弹性力学材料模型：分层材料的优化设计与制造教程

弹性力学材料模型：分层材料的优化设计与制造教程1弹性力学基础1.11弹性力学基本概念弹性力学是研究弹性体在外力作用下变形和应力分布的学科。弹性体是指在外力作用下能够产生变形，当外力去除后，能够恢复原状的物体。在弹性力学中，我们关注的是物体的内部应力和应变，以及它们与外力之间的关系。1.1.1弹性模量弹性模量是描述材料弹性性质的重要参数，包括杨氏模量（E）、剪切模量（G）和体积模量（K）。杨氏模量是材料在拉伸或压缩时，应力与应变的比值，反映了材料抵抗拉伸或压缩变形的能力。1.1.2泊松比泊松比（ν）是横向应变与纵向应变的绝对值比，描述了材料在受力时横向收缩与纵向伸长的关系。1.22应力与应变分析1.2.1应力应力（σ）是单位面积上的内力，可以分为正应力和剪应力。正应力是垂直于截面的应力，剪应力是平行于截面的应力。1.2.2应变应变（ε）是物体在受力作用下变形的程度，可以分为线应变和剪应变。线应变是物体长度变化与原长的比值，剪应变是物体角度变化的正切值。1.2.3应力应变关系在弹性范围内，应力与应变之间遵循胡克定律，即应力与应变成正比，比例系数为弹性模量。#示例代码：计算应力

#定义变量

force=1000#牛顿

area=0.01#平方米

#计算正应力

stress=force/area

#输出结果

print(f"正应力为：{stress}Pa")1.33弹性方程与边界条件1.3.1弹性方程弹性方程是描述弹性体内部应力和应变分布的微分方程，通常包括平衡方程、几何方程和物理方程。平衡方程描述了物体内部力的平衡状态，几何方程描述了应变与位移之间的关系，物理方程描述了应力与应变之间的关系。1.3.2边界条件边界条件是指在弹性体边界上施加的约束条件，包括位移边界条件和应力边界条件。位移边界条件规定了边界上的位移，应力边界条件规定了边界上的应力。#示例代码：使用有限元方法求解弹性方程

importnumpyasnp

fromscipy.sparseimportlil_matrix

fromscipy.sparse.linalgimportspsolve

#定义网格尺寸和节点数

n=10

h=1.0/(n+1)

#创建系数矩阵和常数向量

A=lil_matrix((n,n),dtype=np.float64)

b=np.zeros(n,dtype=np.float64)

#填充系数矩阵和常数向量

foriinrange(n):

A[i,i]=2

ifi>0:

A[i,i-1]=-1

ifi<n-1:

A[i,i+1]=-1

b[i]=h**2*100#假设内部应力为100

#应用边界条件

A[0,0]=1

A[n-1,n-1]=1

b[0]=0#左边界位移为0

b[n-1]=0#右边界位移为0

#求解位移

u=spsolve(A.tocsr(),b)

#输出位移

print("位移向量：")

print(u)以上代码使用了有限元方法求解一个简单的一维弹性问题，其中网格被划分为10个节点，内部应力假设为100，边界条件为左右边界位移为0。通过求解得到的位移向量，可以进一步分析物体的变形情况。请注意，上述示例代码和数据样例是为了说明弹性力学中计算应力和求解弹性方程的基本方法，实际应用中需要根据具体问题调整参数和边界条件。2分层材料特性2.11分层材料结构与分类分层材料，也称为复合材料，是由两种或更多种不同性质的材料层叠而成的材料。这些材料在物理和化学性质上存在差异，通过特定的层叠方式，可以创造出具有独特性能的新型材料。分层材料的结构设计是其性能优化的关键，不同的层叠顺序和材料组合可以显著影响材料的力学、热学和电学性能。2.1.1分类分层材料主要可以分为以下几类：纤维增强复合材料：如碳纤维增强塑料（CFRP），玻璃纤维增强塑料（GFRP）等，通过纤维增强基体材料，提高其强度和刚度。层压复合材料：由多层不同材料通过粘合剂层压而成，如多层陶瓷复合材料，多层金属复合材料等。功能梯度材料：材料的组成和性质在厚度方向上连续变化，适用于需要材料性能渐变的场合，如热障涂层。2.22分层材料的力学性能分层材料的力学性能包括但不限于强度、刚度、断裂韧性、疲劳性能等。这些性能受到材料层的厚度、层数、层间粘结强度以及材料本身的性质等因素的影响。2.2.1弹性模量计算示例假设我们有两层材料组成的复合材料，第一层材料的弹性模量为E1，厚度为t1；第二层材料的弹性模量为E2，厚度为t2。复合材料的总厚度为E2.2.2Python代码示例#分层材料等效弹性模量计算

defequivalent_modulus(E1,t1,E2,t2):

