安徽省长丰县高中数学 第三章 导数及其应用 3.3 导数在研究函数中的应用 3.3.3 函数的最大（小）值与导数教案 新人教A版选修1-1

安徽省长丰县高中数学第三章导数及其应用3.3导数在研究函数中的应用3.3.3函数的最大（小）值与导数教案新人教A版选修1-1学校授课教师课时授课班级授课地点教具教学内容分析本节课的主要教学内容是函数的最大（小）值与导数。这部分内容位于安徽省长丰县高中数学第三章导数及其应用3.3导数在研究函数中的应用3.3.3函数的最大（小）值与导数教案新人教A版选修1-1。教学内容与学生已有知识的联系主要体现在以下几个方面：

1.知识基础：学生在之前的学习中已经掌握了导数的定义、计算规则和基本应用，这为本节课的学习提供了必要的基础知识。

2.思维能力：本节课需要学生运用已有的导数知识解决函数的最大（小）值问题，这对学生的逻辑思维和解决问题的能力有一定的要求。

3.实际应用：本节课的内容与实际生活中的问题紧密相连，如最优化问题、经济问题等，这有助于培养学生的实际问题解决能力。核心素养目标分析本节课的核心素养目标主要体现在以下几个方面：

1.逻辑推理：学生需要通过导数的基本性质和规则，推理出函数在某一点取得最大（小）值的充分必要条件，培养学生的逻辑推理能力。

2.数学建模：学生在解决实际问题时，需要建立数学模型，用导数来刻画函数的最大（小）值问题，从而培养学生的数学建模能力。

3.直观想象：通过图形和实际例子，学生需要能够直观地理解和想象导数在研究函数最大（小）值中的应用，培养学生的直观想象能力。

4.数学运算：学生需要运用导数的运算规则，计算函数的导数，并求解函数的最大（小）值，培养学生的数学运算能力。

5.数据分析：学生需要通过数据分析，判断函数在某一点取得最大（小）值的概率和条件，培养学生的数据分析能力。

6.问题解决：学生需要运用已有的导数知识，解决实际问题中的最大（小）值问题，培养学生的数学问题解决能力。教学难点与重点1.教学重点：

本节课的核心内容是函数的最大（小）值与导数的关系。具体重点包括以下几点：

（1）理解导数在某一点取得最大（小）值的充分必要条件：导数为0且导数在该点的左侧为正，右侧为负（或反之）。

（2）掌握利用导数求函数在某一点取得最大（小）值的步骤：求导数、判断导数的正负、求解导数为0的点、验证极值点。

（3）了解实际问题中如何运用导数求最大（小）值：建立数学模型、求导数、求解极值点、比较极值点与边界点的函数值。

2.教学难点：

本节课的难点主要体现在以下几个方面：

（1）导数在某一点取得最大（小）值的判断：学生容易混淆导数为0是充分条件还是必要条件，以及导数在该点的左侧为正，右侧为负（或反之）的判断。

（2）实际问题中建立数学模型：学生往往不知道如何将实际问题转化为数学问题，以及如何用导数来刻画函数的最大（小）值问题。

（3）求解导数为0的点：学生可能不熟悉求解方程的方法，尤其是在高次方程和无理方程的情况下。

（4）验证极值点：学生可能不知道如何判断极值点的性质，即是否为最大（小）值。

针对以上重点和难点，教师在教学过程中应采取有针对性的讲解和强调，例如通过举例、图形演示、实际问题等方式，帮助学生理解和掌握导数在研究函数最大（小）值中的应用。同时，教师还应关注学生的学习情况，针对学生的薄弱环节进行重点辅导，以提高学生的学习效果。教学资源准备1.教材：确保每位学生都有《安徽省长丰县高中数学第三章导数及其应用3.3导数在研究函数中的应用3.3.3函数的最大（小）值与导数教案新人教A版选修1-1》的教材或学习资料，以便学生能够跟随教学进度进行学习和复习。

2.辅助材料：为了帮助学生更好地理解和掌握函数的最大（小）值与导数的关系，准备与教学内容相关的图片、图表、视频等多媒体资源。例如，可以准备一些函数图像的图片，展示函数在某一区间内的变化情况，以及导数为0的点的位置。还可以准备一些实际问题的视频，展示导数在解决实际问题中的应用。

