第19讲圆与方程章末复习与测试（三大题型归纳测试卷）

第19讲圆与方程章末复习与测试【苏教版2019选修一】目录TOC\o"13"\h\z\u题型归纳 1题型01求圆的方程 3题型02直线与圆、圆与圆的位置关系 6题型03轨迹问题 9单元测试 14一、求圆的方程1．求圆的方程的两种方法直接法根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程待定系数法(1)若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值；(2)若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择设圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值2.确定圆心位置的三种方法(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上．(2)圆心在圆的任意弦的垂直平分线上．(3)当两圆相切时，切点与两圆圆心共线二、直线与圆、圆与圆的位置关系1．直线与圆位置关系的判断方法(1)几何法：设圆心到直线的距离为d，圆的半径长为r.若d<r，则直线与圆相交；若d＝r，则直线与圆相切；若d>r，则直线与圆相离．(2)代数法：联立直线方程与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，其判别式为Δ.Δ＝0⇔直线与圆相切；Δ>0⇔直线与圆相交；Δ<0⇔直线与圆相离．2．圆与圆的位置关系：一般利用圆心距与两半径的和、差的绝对值的大小关系来判断两圆的位置关系．3．直线与圆、圆与圆的位置关系的转化，体现了直观想象、逻辑推理的核心素养三、轨迹问题1．求与圆有关的轨迹问题的四种方法2．通过求圆的轨迹问题，体现了直观想象、逻辑推理的核心素养题型01求圆的方程【解题策略】求圆的方程主要是联系圆系方程、圆的标准方程和一般方程，利用待定系数法解题．一般地，当已知圆的圆心或半径的几何特征时，设圆的标准方程，并结合圆的几何性质求解；当已知圆上三个点时，设圆的一般方程；当所求圆经过直线与圆、圆与圆的交点时，常利用圆系方程来解答．过两个已知圆x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0的交点的圆系方程为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)【典例分析】【例1】求圆心在直线3x＋4y－1＝0上，且经过两圆x2＋y2－x＋y－2＝0与x2＋y2＝5的交点的圆的方程．解方法一设所求圆的方程为x2＋y2－x＋y－2＋λ(x2＋y2－5)＝0，化为一般方程得x2＋y2－eq\f(1,1＋λ)x＋eq\f(1,1＋λ)y－eq\f(2＋5λ,1＋λ)＝0.故圆心坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,21＋λ)，－\f(1,21＋λ)))，代入直线3x＋4y－1＝0，得λ＝－eq\f(3,2).再把λ代入所设方程，得x2＋y2＋2x－2y－11＝0，故所求圆的方程为x2＋y2＋2x－2y－11＝0.方法二解方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2－x＋y－2＝0，,x2＋y2＝5，))得两圆的交点为A(1，－2)和B(2，－1)．设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.因为A，B在圆上，且圆心eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))在直线3x＋4y－1＝0上，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5＋D－2E＋F＝0，,5＋2D－E＋F＝0，,3·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)))＋4·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(E,2)))－1＝0.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(D＝2，,E＝－2，,F＝－11.))故所求圆的方程是x2＋y2＋2x－2y－11＝0.【变式演练】【变式1】（2324高二下·河南·阶段练习）已知圆过点，且与轴相切，圆心在轴上，则圆的方程为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】设圆心为，半径为，根据条件，建立方程组且，求出，即可求出结果.【详解】由题可设圆心为，半径为，所以且，解得，故圆的方程为，即，故选：B.【变式2】（2223高二上·广东东莞·期中）求经过点且圆心在直线上的圆的标准方程为.【答案】【分析】分析出圆心在直线上，再结合其在上，最后得到圆心坐标即可得到答案.【详解】若经过点，，则圆心在直线上，又在直线l：上，令，则，故圆心坐标为，半径为，故所求圆的标准方程为.故答案为：【变式3】（2324高二上·江苏苏州·期末）在平面直角坐标系中，已知四边形为平行四边形，，，．(1)设线段的中点为，直线过且垂直于直线，求的方程；(2)求以点为圆心、与直线相切的圆的标准方程．【答案】(1)(2)【分析】（1）通过题意求出点坐标和直线的斜率即可求解；（2）根据四边形为平行四边形求出点坐标，又由得，从而半径为，进而写出圆的标准方程.【详解】（1）因为为中点，，，所以．因为四边形为平行四边形，所以，由，，得，所以．由知直线的斜率为，所以直线的方程为，即所求直线的方程为．（2）因为四边形为平行四边形，且，，，设，由得解得，又由得，且，所以点为圆心，与直线相切的圆的标准方程为题型02直线与圆、圆与圆的位置关系【解题策略】(1)判断直线与圆的位置关系以几何法为主，解题时应充分利用圆的几何性质以简化解题过程．(2)解决圆与圆的位置关系的关键是抓住它的几何特征，利用两圆圆心距与两圆半径的和、差的绝对值的大小来确定两圆的位置关系，以及充分利用它的几何图形的形象直观性来分析问题【典例分析】【例2】已知圆M：(x－1)2＋(y－1)2＝4，直线l过点P(2,3)且与圆M交于A，B两点，且AB＝2eq\r(3)，求直线l的方程．解(1)当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－3＝k(x－2)，即kx－y＋3－2k＝0.示意图如图所示，作MC⊥AB于点C.在Rt△MBC中，BC＝eq\f(1,2)AB＝eq\r(3)，MB＝2，故MC＝eq\r(MB2－BC2)＝1，又M(1,1)，故由点到直线的距离公式得eq\f(|k－1＋3－2k|,\r(k2＋1))＝1，解得k＝eq\f(3,4).故直线l的方程为3x－4y＋6＝0.(2)当直线l的斜率不存在时，其方程为x＝2，且AB＝2eq\r(3)，所以符合题意．综上所述，直线l的方程为3x－4y＋6＝0或x＝2.【变式演练】【变式1】（2324高二上·山东临沂·期末）已知点，直线过点且与线段AB相交，则与圆的位置关系是（

