高中数学-正余弦定理的应用举例教学设计学情分析教材分析课后反思

高二数学学案

1.2正、余弦定理应用举例

学习目标：

1.运用正弦定理、余弦定理等知识解决一些与测量和几何计算有关的实际问

题.

2.通过对实际问题的探索，会利用数学建模思想把实际问题转化为数学问题，

增强解决实际问题的能力，培养数学应用意识.

学习重点、难点：

1.重点是如何将实际问题转化数学问题，并利用解斜三角形的方法予以解决.

2.分析、探究并确定将实际问题转化为数学问题的思路是难点和关键.

情境引入：

碧波万顷的大海上，“蓝天号”渔轮在4处进行海上作业，“白云号”货轮

在“蓝天号”正南方向距“蓝天号”20nmile的3处.现在“白云号”以10nmile/h

的速度向正北方向行驶，而“蓝天号”同时以8nmile/h的速度由A处向南偏西

60°方向行驶，经过多少小时后，“蓝天号”和“白云号”两船相距最近？本节

将用正、余弦定理解决此类问题.

设计意图：通过实际问题，引出问题的同时，提高学生学习的兴趣

基础知识准备：

1.测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题这实

际上是已知三角形两个角和一条边解三角形的问题，用

可解决问题.

2.测量两个不可到达的点之间的距离问题

首先把求不可到达的两点A、B之间的距离转化为应用

求三角形的边长问题，然后把未知的BC和AC的问题转化为测量可到

达的一点与不可到达的一点之间的距离问题.

D

3.测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，这类问题不能

直接用解三角形的方法解决，但常用和，计算出建筑物顶

部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三

角形的问题.

C

4.目标方向线（视线）与水平线的夹角中，当目标（视线）在水

平线上方时，称为，在水平线下方时，称为，

如图.

北

5.方位角

从指北方向时针转到

目标方向的水平角.如图（1）所示.西

6.方向角

相对于某一正方向（东、西、南、

北）的水平角.

①北偏东,即由指北方向顺

时针旋转到达目标方向，如图（2）所示.

②北偏西,即是由指北方向逆时针旋转。°到达目标方向.

其他方向角类似.

7.坡角与坡度：坡面与的夹角叫坡角，坡面的与

的比叫做坡度（或坡比）

设计意图：学生回顾旧知，为新知的学习做好准备

课前自测:

1.如图所示，为了测量隧道口A3的长度，给定下列四组数据，测量时应当用

数据（）

A.a,a,b

a

C.a,b,Y

b

2.在相距2km的4、8两点处测量目标点C,若NCA5=75°,

ZCBA=60°,则A、。两点之间的距离为km.

3.如图，为了计算荷泽新区龙湖岸边两景点B与C的距离，

由于地形的限制，需要在岸上选取A和O两个测量点，测得

4OJ_CQ,AO=5km,AB=7km,/BQA=60°，/BCD=135：

求两景点8与。的距离.（假设A、B、C、。在同一平面内）

A

4.如图，在平地上有一点A,测得一塔尖。的仰角为45°,向前行

进。m到3处，又测得塔尖C的仰角为60・，则塔岛是

m（）

A.-2~aB.-2-a

C.（3+的oD.（3+小）a

5.河堤横断面如图所示，堤高5c=5m,迎水坡的坡比是

小：3,则斜坡的坡角a等于,斜坡AB的长度是

设计意图：复习巩固知识的同时，收集掌握学情，为新知识的顺利学

习做铺垫

典型例题:

解斜三角形的实际应用题的典型问题

⑴测量距离问题

例、要测量河对岸两地、之间的距离，在岸边选

143AB

取相距10（八「m的C、D两点,并测得NACB=75。，Z

fiCD=45°,ZADC=30°fZADB=45°（A.B、C、O在

同一平面内），求A、8两地的距离.

设计意图：共同分析,再由学生完成,投影答案，

规范解题步骤CD

类型归纳:

背景可测元素图形目标及解法

求A5AB=

两点均可到达。、b、a、/B

求A3

(1)测量从a,B

只有一点可到达b、a、B

限

(2)43=______

AbC

背景可测元素图形目标及解法

求AB

(l)AACD中用

_________求4c

两点都不可到

Q、£、丫、8("△BCD中用

达

_________求BC

(3)AABC中用

_________求A3

设计意图：梳理具体题型，便于下一步学生知识的应用,利于学生形

成清晰的知识网络

⑵测量高度问题

例2、如图所示，地平面上有一旗杆OP,为了测得它的高

度儿在地平面上取一基线AB,AB=20m,在A处测得P

点的仰角NO4P=30°,在5处测得P点的仰角NOBP=

45°,又得NAOB=60°,求旗杆的高九

设计意图：共同分析，再次由学生完成，投影答案，

4…・•…/J。

规范解题步骤，加深印象

B

跟踪训练：

D

（2015・湖北理，13）如图，一辆汽车在一条水平的公路

上向正西行驶，到4处时测得公路北侧一山顶。在西

偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此

山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°,则此山的

高度CD=_______m.