3.实验器材：如果本节课涉及实验，需要提前准备实验器材，并确保其完整性和安全性。例如，如果需要进行函数图像的绘制实验，需要准备计算机、投影仪等设备，以及绘图软件和绘图工具。

4.教室布置：根据教学需要，对教室进行布置。如果需要进行分组讨论，可以将教室布置成分组讨论区，提供足够的空间和座位给学生进行讨论和交流。如果需要进行实验操作，可以将教室布置成实验操作台，提供足够的实验操作空间和实验器材。

此外，还需要准备一些教学工具和设备，如黑板、粉笔、多媒体播放设备等，以确保教学过程的顺利进行。同时，还需要准备一些教学资源，如教案、PPT课件、练习题等，以便教师在教学过程中进行讲解和指导，以及学生进行学习和复习。教学过程设计1.导入新课（5分钟）

目标：引起学生对导数及其应用的兴趣，激发其探索欲望。

过程：

开场提问：“你们知道导数是什么吗？它在研究函数中的应用有哪些？”

展示一些关于导数在实际问题中的应用的图片或视频片段，让学生初步感受导数的重要性。

简短介绍导数的基本概念和重要性，为接下来的学习打下基础。

2.导数基础知识讲解（10分钟）

目标：让学生了解导数的定义和计算方法。

过程：

讲解导数的定义，包括其主要组成元素和计算规则。

详细介绍导数的计算方法和常见规则，使用图表或示意图帮助学生理解。

3.导数在研究函数中的应用案例分析（20分钟）

目标：通过具体案例，让学生深入了解导数在研究函数中的应用。

过程：

选择几个典型的函数案例进行分析。

详细介绍每个案例的背景、特点和意义，让学生全面了解导数在研究函数中的应用。

引导学生思考这些案例对实际问题解决的影响，以及如何应用导数解决实际问题。

4.学生小组讨论（10分钟）

目标：培养学生的合作能力和解决问题的能力。

过程：

将学生分成若干小组，每组选择一个与导数在研究函数中的应用相关的主题进行深入讨论。

小组内讨论该主题的现状、挑战以及可能的解决方案。

每组选出一名代表，准备向全班展示讨论成果。

5.课堂展示与点评（15分钟）

目标：锻炼学生的表达能力，同时加深全班对导数及其应用的认识和理解。

过程：

各组代表依次上台展示讨论成果，包括主题的现状、挑战及解决方案。

其他学生和教师对展示内容进行提问和点评，促进互动交流。

教师总结各组的亮点和不足，并提出进一步的建议和改进方向。

6.课堂小结（5分钟）

目标：回顾本节课的主要内容，强调导数及其应用的重要性和意义。

过程：

简要回顾本节课的学习内容，包括导数的定义、计算方法和应用案例等。

强调导数在解决实际问题中的价值和作用，鼓励学生进一步探索和应用导数。

布置课后作业：让学生撰写一篇关于导数在研究函数中的应用的短文或报告，以巩固学习效果。知识点梳理1.导数的定义

-导数的概念：导数是函数在某一点处的瞬时变化率，也可以理解为函数图像上的切线斜率。

-导数的计算规则：常用函数的导数公式，如幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等的导数。

2.导数的计算方法

-导数的计算方法：极限法、导数的基本公式、导数的运算法则等。

-极限法：利用极限的概念求函数在某一点处的导数。

-导数的基本公式：求幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等的导数。

-导数的运算法则：求复合函数、分段函数等的导数。

3.导数在研究函数中的应用

-函数的单调性：利用导数判断函数的单调增减。

-函数的极值：利用导数判断函数的极值点及其性质。

-函数的最大（小）值：利用导数求函数在某一点取得最大（小）值的步骤。

-实际问题中的应用：利用导数解决实际问题，如最优化问题、经济问题等。

4.函数的单调性

-单调增函数：函数导数大于0的区间内，函数值逐渐增大。

-单调减函数：函数导数小于0的区间内，函数值逐渐减小。

-单调性的判断：利用导数的正负判断函数的单调性。

5.函数的极值

-极值点的定义：函数在某一点取得极大值或极小值。

