高等数学（第五版）课件 陈如邦 第七章 多元函数微积分

第七章

多元函数微积分第一节

空间解析几何

多元函数概念及其微积分是一元函数及其微积分的推广和发展,在自然科学和工程技术问题中有着广泛的应用.本章将在一元函数微积分的基础上,重点讨论二元函数微积分,其结果推广一般即多元函数微积分.

空间解析几何是通过空间直角坐标系,将空间的点与含三个有序实数的数组之间建立一一对应关系,把空间的图形和方程对应起来,从而使人们能用代数的方法研究空间图形.空间解析几何知识是学习多元函数微积分的必不可少的基础.本节首先引进空间直角坐标系,接着介绍向量的概念和运算.在此基础上讨论空间平面和直线的方程.最后介绍空间曲面和曲线的方程.

一、空间直角坐标1.空间直角坐标系

建立了空间直角坐标系后,对于空间中的任一点M,过M点可作三个分别平行于坐标面的平面,它们分别与x轴、y轴、z轴交于A、B、C三点,三点在x轴,y轴,z轴上的坐标依次为x,y,z,称三元有序数组（ｘ，ｙ，ｚ）为点M的坐标.

二、向量的基本概念及其运算1.向量的概念

在物理学中,我们已经用到过既有大小又有方向的量,如力、位移、速度、加速度等,这类量称为向量,也称为矢量.BA

b+aa+babab

c=a-bab

M1M2Oxyz

故起点不在原点的向量的坐标等于终点坐标减去起点坐标之差.

θSF

上式的右边可看成是两个向量进行某种运算的结果,把这种运算抽象出来就得到数量积的概念.

注:两个向量数量积是一个数值.

OMPF

nπMM0

BCAzyx

Ozyx

OzyxOzyx

OzyxM2M3M1zyx

M

M0LSOzyx

CL(2).柱面定义6

动直线L沿定曲线C平行移动所形成的曲面,称为柱面.动直线L称为柱面的母线,定曲线C称为柱面的准线.我们只讨论准线在坐标面上.母线垂直于此坐标面的柱面.

(3).旋转曲面定义7

一平面曲线C绕同一平面上的一条定直线L旋转所形成的曲面称为旋转曲面.曲线C称为旋转曲面的母线,直线L称为旋转曲面的轴.

第七章

多元函数微积分第二节

多元函数微分学一、多元函数的概念

在一元函数微积分中,讨论的是只有一个自变量和一个因变量的函数,而在自然现象和实际问题中所涉及的函数,并非都是一元函数,而往往依赖于两个或者更多个自变量,先看几个例子.

上面两例的具体意义各不相同,但仅从数量关系来研究,它们却有共同的性质,据此可抽象出多元函数的概念.

ax2+y2=a2yx

-3-232yx

对一般的二元函数可以证明：

OzyxM0CTM

（3）列表判定极值点ABC结论-82-2-42-2+

2.二元函数的最大值与最小值

与一元函数类似,对于有界闭区域上连续的二元函数,一定能在该区域上取得最大值和最小值.对于二元可微函数,如果该函数的最大值（最小值）在区域内部取得,这个最大值（最小值）点必在函数的驻点之中,若函数的最大值（最小值）在区域的边界上取得,那么它也一定是函数在边界上的最大值（最小值）.因此求函数的最大值和最小值的方法是：将函数在所讨论区域内的所有驻点处的函数值与函数在区域的边界上的最大值和最小值想比较,其中最大者即为函数在闭区域上的最大值,最小值就是函数在闭区域上的最小值.x+y=4(0≤x≤4)yx4O

4

对于实际问题的最值问题,往往从问题本身能判定它们的最大值或最小值一定存在,且在定义区域内部取得,这时,如果函数在定义域内有唯一驻点,则该驻点的函数值就是函数的最大值或最小值.zyx

第七章

多元函数微积分第三节

多元函数积分学一、二重积分的概念这里以计算曲顶柱体的体积为例,引入二重积分的定义.

3.如果用平行于坐标轴的直线穿过区域D时,与D的边界的交点多于两个,则可用平行于坐标轴的直线把区域D分成若干个x型或y型区域,再由积分区域的可加性,把在D上的积分化为各部分区