2021年全国硕士研究生入学统一考试数学(农)试题-

PAGE.2021年全国硕士研究生入学统一考试数农试题一、选择题:18小题,每题4分,共32分.以下每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.(1)曲线在点〔〕处的法线方程为〔〕(A)(B)(C)(D)【答案】(D).【分析】此题考查导数的几何应用——求法线方程.【解析】，故，所以所求法线方程为，即.应选〔D〕(2)曲线〔〕(A)有水平渐近线和铅直渐近线及(B)有水平渐近线及和铅直渐近线(C)仅有水平渐近线及，无铅直渐近线(D)无水平渐近线，仅有铅直渐近线【答案】(B).【分析】此题考查曲线的渐近线.【解析】因为，所以及为曲线的水平渐近线.又，，故为曲线的铅直渐近线，但不是.综上知，曲线有水平渐近线及和铅直渐近线.应选〔B〕.(3)函数在闭区间上的最小值和最大值依次为〔〕(A)(B)(C)(D)【答案】(C).【解析】这题看的是函数在区间上的单调性，所以直接求导即可。，那么可知当时，故函数在上单调递增；当时，故函数在上单调递减，那么可知函数在处取得最大值。最小值为，由于故可知在处取最小值(4)设函数连续，记，那么〔〕(A)(B)(C)(D)【答案】(B)【解析】令得：令得：所以原式=(5)设矩阵，假设线性方程组无解，那么〔〕(A)(B)(C)(D)(6)设为5阶非零矩阵，且()(A)假设那么(B)假设那么(C)假设那么(D)假设那么(7)设为两个随机事件，且,那么〔〕(A)(B)(C)(D)【答案】(B)【解析】A.B.C.D.所以，答案选B.(8)设表示自由度为n的t分布的分位数，那么〔〕(A)(B)(C)(D)【答案】(D)【解析】设∽，，那么，，故.所以答案选D.二、填空题：9答题纸指定位置上.(9)_________【解析】原式(10)函数的第二类间断点为________【解析】(11)假设连续函数满足那么________【解析】对两边求导，得，令，得.(12)设为连续函数，交换积分次序，=____【解析】有题意知，积分区域为，交换积分次序，得.(13)设3阶矩阵，，假设，那么____【解析】,,所以。(14)某运发动每次投篮投中的概率为，他连续投篮直到投中两次为止，假设各次投篮的结果相对独立，那么他投篮总次数为4的概率为____.【答案】【解析】所求概率.答题纸指定位置上.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(此题总分值10分) 设函数求.【解析】时；时；不存在.(16)(此题总分值10分) 设函数，由方程确定，求.【解析】当时,对等式两同时对求偏导数,可得,那么可以解得:再次对等式两边对求偏导数,可得:,解得(17)(此题总分值10分) 设是由曲线和直线所围成的平面图形，求的面积及绕轴旋转所得旋转体的体积。【解析】联立，得或所以(18)(此题总分值10分) 计算二重积分，其中区域由直线，及轴围成。【解析】(19)(此题总分值10分) 设函数是微分方程满足条件的解，求的极值。【解析】的通解为，由初始条件求出.从而，，.令，解得，又，由知是极小值点，所以的极小值为.(20)(此题总分值11分)向量组，，，，其中是参数，求该向量组的秩与一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表示。【解析】(I)当时，的秩为2，是一个极大无关组(II)当时，的秩为，且是一个极大无关组，(21)(此题总分值11分)矩阵相似于，(I)求、的值,(II)求可逆矩阵，使？【解析】由和相似，知，，故，解得由和的特征值相同知的特征值为对应的线性无关的特征向量为：解得到对应的线性无关的特征向量为：解，得到令那么.(22)(此题总分值11分)设二维离散型随机变量的概率分布为01012且。〔I〕求常数，〔II〕求与的相关系数。【解析】(I