2025届浙江省宁波市东恩中学八年级数学第一学期期末统考试题含解析

2025届浙江省宁波市东恩中学八年级数学第一学期期末统考试题题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题(每小题3分,共30分)1．某超市销售A，B，C，D四种矿泉水，它们的单价依次是5元、3元、2元、1元．某天的销售情况如图所示，则这天销售的矿泉水的平均单价是（）A．1.95元 B．2.15元 C．2.25元 D．2.75元2．一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB//CF，∠F=∠ACB=90°，则∠DBC的度数为()A．10° B．15° C．18° D．30°3．如果把分式中的和都扩大了3倍，那么分式的值（）A．扩大3倍 B．不变 C．缩小3倍 D．缩小6倍4．某校八（2）班6名女同学的体重（单位：kg）分别为35，36，38，40，42，42，则这组数据的中位数是（）A．38 B．39 C．40 D．425．如果多项式的一个因式是，那么另一个因式是（）A． B． C． D．6．如图钢架中，∠A=a，焊上等长的钢条P1P2，P2P3，P3P4，P4P5来加固钢架，若P1A=P1P2，∠P5P4B=95°，则a等于（）A．18° B．23.75° C．19° D．22.5°7．一次函数的图象如图所示，则一次函数的图象与的图象的交点不可能在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限8．下列代数式能作为二次根式被开方数的是（）A．3﹣π B．a C．a2+1 D．2x+49．如图，边长为24的等边三角形ABC中，M是高CH所在直线上的一个动点，连结MB，将线段BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连结HN．则在点M运动过程中，线段HN长度的最小值是（）A．12 B．6 C．3 D．110．如图所示，在中，，D为的中点，过点D分别向，作垂直线段、，则能直接判定的理由是（）A． B． C． D．二、填空题(每小题3分,共24分)11．3.145精确到百分位的近似数是____．12．_______13．因式分解：_________.14．若函数为常数)与函数为常数)的图像的交点坐标是(2,1)，则关于、的二元一次方程组的解是________.15．如图，在中，，，边的垂直平分线交，于，，则的周长为__________．16．现有两根长为4cm，9cm的小木棒，打算拼一个等腰三角形，则应取的第三根小木棒的长是_____cm．17．已知，，则__________．18．在平面直角坐标系中,A(1,0),B(0,2),C(-4,2),若以A,B,C,D为顶点的四边形是平行四边形,则点D的坐标为________________．三、解答题(共66分)19．（10分）在中，，，在内有一点，连接，，且．（1）如图1，求出的大小(用含的式子表示)（2）如图2，，，判断的形状并加以证明．20．（6分）计算及解方程组:（1）；（2）；（3）解方程组:．21．（6分）阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，在中，平分，．求证：小明通过思考发现，可以通过“截长、补短”两种方法解决问题：方法1：如图2，在上截取，使得，连接，可以得到全等三角形，进而解决问题方法二：如图3，延长到点，使得，连接，可以得到等腰三角形，进而解决问题（1）根据阅读材料，任选一种方法证明（2）根据自己的解题经验或参考小明的方法，解决下面的问题：如图4，四边形中，是上一点，，，，探究、、之间的数量关系，并证明22．（8分）如图，在中，，，平分，延长至，使，连接．求证：≌23．（8分）一列火车从车站开出，预计行程450千米．当它开出3小时后，因特殊任务多停一站，耽误30分钟，后来把速度提高了0.2倍，结果准时到达目的地．求这列火车的速度．24．（8分）如图，在中，，，平分，延长至，使．（1）求证：；（2）连接，试判断的形状，并说明理由．25．（10分）小明在学习三角形知识时，发现如下三个有趣的结论：在Rt△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，M为直线AC上一点，ME⊥BC，垂足为E，∠AME的平分线交直线AB于点F．（1）如图①，M为边AC上一点，则BD、MF的位置关系是