设计意图：

学生自己完成，展示解题思路，教师指导点拨，检验学生知识掌握情

况

类型归纳:

背景可测元素图形目标及解法

求AB

底部可到达。、a

AB=_____

1r>

Ca

求AB

(1)在△ACO中用正弦:

A理求/W

底部不可到达a、a、B

(2)AB=

一〈8________

c30B

设计意图：梳理具体题型，便于下一步学生知识的应用，利于学生形

成清晰的知识网络

⑶测量角度问题

在海岸A处，发现北偏东45。方向，距A处(小一1)nmile

的8处有一艘走私船，在A处北偏西75。的方向，距离A处2

nmile的。处的缉私船奉命以l()^3nmile/h的速度追截走私

船.此时，走私船正以1()nmile/h的速度从B处向北偏东30°

方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？

设计意图：

先由学生分析思路，教师收集学情，并进行适当提示和帮助，再由学

生完成

方法总结：

利用数学建模的思想结合三角形有关知识解应用题的步骤：

设计意图：

师生共同总结方法，形成结论，加深理解，便于学生知识的灵活运用

回扣检测:

1.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶，到A处时,

测量公路南侧远处一山顶O在东南15°的方向上，行驶5km后到

达8处，测得此山顶在东偏南30°的方向上，仰角为15°,则此

山的局度CD等于km()

A.5(2—B.5(2+而

C.5(2^/2)D.5(2+啦)

2、如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A、

B,望对岸的标记物C,测得/C4B=45°,NCBA=

75°,AB=120m,求河的宽度.

3、已知A船在灯塔C北偏东80°处，距离灯塔C2km,

B船在灯塔。北偏西40°,4、B两船的距离为3km,

求8到C的距离.

设计意图：检查学生本节课知识掌握情况，为下

一步的学习做好准备

课后作业：

作业1.某地电信局信号转播塔建在一山坡上，如图所示，施

工人员欲在山坡上A、8两点处测量与地面垂直的塔CO的高,

由A、B两地测得塔顶C的仰角分别为60°和45°,又知4B

的长为40m,斜坡与水平面成30°角，则该转播塔的高度是

________m.

作业2.某观测站C在城A的南偏西20°的方向，由城A出

发的一条公路，走向是南偏东40。，在C处测得公路上3处

有一人，距C为31km,正沿公路向A城走去，走了20km后

到达。处，此时CO间的距离为21km,问：这人还要走多少

km才能到达A城？

设计意图：查缺补漏，对所需知识再次练习巩固，并进一步收集学情

学情分析

知识方面：

本节课学习之前，学生已经完成了正弦定理和余弦定理学习，具备了一定解

三角形的知识，通过课前自测的检查也确定了学生可以进一步深入学习的形状

能力方面：

学生经过高一一年的学习，已经有了必要的数学知识储备和一定的数学思维

能力，作为高二年级学生也具备一定的生活经验

效果分析

成功之处：一是以学生为主体，教师引导学生学习并帮助他们完成知识结构

体系的建构；二是多媒体课件的内容丰富而又简洁，增加了课堂容量，保证了学

习任务的完成；三是教授过程符合学生认知规律，既有知识的学习又有题型方法

的总结，利于学生知识的掌握和应用

不足之处：各题型题量较少，改用题组的形式，可加深学生印象，便于知识

的巩固理解；给学生留下的思考时间不足，影响学生对知识的理解吸收，课堂气

氛不够活跃，引录课的原因学生有些紧张，对课堂效果有所影响

教材分析

本节课是人教B版必修5第一章解三角形中1.2的应用举例中的学习内容,

在本节课前，学生已经学习了正弦定理、余弦定理的公式和基本应用。本节课的

设计，意在复习前面所学定理的同时，加深对其的了解，从而达到在实际问题中

熟练应用的效果。并使学生进一步体会数学在实际中的应用，激发学生学习数学

的兴趣，培养学生有实际问题抽象出数学问题并加以解决的能力。

评测练习

1.在高200米的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30、60*则塔高为（）

八竺£米B.竺迪米C.史迪米D.理米

3333

2.某人向正东走x千米后，他向右转150”,然后朝新方向走3千米。结果他离出发点恰好G

千米，那么x的值为（）

A.&B.2后C.6或2道D.3

3.一树干被台风吹断，折断部分与残存树干成30“角，树干底部与树尖着地处相距5米,

则树干原来的高度为.

4.甲、乙两楼相距60米，从乙楼底望甲楼顶仰角为45c.从甲楼顶望乙楼底成俯角30°.则甲、

乙两楼的高度分别为.

5.海上有AB两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60,角的视角，从B岛望C岛

和A岛成75c的视角，那么B岛和c岛间的