误!则福误!等于()

A.-2B.-3C.9D.-9

答案C

解析：遭误!=log3错误!=—2,

.•.偌误！=/(—2)=错误「2=9。

5.己知编误!=错误！+错误！，则/(x)等于()

A.(X+1)2(XT^1)B.(x-1)2(XTM)

C.x2—x+l(xWl)D.f+尤+l(x#l)

答案C

解析.滞误！=错误!+错误！=错误!2—错误！+1,令错误!=改/1),则=?-/+1,

即危)=X2—x+1

6o如图，△AO。是一直角边长为1的等腰直角三角形，平面图形08。是四分之一圆的扇形,

点尸在线段A8上，PQLA氏且尸。交4。或交弧DB于点。，设AP=x(0<x<2),图中阴影

部分表示的平面图形APQ(或AP。。)的面积为y,则函数y=/(x)的大致图像是()

A0PB

答案A

解析观察可知阴影部分的面积y的变化情况为：(1)当0<xWl时，y随x的增大而增大，

而且增加的速度越来越快.(2)当1〈X〈2时，y随x的增大而增大，而且增加的速度越来

越慢.分析四个答案中的图像，只有选项A符合条件，故选A。

7.设於)=错误!且通误!=6,则/(/(—2))的值为()

A.27B.243

Co错误!D。错误！

答案B

解析,缱误!=3流0—1)5=6,二/=5,

•'•fix)=错误！

."(—2)=log2[(-2)2+5]=log29)0,

10g2921og29log292

A/(-2))=/(log29)=3X4=3X2=3X2=3X81=243=故选B。

8.已知/(%)=错误！的值域为R,那么a的取值范围是()

A.(―8,—1]B.错误！

Co错误!D。错误！

答案C

解析要使函数/(x)的值域为R,

需使错误！

.•.错误！.•.一IWaV错误!.

即。的取值范围是错误！。

9.已知八错误！+1)=尤+2错误!，则/(劝=o

答案%2—1(x^l)

解析令错误!+l=f,则x=Q-G>l),代入原式得/G)=(/-1)2+2G—1)=产

-1,

所以式尤)=/一1(无21).

10.已知函数/(%)的图像如图所示,则函数g(x)=logFf(x)的定义域是

答案(2,8]

解析要使函数有意义，需人尤)〉0,由/(%)的图像可知，当xe(2,8]时，/(尤)>0„

11.已知函数尤)=错误!则满足不等式八1一%2)〉八2无)的尤的取值范围是.

答案(―1,错误！—1)

解析由题意得错误!或错误！

解得一l<x<0或OWx〈错误!一1,

所求尤的取值范围为(―1,错误!-1).

12.(2018届全国名校第一次联考)定义新运算”当机》〃时,〃2尢7=见当机〈"时，777

=〃2.设函数/(x)=(2^x)x—(4*r),[1,4],则函数*x)的值域为.

答案[—2,0]U(4,60]

解析由题意知；/(x)=错误！

当问1,2]时/)