）A．相交 B．相离 C．相交或相切 D．相切或相离【答案】D【分析】求得直线，的斜率，进而可求直线的方程，依据直线与圆的位置关系可得结论．【详解】直线的斜率为，，直线经过点且与线段相交，直线的斜率的范围为,,，直线的方程为，即，由圆，可得圆心，，可知圆心在直线的右侧，且圆心的直线的方程的距离为，直线的方程为，即，由圆，可得圆心，，圆心的直线的方程的距离为，故直线与圆相切或相离．故选：D【变式2】（2324高二上·安徽·期中）圆与圆的位置关系为．【答案】外切【分析】由两圆的圆心距与半径之和半径之差的关系，判断两圆位置关系.【详解】圆，圆心坐标为，半径，圆，圆心坐标为，半径，两圆圆心距，所以两圆外切.故答案为：外切【变式3】（2024高二·全国·专题练习）已知圆：和圆：.(1)当时，判断圆和圆的位置关系.(2)是否存在实数m，使得圆和圆内含？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)相交(2)不存在，理由见解析【分析】（1）根据题意求两圆圆心和半径，结合两圆的位置关系分析判断；（2）根据题意求两圆圆心和半径，假设存在，结合两圆的位置关系分析运算即可.【详解】（1）当时，圆的标准方程为，则，半径，圆的标准方程为，则，半径，可得两圆的圆心距，且，，则，所以圆和圆相交.（2）不存在，理由如下：圆的方程可化为，则，半径.由（1）可知：，半径.假设存在实数m，使得圆和圆内含，则圆心距，整理得，此不等式无解.故不存在实数m，使得圆和圆内含题型03轨迹问题【解题策略】(1)求动点的轨迹方程是解析几何中的重要题型，解答这类问题常用的方法有：直接法、定义法、消元法、代入法等．(2)求轨迹方程的步骤：①建系设点；②列出动点满足的轨迹条件；③把轨迹条件坐标化；④化简整理；⑤检验．在检验中要排除不符合要求的点，或者补充上漏掉的部分【典例分析】【例3】如图所示，圆O1与圆O2的半径都是1，O1O2＝4，过动点P分别作圆O1、圆O2的切线PM，PN(M，N分别为切点)，使得PM＝eq\r(2)PN，试建立适当的坐标系，并求动点P的轨迹方程．解如图所示，以O1O2所在直线为x轴，线段O1O2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，则O1(－2,0)，O2(2,0)，设动点P的坐标为(x，y)，连接MO1，NO2，在Rt△PMO1中，PM2＝POeq\o\al(2,1)－1，在Rt△PNO2中，PN2＝POeq\o\al(2,2)－1.又因为PM＝eq\r(2)PN，所以PM2＝2PN2，即POeq\o\al(2,1)－1＝2(POeq\o\al(2,2)－1)，即POeq\o\al(2,1)＋1＝2POeq\o\al(2,2)，所以(x＋2)2＋y2＋1＝2[(x－2)2＋y2]，整理得x2＋y2－12x＋3＝0，即为所求点P的轨迹方程．【变式演练】【变式1】（2223高二上·湖北随州·期中）如图，已知圆，点为直线上一动点，过点引圆的两条切线，切点分别为，．已知直线过定点，则定点的坐标是；线段中点的轨迹方程为．【答案】【分析】（1）根据圆与圆的性质可得直线的方程，从而求得所过的定点；（2）求直线和的交点即为的中点.【详解】（1）因为是圆的两条切线，所以，，所以四点共圆，连接，设中点为，如图所示：圆①，可化为，故圆心，半径，所以，，圆的半径，故圆的方程为：，即②，易知线段是圆和圆的公共弦，由，两式相减得：，即直线的方程为：，当时，，故直线经过定点.（2），所以直线的方程为：，即，联立，消得：由圆的性质得：线段的中点即为直线与的交点，且，故线段的中点的轨迹方程为：.故答案为：；【变式2】（2122高二上·江苏南通·阶段练习）过直线上一点作圆的切线，切点为，则直线过定点，若的中点为，则点的轨迹方程为【答案】【分析】设，求的以为圆心为半径的圆的方程，由此求得直线的方程，进而求得定点坐标；设出点坐标，利用勾股定理求得点的轨迹方程.【详解】设，圆的圆心为，半径，则，故以为圆心，半径为的圆的方程为：，即，①，圆②，②①并化简得直线的方程为：，也即，所以，所以定点坐标为.设，由于是弦的中点，所以，设定点为，则，即，化简得，所以点的轨迹方程为.故答案为：；【变式3】（2324高二上·内蒙古赤峰·阶段练习）（1）已知线段AB的端点B的坐标是，端点A在圆上运动，求线段AB中点M的轨迹方程；（2）已知圆C的直径，动点M与点A的距离是它与点B的距离的倍，求点M的轨迹，并判断该轨迹与圆C的位置关系.【答案】（1）；（2），相交【分析】（1）根据题意设线段AB中点M的坐标为，用表示端点A的坐标，代入圆的方程整理即可得结果；（2）以AB中点为坐标原点建系，设，根据题意求点点M的轨迹，并结合两圆的位置关系分析判断.【详解】（1）设线段AB中点M的坐标为，因为端点B的坐标是，则端点A的坐标是，且端点A在圆上，则，整理得，所以线段AB中点M的轨迹方程为.（2）以AB中点为坐标原点建系，则，圆C的圆心为，半径，设，因为，则，整理得，可知点M的轨迹为以为圆心，半径的圆，又因为，所以两圆相交.