-极值点的判断：利用导数为0的点判断极值点。

-极值点的性质：判断极值点的单调性，即导数在该点的左侧为正，右侧为负（或反之）。

6.函数的最大（小）值

-最大（小）值的定义：函数在某一点取得最大值或最小值。

-求解最大（小）值的步骤：求导数、判断导数的正负、求解导数为0的点、验证极值点。

-实际问题中的应用：建立数学模型、求导数、求解极值点、比较极值点与边界点的函数值。

7.实际问题中的导数应用

-最优化问题：利用导数求解最大（小）值问题，如成本最小化、收益最大化等。

-经济问题：利用导数分析经济变量之间的关系，如需求曲线、供给曲线等。

-物理学中的应用：利用导数分析物体运动的速度、加速度等。课堂小结，当堂检测1.课堂小结

本节课的主要内容是导数及其应用。通过本节课的学习，学生应该掌握以下知识点：

-导数的定义和计算方法：导数是函数在某一点处的瞬时变化率，可以通过极限法、导数的基本公式、导数的运算法则等方法来计算。

-导数在研究函数中的应用：利用导数可以判断函数的单调性、求函数的极值、分析函数的最大（小）值。

-实际问题中的导数应用：导数在解决实际问题中具有广泛的应用，如最优化问题、经济问题、物理学中的应用等。

在本节课的教学过程中，教师应该引导学生通过实例和案例来理解和掌握导数及其应用的概念和方法。同时，教师应该鼓励学生积极参与课堂讨论，提出问题和解决实际问题，培养学生的思维能力和解决问题的能力。

2.当堂检测

为了巩固本节课的学习内容，我们可以进行以下当堂检测：

(1)判断下列函数的单调性：

-f(x)=x^3，在区间(-∞,+∞)上单调增。

-g(x)=-x^2，在区间(-∞,0)上单调减，在区间(0,+∞)上单调增。

-h(x)=sin(x)，在区间[0,2π]上周期性变化。

(2)求下列函数的导数：

-f(x)=x^2，导数为f'(x)=2x。

-g(x)=e^x，导数为g'(x)=e^x。

-h(x)=ln(x)，导数为h'(x)=1/x。

(3)求下列函数的极值点：

-f(x)=x^3，极值点为x=0，极大值为f(0)=0。

-g(x)=-x^2，极值点为x=0，极小值为g(0)=0。

-h(x)=sin(x)，极值点为x=2kπ（k为任意整数），极大值为h(x)=1，极小值为h(x)=-1。

(4)分析下列实际问题中的最大（小）值问题：

-一家工厂生产产品，固定成本为5000元，每生产一个产品的变动成本为10元，求工厂生产产品的最优产量，以使总成本最小化。

-一家公司销售产品，销售价格为10元，销售量每增加1个，成本增加0.5元，求销售量的最优值，以使总收益最大化。教学反思今天这节课主要学习了导数及其应用，我注意到学生在学习过程中出现了一些问题和困难，这让我反思了教学方法和策略。

首先，学生在理解导数的定义和计算方法时存在一定的难度。我意识到在讲解导数的概念时，应该更加注重直观的示例和图形的展示，帮助学生建立起直观的认识。同时，在讲解导数的计算方法时，我应该更加注重例题的讲解和练习，让学生通过实际操作来理解和掌握计算方法。

其次，学生在应用导数解决实际问题时也遇到了一些困难。我发现学生在将实际问题转化为数学问题，以及运用导数来求解问题时，缺乏清晰的思路和方法。为了改善这一点，我计划在未来的教学中更加注重实际问题的引入和分析，引导学生将问题转化为数学模型，并运用导数来求解。

此外，我在教学中还发现学生在小组讨论和展示环节表现出一定的被动和缺乏参与度。为了提高学生的参与度和积极性，我计划在未来的教学中更加注重小组讨论的引导和组织，鼓励学生积极参与讨论和展示，以促进学生的思考和表达能力的提升。

最后，我认为在教学中我应该更加注重学生的反馈和理解程度，及时调整教学方法和策略，以满足不同学生的学习需求。通过与学生的互动和交流，了解他们的困惑和问题，给予及时的指导和帮助，以提高教学效果。课后拓展1.拓展内容：

-阅读材料：推荐学生阅读《高等数学》或《微积分》等教材中的相关章节，加深对导数及其应用的理解。

-视频资源：推荐学生观看有关导数及其应用的在线课程或教学视频，如“中国大学MOOC”