"""

计算两层分层材料的等效弹性模量

:paramE1:第一层材料的弹性模量

:paramt1:第一层材料的厚度

:paramE2:第二层材料的弹性模量

:paramt2:第二层材料的厚度

:return:等效弹性模量

"""

T=t1+t2

E_eq=(E1*t1+E2*t2)/T

returnE_eq

#示例数据

E1=150e9#第一层材料的弹性模量，单位：Pa

t1=0.1#第一层材料的厚度，单位：m

E2=70e9#第二层材料的弹性模量，单位：Pa

t2=0.2#第二层材料的厚度，单位：m

#计算等效弹性模量

E_eq=equivalent_modulus(E1,t1,E2,t2)

print(f"等效弹性模量为：{E_eq:.2f}Pa")2.33分层材料的热性能与电性能分层材料的热性能和电性能同样重要，特别是在航空航天、电子设备等领域。热性能包括热导率、热膨胀系数等，电性能则涉及电阻率、介电常数等。2.3.1热导率计算示例对于由两层材料组成的复合材料，其等效热导率KeK其中，K1和K2分别是两层材料的热导率，2.3.2Python代码示例#分层材料等效热导率计算

defequivalent_thermal_conductivity(K1,t1,K2,t2):

"""

计算两层分层材料的等效热导率

:paramK1:第一层材料的热导率

:paramt1:第一层材料的厚度

:paramK2:第二层材料的热导率

:paramt2:第二层材料的厚度

:return:等效热导率

"""

T=t1+t2

K_eq=(K1*t1+K2*t2)/T

returnK_eq

#示例数据

K1=200#第一层材料的热导率，单位：W/(m·K)

t1=0.1#第一层材料的厚度，单位：m

K2=150#第二层材料的热导率，单位：W/(m·K)

t2=0.2#第二层材料的厚度，单位：m

#计算等效热导率

K_eq=equivalent_thermal_conductivity(K1,t1,K2,t2)

print(f"等效热导率为：{K_eq:.2f}W/(m·K)")通过上述示例，我们可以看到，分层材料的性能计算不仅需要了解每层材料的特性，还需要考虑层叠结构的影响。在实际应用中，这些计算可以帮助工程师设计出满足特定性能要求的分层材料。3分层材料的弹性力学模型3.11复合材料的弹性理论复合材料因其独特的性能和广泛的应用，在现代工程中扮演着重要角色。它们由两种或更多种不同性质的材料组成，通过优化材料的组合和结构，可以实现比单一材料更优异的性能。在弹性力学中，复合材料的弹性理论主要关注材料的宏观弹性行为，即在复合材料层面上的应力、应变和位移关系。3.1.1弹性常数复合材料的弹性常数包括弹性模量、泊松比和剪切模量。这些常数可以通过实验测定，也可以通过理论计算得出。在计算中，常用的方法是基于复合材料的微观结构，利用平均场理论或微分几何方法来预测宏观弹性常数。3.1.2有效弹性模量对于分层复合材料，有效弹性模量可以通过不同的理论模型来计算，如Reuss模型、Voigt模型和Hill模型。这些模型基于材料的各向异性，考虑了不同层的弹性性质和排列方式，以预测复合材料的整体弹性行为。3.1.3示例：计算复合材料的有效弹性模量假设我们有两层复合材料，每层的弹性模量分别为E1和E2，体积分数分别为v1和v#定义材料参数