；如图②，M为边AC反向延长线上一点，则BD、MF的位置关系是

；如图③，M为边AC延长线上一点，则BD、MF的位置关系是

；（2）请就图①、图②、或图③中的一种情况，给出证明.26．（10分）已知，如图，△ABC为等边三角形，AE=CD，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于Q.（1）求证：BE=AD（2）求的度数；（3）若PQ=3，PE=1，求AD的长．

参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、C【分析】根据加权平均数的定义列式计算可得．【详解】解：这天销售的矿泉水的平均单价是（元），故选C．【点睛】本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义．2、B【分析】直接利用三角板的特点，结合平行线的性质得出∠ABD=45°，进而得出答案．【详解】由题意可得：∠EDF=45°，∠ABC=30°，∵AB∥CF，∴∠ABD=∠EDF=45°，∴∠DBC=45°﹣30°=15°．故选B.【点睛】本题考查的是平行线的性质，熟练掌握这一点是解题的关键.3、C【分析】将分子与分母中未知数分别乘以3，进而化简即可．【详解】，故分式的值缩小3倍．故选：C．【点睛】本题考查了分式的性质，将未知数扩大3倍后再化简分式是解题关键．4、B【解析】根据中位数的定义求解，把数据按大小排列，第3、4个数的平均数为中位数．【详解】解：由于共有6个数据，

所以中位数为第3、4个数的平均数，即中位数为=39，

故选：B．【点睛】本题主要考查了中位数．要明确定义：将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，若这组数据的个数是奇数，则最中间的那个数叫做这组数据的中位数；若这组数据的个数是偶数，则最中间两个数的平均数是这组数据的中位数．5、A【分析】多项式先提取公因式，提取公因式后剩下的因式即为所求．【详解】解：，故另一个因式为，故选：A．【点睛】此题考查了因式分解提取因式法，找出多项式的公因式是解本题的关键．也是解本题的难点，要注意符号．6、C【分析】已知∠A=，根据等腰三角形等边对等角的性质以及三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角和求出∠P5P4B=5，且∠P5P4B=95°，即可求解．【详解】∵P1A=P1P2=P2P3=P3P4=P4P5∴∠A=∠AP2P1=∴∵∠P5P4B=∴故选：C【点睛】本题考查了等腰三角形等边对等角的性质以及三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角和．7、D【分析】根据一次函数y1=x+4的图象经过的象限进行判定即可．【详解】解：由图可知，一次函数y1=x+4的图象经过第一、二、三象限，

根据交点一定在函数图象上，两函数的图象的交点不可能在第四象限．

故选：D．【点睛】本题考查了两直线的交点问题，确定出一次函数y1=x+4的图象经过的象限是解题的关键．8、C【分析】直接利用二次根式的定义分别分析得出答案．【详解】解：A、3﹣π＜0，则3﹣a不能作为二次根式被开方数，故此选项错误；B、a的符号不能确定，则a不能作为二次根式被开方数，故此选项错误；C、a2+1一定大于0，能作为二次根式被开方数，故此选项错正确；D、2x+4的符号不能确定，则a不能作为二次根式被开方数，故此选项错误；故选C．【点睛】此题主要考查了二次根式的定义，正确把握二次根式的定义是解题关键．9、B【分析】取CB的中点G，连接MG，根据等边三角形的性质可得BD＝BG，再求出∠HBN＝∠MBG，根据旋转的性质可得MB＝NB，然后利用“边角边”证明△MBG≌△NBH，再根据全等三角形对应边相等可得HN＝MG，然后根据垂线段最短可得MG⊥CH时最短，再根据∠BCH＝30°求解即可．【详解】如图，取BC的中点G，连接MG，∵旋转角为60°，∴∠MBH+∠HBN＝60°，又∵∠MBH+∠MBC＝∠ABC＝60°，∴∠HBN＝∠GBM，∵CH是等边△ABC的对称轴，∴HB＝AB，∴HB＝BG，又∵MB旋转到BN，∴BM＝BN，在△MBG和△NBH中，，∴△MBG≌△NBH（SAS），∴MG＝NH，根据垂线段最短，当MG⊥CH时，MG最短，即HN最短，此时∠BCH＝×60°＝30°，CG＝AB＝×24＝12，∴MG＝CG＝×12＝6，∴HN＝6，故选B．【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短的性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．10、D【分析】根据AAS证明△BDE≌△CDF即可．【详解】解：∵D为BC中点，

