江苏省南京市2024-2025学年高三上学期第一次调研考试数学试题（含答案）

关注公众号《全元高考》获取更多资料南京市2025届高三年级学情调研数学2024.09注意事项：1.本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分.2.本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分.3.答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.已知，，则（）A.5 B.6 C.7 D.123.已知，.若，则（）A. B. C. D.4.已知数列为等差数列，前项和为.若，，则（）A. B. C.9 D.185.若是第二象限角，，则（）A. B. C. D.6.甲、乙、丙、丁共4名同学参加某知识竞赛，已决出了第1名到第4名（没有并列名次）.甲、乙、丙三人向老师询问成绩，老师对甲和乙说：“你俩名次相邻”，对丙说：“很遗憾，你没有得到第1名”.从这个回答分析，4人的名次排列情况种数为（）A.4 B.6 C.8 D.127.若正四棱锥的高为8，且所有顶点都在半径为5的球面上，则该正四棱锥的侧面积为（）A.24 B.32 C.96 D.1288.已知抛物线的焦点为，准线为，点在上，点在上.若，，则的面积为（）A. B.25 C. D.55二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上，全部选对得6分，部分选对得部分分，不选或有错选的得0分.9.已知复数z，下列命题正确的是（）A.若，则 B.若，则的虚部为C.若，则 D.若，则10.对于随机事件A，B，若，，，则（）A. B. C. D.11.设函数，则（）A.的定义域为 B.的图象关于对称C.的最小值为D.方程在上所有根的和为三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填写在答题卡相应位置上12.展开式中的常数项是___________.13.与圆柱底面成45°角的平面截圆柱得到如图所示的几何体，截面上的点到圆柱底面距离的最大值为4，最小值为2，则该几何体的体积为___________.14.已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，直线与相交于另一点.当最小时，的离心率为___________.四、解答题：本大题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）小王早晨7：30从家出发上班，有A，B两个出行方案供其选择，他统计了最近100天分别选择A，B两个出行方案到达单位的时间，制成如下表格：8点前到（天数）8点或8点后到（天数）A方案2812B方案3030（1）判断并说明理由：是否有95%的把握认为在8点前到单位与方案选择有关；（2）小王准备下周一选择A方案上班，下周二至下周五选择B方案上班，记小王下周一至下周五这五天中，8点前到单位的天数为随机变量X.若用频率估计概率，求.附：，其中，0.100.050.0250.0100.0112.7063.8415.0246.63510.82816.（本小题满分15分）如图，在四面体中，是边长为3的正三角形，是以AB为斜边的等腰直角三角形，E，F分别为线段AB，BC的中点，，.（1）求证：平面；（2）若平面平面，求直线BD与平面所成角的正弦值.17.（本小题满分15分）已知数列，，，，且为等比数列.（1）求的值；（2）记数列的前项和为.若，求的值.18.（本小题满分17分）已知，是双曲线的左、右焦点，，点在C上.（1）求的方程（2）设直线过点，且与交于A，B两点.①若，求的面积；②以线段AB为直径的圆交轴于P，Q两点，若，求直线的方程.19.（本小题满分17分）已知函数，.（1）当时，求曲线在处切线的方程；（2）当时，试判断在上零点的个数，并说明理由；（3）当时，恒成立，求的取值范围.关注公众号《全元高考》获取更多资料南京市2025届高三年级学情调研数学参考答案2024.09一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上.12345678DDABACCB二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上.全部选对得6分，部分选对得部分分，不选或有错选的得0分.91011ABBCDACD三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填写在答题卡相应位置上.12.240 13. 14.四、解答题：本大题共5小题，共77分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）解：（1）假设点前到单位与方案选择无关，则.，所以有的把握认为8点前到单位与路线选择有关.（2）选择方案上班，8点前到单位的概率为0.7，选择方案上班，8点前到单位的概率为0.5.当时，则分两种情况：①若周一8点前到单位，则.（2）若周一8点前没有到单位，则.综上，.16.（本小题满分15分）解：（1）因为E，F分别为线段AB，BC中点，所以.因为，，即，所以，所以.又平面，平面，所以平面.（2）取AC中点，连接DO，OE因为为正三角形，所以.因为平面平面，平面平面，平面，所以平面.因为O，E分别为AC，AB中点，则.又因为，所以.以为坐标原点，OE，OC，OD所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则，，，，故，，.设平面的法向量为，直线BD与平面所成角为，则即取.则，所以BD与平面所成角的正弦值为.17.（本小题满分15分）解：（1）因为，则，，，.又，则，，.因为为等比数列，则，所以，整理得，解得或2.因为，故.当时，.则，故为等比数列，所以符合题意.（2）当为偶数时，当为奇数时.综上，因为，又，故，所以为偶数.所以，整理得，解得或（舍），所以.18.（本小题满分17分）解：（1）由题意可知，点在上，根据双曲线的定义可知，即，所以，则，所以的方程为.（2）①设，.因为，所以，所以点坐标为，因为A，B在双曲线上，所以解得，，所以点坐标为，所以.②当直线与轴垂直时，此时不满足条件.设直线的方程为，，，，.直线与联立消去，得，所以，.由，得且.以AB为直径的圆方程为，令，可得，则，为方程的两个根，所以，，所以.解得（舍）或，即，所以直线的方程为：.19.（本小题满分17分）解：（1）当时，，则，所以曲线在处切线的斜率.又因为，所以曲线在处切线的方程为.（2），，则，当时，，则在上单调递增.因为，，所以存在唯一的，使得.当时，，所以在上单调递减；当时，，所以在上单调递增.又因为，所以.又因为，所以当时，在上有且只有一个零点.（3）①当时，，与当时，矛盾，所以不满足题意.②当时，，，，.记函数，，则，当时，，所以在单调递增；当时，，所以在单调递减，所以，所以.又因为