E1=150e9#弹性模量1，单位：帕斯卡

E2=70e9#弹性模量2，单位：帕斯卡

v1=0.6#体积分数1

v2=0.4#体积分数2

#计算有效弹性模量

E_eff=v1*E1+v2*E2

print(f"有效弹性模量为：{E_eff}Pa")3.22层合板理论层合板理论是研究分层材料结构在平面内和垂直于平面的应力、应变和位移的理论。它基于连续介质力学原理，考虑了层间界面的连续性和各层材料的弹性性质。层合板理论在航空航天、汽车和建筑等领域有着广泛的应用，特别是在设计和分析复合材料结构时。3.2.1层合板的平衡方程层合板的平衡方程描述了在层合板内部的力和力矩的平衡条件。这些方程通常包括在平面内的平衡方程和垂直于平面的平衡方程，以及层间界面的连续条件。3.2.2层合板的边界条件边界条件对于层合板的分析至关重要，它们描述了层合板与周围环境的相互作用。常见的边界条件包括自由边界、固定边界和简支边界。3.2.3示例：层合板的有限元分析使用Python和FEniCS库，我们可以对层合板进行有限元分析。以下是一个简单的示例，展示如何设置层合板的有限元模型：fromdolfinimport*

#创建网格

mesh=RectangleMesh(Point(0,0),Point(1,1),10,10)

#定义边界条件

defboundary(x,on_boundary):

returnon_boundary

bc=DirichletBC(VectorFunctionSpace(mesh,"CG",1),Constant((0,0)),boundary)

#定义材料参数

E=150e9#弹性模量，单位：帕斯卡

nu=0.3#泊松比

#定义变分问题

V=VectorFunctionSpace(mesh,"CG",1)

u=TrialFunction(V)

v=TestFunction(V)

f=Constant((0,-1e6))#外力，单位：牛顿/平方米

#定义本构关系

defsigma(u):

returnE/(1-nu**2)*as_tensor(((grad(u)+grad(u).T),[[1,nu],[nu,1]]))

#定义变分形式

a=inner(sigma(u),grad(v))*dx

L=inner(f,v)*dx

#求解变分问题

u=Function(V)

solve(a==L,u,bc)

#输出位移场

plot(u)

interactive()3.33分层材料的有限元分析有限元分析是研究分层材料结构响应的有效工具。它将复杂的结构分解为许多小的、简单的单元，然后在每个单元上应用弹性力学的基本原理，通过数值方法求解整个结构的响应。3.3.1单元类型在有限元分析中，选择合适的单元类型对于准确模拟分层材料的结构至关重要。常用的单元类型包括四边形单元、三角形单元和六面体单元。3.3.2网格划分网格划分是有限元分析中的关键步骤，它决定了分析的精度和计算效率。对于分层材料，网格应该足够细，以捕捉层间界面的细节。3.3.3示例：使用Python进行分层材料的有限元分析在Python中，我们可以使用FEniCS库来进行分层材料的有限元分析。以下是一个示例，展示如何设置分层材料的有限元模型：fromdolfinimport*

#创建网格

mesh=RectangleMesh(Point(0,0),Point(1,1),10,10)

#定义材料参数

E1=150e9#弹性模量1，单位：帕斯卡

E2=70e9#弹性模量2，单位：帕斯卡

nu=0.3#泊松比

#定义分层材料的本构关系

defsigma(u,E):

returnE/(1-nu**2)*as_tensor(((grad(u)+grad(u).T),[[1,nu],[nu,1]]))

#定义变分问题

V=VectorFunctionSpace(mesh,"CG",1)

u=TrialFunction(V)

v=TestFunction(V)

f=Constant((0,-1e6))#外力，单位：牛顿/平方米

#定义材料区域

subdomains=MeshFunction("size_t",mesh,2)

subdomains.set_all(0)

subdomains.array()[mesh.cells().indices]=1

#定义材料参数

E=Expression("x[0]<0.5?E1:E2",E1=E1,E2=E2,degree=1)

#定义变分形式

a=inner(sigma(u,E),grad(v))*dx(subdomain_data=subdomains)

L=inner(f,v)*dx

#定义边界条件

defboundary(x,on_boundary):

returnon_boundary

bc=DirichletBC(V,Constant((0,0)),boundary)

#求解变分问题

u=Function(V)

solve(a==L,u,bc)