∴BD=CD，

∵由点D分别向AB、AC作垂线段DE、DF，

∴∠DEB=∠DFC=90°，

在△BDE与△CDF中，∴△BDE≌△CDF（AAS）

故选：D．【点睛】本题考查了全等三角形的判定；判定方法有ASA、AAS、SAS、SSS等，在选择时要结合其它已知在图形上的位置进行选取．二、填空题(每小题3分,共24分)11、3.1.【分析】根据近似数的精确度求解．3.145精确到百分位就是精确到数字4这一位，后一位数字5四舍五入即可.【详解】解：3.145≈3.1（精确到百分位）．

故答案为3.1．【点睛】本题考查了近似数和有效数字：近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法；从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字．12、【分析】根据幂的运算法则即可求解．【详解】故答案为：．【点睛】此题主要考查幂的运算，解题的关键是熟知幂的运算法则．13、【分析】利用提取公因式a和完全平方公式进行因式分解．【详解】【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，正确应用完全平方公式是解题关键．14、【解析】根据函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解即可解答.【详解】解：因为函数y=x-a(a为常数)与函数y=-2x+b(b为常数)的图像的交点坐标是(2,1)，所以方程组的解为.故答案为​.【点睛】本题考查一次函数与二元一次方程（组）：满足函数解析式的点就在函数的图象上，在函数的图象上的点，就一定满足函数解析式．函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．15、12【分析】先根据线段垂直平分线的性质可得，通过观察图形可知周长等于，再根据已知条件代入数据计算即可得解．【详解】∵是的垂直平分线∴∵，∴的周长故答案是：【点睛】本题涉及到的知识点主要是线段垂直平分线的性质，能够灵活运用知识点将求三角形周长的问题进行转化是解题的关键．16、1【分析】题目给出两条小棒长为4cm和1cm打算拼一个等腰三角形，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．【详解】解：当第三根是4cm时，其三边分别为4cm，4cm，1cm，不符合三角形三边关系，故舍去；当第三根是1cm时，其三边分别是1cm，1cm，4cm，符合三角形三边关系；∴第三根长1cm．故答案为：1．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．17、【分析】利用平方差公式对变形为，即可求解．【详解】∵，，∴．故答案为：．【点睛】本题主要考查了平方差公式的应用，解题的关键是牢记公式的结构特征和形式．18、(-3,0)或(5,0)或(-5,4)【解析】根据题意画出符合条件的三种情况，根据图形结合平行四边形的性质、A、B、C的坐标求出即可．【详解】解：