#输出位移场

plot(u)

interactive()这个示例展示了如何在Python中使用FEniCS库来模拟分层材料的结构响应，通过定义不同的材料区域和相应的弹性模量，可以准确地模拟分层材料的力学行为。4分层材料的优化设计4.11设计目标与约束条件在分层材料的优化设计中，设计目标通常涉及材料性能的提升，如增加强度、减少重量、提高热稳定性或电导率等。约束条件则可能包括成本限制、制造工艺的可行性、材料的可用性以及设计的几何限制等。4.1.1设计目标示例假设我们正在设计一种用于航空航天的分层复合材料，目标是最大化材料的抗拉强度同时最小化重量。这可以通过调整各层材料的厚度和材料类型来实现。4.1.2约束条件示例成本限制：每层材料的成本不能超过预算。制造工艺：材料层的厚度必须在可制造范围内，例如，不能小于0.1mm或大于10mm。材料可用性：只能使用市场上可获得的材料。几何限制：总厚度不能超过特定值，例如，50mm。4.22优化算法介绍优化算法在分层材料设计中扮演关键角色，帮助我们找到满足所有约束条件下的最优设计。常见的优化算法包括遗传算法、粒子群优化算法、梯度下降法和模拟退火算法等。4.2.1遗传算法示例遗传算法是一种基于自然选择和遗传学原理的搜索算法，适用于解决复杂优化问题。下面是一个使用Python实现的遗传算法框架，用于优化分层材料设计：importnumpyasnp

importrandom

#定义目标函数

defobjective_function(x):

#x是一个包含各层厚度和材料类型的向量

#这里简化为一个示例函数

return-np.sum(x**2)#最大化此函数意味着最小化x的平方和

#定义约束函数

defconstraints(x):

#x是一个包含各层厚度和材料类型的向量

#这里简化为一个示例函数

returnnp.all(x>=0.1)andnp.all(x<=10)andnp.sum(x)<=50

#遗传算法参数

population_size=50

num_generations=100

mutation_rate=0.01

#初始化种群

population=[np.random.uniform(0.1,10,size=(10,))for_inrange(population_size)]

forgenerationinrange(num_generations):

#选择

scores=[objective_function(x)forxinpopulation]

selected=np.random.choice(population_size,size=population_size//2,replace=False,p=scores/np.sum(scores))

selected_population=[population[i]foriinselected]

#交叉

offspring=[]

for_inrange(population_size//2):

parent1,parent2=random.sample(selected_population,2)

crossover_point=random.randint(1,len(parent1)-1)

child1=np.concatenate((parent1[:crossover_point],parent2[crossover_point:]))

child2=np.concatenate((parent2[:crossover_point],parent1[crossover_point:]))

offspring.extend([child1,child2])

#变异

foriinrange(len(offspring)):

ifrandom.random()<mutation_rate:

mutation_point=random.randint(0,len(offspring[i])-1)

offspring[i][mutation_point]=np.random.uniform(0.1,10)

#替换

population=[xforxinoffspringifconstraints(x)]

#找到最优解

best_solution=max(population,key=objective_function)

print("最优解:",best_solution)4.2.2粒子群优化算法示例粒子群优化算法（PSO）是一种基于群体智能的优化算法，通过模拟鸟群觅食行为来寻找最优解。下面是一个使用Python实现的PSO算法框架：importnumpyasnp

#定义目标函数

defobjective_function(x):

#x是一个包含各层厚度和材料类型的向量

#这里简化为一个示例函数

return-np.sum(x**2)#最大化此函数意味着最小化x的平方和

#定义约束函数

defconstraints(x):

#x是一个包含各层厚度和材料类型的向量

#这里简化为一个示例函数

returnnp.all(x>=0.1)andnp.all(x<=10)andnp.sum(x)<=50

#PSO参数

num_particles=50

num_dimensions=10

num_iterations=100

w=0.7#惯性权重

c1=2#认知权重

c2=2#社会权重

#初始化粒子位置和速度

positions=np.random.uniform(0.1,10,size=(num_particles,num_dimensions))

velocities=np.zeros_like(positions)

pbest=positions.copy()

gbest=positions[np.argmax([objective_function(x)forxinpositions])]

#PSO主循环

for_inrange(num_iterations):

#更新粒子速度

r1,r2=np.random.rand(),np.random.rand()

velocities=w*velocities+c1*r1*(pbest-positions)+c2*r2*(gbest-positions)

#更新粒子位置

positions+=velocities

#更新pbest和gbest

foriinrange(num_particles):

ifconstraints(positions[i])andobjective_function(positions[i])>objective_function(pbest[i]):

pbest[i]=positions[i].copy()

ifobjective_function(pbest[i])>objective_function(gbest):

gbest=pbest[i].copy()

#输出最优解

print("最优解:",gbest)4.33分层材料设计实例分析假设我们正在设计一种用于建筑的分层材料，目标是提高其热稳定性，同时保持成本在合理范围内。我们有三种材料可以选择，每种材料的热导率和成本不同。我们的设计变量是每种材料的层数，总层数固定为10层。4.3.1设计变量材料A的层数材料B的层数材料C的层数4.3.2目标函数我们定义目标函数为材料的总热导率的倒数，因为热稳定性与热导率成反比。4.3.3约束条件总层数为10层成本限制：总成本不能超过1000元4.3.4优化过程使用遗传算法或粒子群优化算法，我们可以找到满足成本限制下的最优材料层数分配，以最大化热稳定性。4.3.5结果分析通过优化算法，我们可能得到一个最优解，例如，材料A使用3层，材料B使用4层，材料C使用3层，这样的分配在成本限制下提供了最佳的热稳定性。以上示例展示了如何使用遗传算法和粒子群优化算法来优化分层材料的设计。实际应用中，这些算法需要与具体的材料性能模型和制造约束相结合，以找到最合适的材料配置。5分层材料的制造技术5.11制造工艺概述分层材料的制造技术是复合材料生产中的关键环节，它涉及到将不同材料层按特定顺序和方向堆叠，然后通过固化过程形成具有优异性能的复合结构。制造工艺的选择直接影响到材料的最终性能、成本和生产效率。在复合材料领域，常见的制造技术包括手工铺层、自动铺带、热压罐固化等。5.1.1手工铺层手工铺层是最传统的复合材料制造方法，适用于小批量或复杂形状的零件生产。它通过人工将预浸料（树脂浸渍的纤维）按照设计要求一层层铺放在模具上，然后进行固化。虽然这种方法灵活性高，但生产效率低，且人工操作可能导致材料层间不均匀，影响最终产品质量。5.1.2自动铺带自动铺带技术（AutomatedTapeLaying,ATL）是一种高精度、高效率的复合材料制造方法，特别适合于大型、平面或曲面零件的生产。它使用机器人或专用设备将预浸带精确地铺设在模具上，可以实现材料层的自动化控制，提高生产效率和材料利用率，减少人为误差。5.1.3热压罐固化热压罐固化是复合材料制造中常用的固化技术，它通过在高温和高压环境下加速树脂的固化过程，确保材料层间紧密结合，形成高质量的复合材料结构。热压罐可以提供均匀的温度和压力，适用于各种复合材料的固化，但设备投资和运行成本较高。5.22纤维铺层技术纤维铺层技术是复合材料制造的核心，它决定了材料的力学性能和结构特性。纤维铺层可以是单向的，也可以是多向的，通过控制纤维的铺层方向和层数，可以优化材料的强度、刚度和重量。5.2.1单向铺层单向铺层（UnidirectionalLamination）是指纤维沿一个方向排列的铺层方式。这种方式可以最大化材料在纤维方向上的力学性能，适用于需要在特定方向上具有高强或高刚度的结构件。5.2.2多向铺层多向铺层（MultidirectionalLamination）则是通过在不同方向上铺放纤维层，以平衡材料在各个方向上的性能。这种技术常用于制造需要在多方向上承受载荷的复合材料零件，如飞机的机翼或车身的面板。5.2.3铺层优化铺层优化是通过数学模型和算法，确定最佳的纤维铺层顺序和方向，以达到特定的性能目标，同时最小化材料和制造成本。优化过程通常需要考虑材料的弹性力学模型、载荷条件、制造约束等因素。5.2.3.1示例：使用Python进行铺层优化#导入所需库

importnumpyasnp

fromscipy.optimizeimportminimize

#定义目标函数：最小化材料成本

defcost_function(x):

#x是纤维铺层方向的向量

#假设每层材料成本与铺层方向有关

cost_per_layer=np.array([10,12,15,18,20])

returnnp.sum(cost_per_layer*x)

#定义约束条件：确保总层数为5

defconstraint(x):

returnnp.sum(x)-5

#初始猜测

x0=np.array([1,1,1,1,1])

#设置约束

cons=({'type':'eq','fun':constraint})

#进行优化

res=minimize(cost_function,x0,method='SLSQP',constraints=cons)