如图有三种情况：①平行四边形AD1CB，

∵A（1，0），B（

0，2），C（-4，2），

∴AD1=BC=4，OD1=3，

则D的坐标是（-3，0）；

②平行四边形AD2BC，

∵A（1，0），B（

0，2），C（-4，2），

∴AD2=BC=4，OD2=1+4=5，

则D的坐标是（5，0）；

③平行四边形ACD3B，

∵A（1，0），B（

0，2），C（-4，2），

∴D3的纵坐标是2+2=4，横坐标是-（4+1）=-5，

则D的坐标是（-5，4），

故答案为（-3，0）或（5，0）或（-5，4）．【点睛】本题考查了坐标与图形性质，平行四边形的性质等知识点，解题的关键是掌握①数形结合思想的运用，②分类讨论方法的运用．三、解答题(共66分)19、（1）；（2）是等边三角形．证明见解析．【分析】（1）由等腰三角形的性质，得到∠ABC=，由，即可求出；（2）连接，，则为等边三角形，然后得到，得到，，从而得到，则，即可得到为等边三角形.【详解】解：（1），，，∴，，，，∴；（2）是等边三角形．理由如下：连接，，，为等边三角形在与中，，，，，在和中，，是等边三角形.【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，以及三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确找到边的关系和角的关系，从而进行证明.20、（1）；（2）；（3）【分析】（1）根据二次根式的混合运算法则进行计算；（2）先算括号里的，再算除法，最后算减法；（3）利用加减消元法解得即可.【详解】解：（1）原式==；（2）原式===；（3），①×2-②×5得：-7y=7，解得y=-1，代入②，解得x=2，∴方程组的解为.【点睛】本题考查了二次根式的混合运算和解二元一次方程组，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序，以及方程组解法的选择.21、（1）证明见解析；（2），证明见解析【分析】（1）方法一，在上截取，使得，连接，用SAS定理证明，然后得到，，从而得到，然后利用等角对等边求证，使问题得解；方法二，延长到点，使得，连接，利用三角形外角的性质得到∠ABC=2∠E，从而得到∠E=∠C，利用AAS定理证明△AED≌△ACD，从而求解；（2）在上截取，使得，连接，利用三角形外角的性质求得，从而得到，利用SAS定理证明，然后利用全等三角形的性质求解．【详解】解：（1）方法一：如图2，在上截取，使得，连接，∵平分，∴又∵，∴∴，∵∴∴∴∴方法二：如图3，延长到点，使得，连接，∵平分，∴∵∴∠ABC=2∠E又∵∴∠E=∠C∵AD=AD∴△AED≌△ACD∴AC=AE=AB+BE=AB+BD（2）在上截取，使得，连接∵∴∴∵∴∴∵∴∴∴∴,∵∴∴∴∴．【点睛】本题考查三角形综合题、三角形内角和定理、三角形外角的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．22、见解析【分析】根据已知条件可得AE=2AC，然后根据30°所对的直角边是斜边的一半可得AB=2AC，从而得出AB=AE，然后根据角平分线的定义可得∠BAD=∠EAD，最后利用SAS即可证出结论．【详解】证明：∵∴AE=CE＋AC=2AC在Rt△ABC中，，∴AB=2AC∴AB=AE∵平分，∴∠BAD=∠EAD在和中∴≌（SAS）【点睛】此题考查的是全等三角形的判定和直角三角形的性质，掌握利用SAS判定两个三角形全等和30°所对的直角边是斜边的一半是解决此题的关键．23、这列火车原来的速度为每小时2千米【分析】如果设这列火车原来的速度为每小时x千米，那么提速后的速度为每小时（x+0.2x）千米，根据等量关系：按原速度行驶所用时间-提速后时间=，列出方程，求解即可．【详解】设这列火车原来的速度为每小时x千米．由题意得：-=．整理得：12x=1．解得：x=2．经检验：x=2是原方程的解．答：这列火车原来的速度为每小时2千米．【点睛】列分式方程解应用题与所有列方程解应用题一样，重点在于准确地找出相等关系，这是列方程的依据．而难点则在于对题目已知条件的分析，也就是审题，一般来说应用题中的条件有两种，一种是显性的，直接在题目中明确给出，而另一种是隐性的，是以题目的隐含条件给出．如本题：车速提高了0.2倍，是一种隐含条件．24、（1）见解析；（2）等边三角形，理由见解析．【分析】（1）由直角三角形的性质和角平分线得出∠DAB=∠ABC，得出DA=DB，再由线段垂直平分线的性质得出DE=DA，即可得出结论；（2）由线段垂直平分线的性质得出BA=BE，再由∠CAB=60°，即可得出△ABE是等边三角形．【详解】解：（1）证明：∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，∴BC⊥AE，∠CAB=60°，∵AD平分∠CAB，∴∠DAB=∠CAB=30°=∠ABC，∴DA=DB，∵CE=AC，∴BC是线段AE的垂直平分线，∴DE=DA，∴DE=DB；（2）△ABE是等边三角形；理由如下：∵BC是线段AE的垂直平分线，∴BA=BE，即△ABE是等腰三角形，又∵∠CAB=60°，∴△ABE是等边三角形．【点睛】本题考查了等边三角形的判定方法、线段垂直平分线的性质、