#输出结果

print("Optimizedfiberorientation:",res.x)

print("Minimumcost:",res.fun)此代码示例展示了如何使用Python的scipy.optimize.minimize函数进行纤维铺层方向的优化，以最小化材料成本。在实际应用中，目标函数和约束条件会更加复杂，可能需要考虑材料的弹性力学性能、载荷分布等因素。5.33热压罐与自动铺带技术热压罐与自动铺带技术的结合，是现代复合材料制造中的一种高效方法。自动铺带技术可以精确控制纤维的铺层，而热压罐则提供固化所需的温度和压力，确保材料层间紧密结合，形成高性能的复合材料结构。5.3.1热压罐固化过程热压罐固化过程通常包括以下步骤：1.预浸料铺设：使用自动铺带技术将预浸料铺设在模具上。2.密封：将铺设好的模具放入热压罐中，密封以防止空气进入。3.加热和加压：热压罐内部加热至设定温度，同时施加高压，加速树脂固化。4.冷却：固化完成后，热压罐内部冷却，取出固化好的复合材料零件。5.3.2自动铺带技术自动铺带技术通过机器人或专用设备，将预浸带精确地铺设在模具上。预浸带的宽度、厚度和铺层方向可以根据设计要求进行调整，以满足不同复合材料零件的制造需求。5.3.2.1示例：自动铺带设备的控制代码#假设的自动铺带设备控制代码

classAutoTapeLaying:

def__init__(self,tape_width,tape_thickness):

self.tape_width=tape_width

self.tape_thickness=tape_thickness

deflay_tape(self,direction,length):

#direction:铺层方向

#length:铺层长度

print(f"Layingtapewithwidth{self.tape_width}mm,thickness{self.tape_thickness}mm,direction{direction},length{length}mm.")

#创建自动铺带设备实例

atl=AutoTapeLaying(50,0.2)

#铺设预浸带

atl.lay_tape("0degrees",1000)

atl.lay_tape("90degrees",1000)此代码示例展示了如何使用Python定义一个自动铺带设备的简化控制类，通过调用lay_tape方法，可以控制预浸带的铺层方向和长度。在实际应用中，自动铺带设备的控制会更加复杂，涉及多轴运动控制、材料张力控制等。通过上述技术的结合，可以实现分层材料的高效、精确制造，满足航空航天、汽车、体育用品等领域的高性能复合材料需求。6实践案例与应用6.11航天航空领域分层材料应用在航天航空领域，分层材料的应用至关重要，尤其是在减轻重量、提高强度和耐热性方面。例如，复合材料中的碳纤维增强塑料（CFRP）就是一种典型的分层材料，它由多层碳纤维和树脂基体交替堆叠而成。这种材料不仅轻质，而且具有极高的强度和刚性，非常适合用于制造飞机的机翼、机身和发动机部件。6.1.1示例：CFRP材料的弹性力学分析假设我们有一块CFRP材料，其层叠结构为[0°,90°,0°,90°]，每层厚度为0.125mm，材料属性如下：纵向弹性模量（E1）：141GPa横向弹性模量（E2）：10.3GPa泊松比（ν12）：0.22剪切模量（G12）：5.17GPa我们可以使用Python中的numpy库来计算这块材料的刚度矩阵。importnumpyasnp

#材料属性

E1=141e9#纵向弹性模量，单位：Pa

E2=10.3e9#横向弹性模量，单位：Pa

nu12=0.22#泊松比

G12=5.17e9#剪切模量，单位：Pa

t=0.125e-3#每层厚度，单位：m

#刚度矩阵计算

Q=np.array([[1/E1,-nu12/E1,0],

[-nu12/E1,1/E2,0],

[0,0,1/G12]])

#层叠角度

angles=[0,90,0,90]

#计算总刚度矩阵

A=np.zeros((3,3))

forangleinangles:

#旋转矩阵

R=np.array([[np.cos(np.radians(angle))**2,np.sin(np.radians(angle))**2,2*np.sin(np.radians(angle))*np.cos(np.radians(angle))],

[np.sin(np.radians(angle))**2,np.cos(np.radians(angle))**2,-2*np.sin(np.radians(angle))*np.cos(np.radians(angle))],

[-np.sin(np.radians(angle))*np.cos(np.radians(angle)),np.sin(np.radians(angle))*np.cos(np.radians(angle)),np.cos(np.radians(angle))**2-np.sin(np.radians(angle))**2]])

#层的刚度矩阵

Qi=np.linalg.inv(R)@Q@R

#累加到总刚度矩阵

A+=t*Qi

#输出总刚度矩阵

print("总刚度矩阵A:")

print(A)这段代码首先定义了CFRP材料