【单元测试】一、单选题1．（2324高二上·北京顺义·期末）圆：与圆：的位置关系是（

）A．外离 B．外切 C．相交 D．内切【答案】A【分析】根据圆心距大于半径之和，得到位置关系.【详解】圆：的圆心为，半径为1，圆：的圆心为，半径为3，圆心距，故两圆外离.故选：A2．（2324高二下·河南·阶段练习）若直线与圆相切，则圆的半径为（

）A．2 B．4 C． D．8【答案】C【分析】由圆心到直线的距离等于半径列方程即可得解.【详解】依题意，，解得（负值舍），所以圆的半径为.故选:C.3．（2324高二上·江苏泰州·期末）设，若圆与圆有公共点，则的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据两圆心距离与半径和与差的关系列不等式求解.【详解】圆，圆心为，半径为，圆，圆心为，半径为，若圆与圆有公共点，则，又，所以.故选：D4．（2223高二上·云南昆明·期中）直线与轴，轴分别交于点、，以线段为直径的圆的方程为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据直线方程求出、点的坐标，从而求出的中点即为圆心，长的一半为半径，利用圆的标准方程直接写出，再化为一般方程即可.【详解】直线，即，与轴，轴分别交于点、，则的中点为，且，所以以线段为直径的圆的方程为，即.故选：B5．（2324高二上·辽宁·阶段练习）若圆经过点，，且圆心在直线上，则圆的方程为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】用待定系数法设出圆的标准方程，结合题意计算即可得.【详解】设该圆方程为，则圆心为，有，将点，代入，有，化简得，两式相减得，即有，则，，故该圆方程为.故选：B.6．（2324高二下·四川雅安·开学考试）已知直线和圆，则下列结论中错误的是（

）A．直线过定点 B．直线与圆有两个交点C．存在直线与直线垂直 D．直线被圆截得的最短弦长为【答案】D【分析】对于A，只需将直线的方程整理成关于的方程，依题即得；对于B，因A项得到的直线过的定点恰在圆内，故直线必与圆相交；对于C，利用两直线垂直可求得，即说明存在这样的直线；对于D，利用直线过的定点恰在圆内，只需使时即得最短弦长.【详解】对于A项，由直线方程可整理为：，因,故需使，即直线过定点，故A项正确；对于B项，由A项知直线过定点，而该点到圆心的距离为，而，即点A在圆内，故直线与圆有两个交点，故B项正确；对于C项，直线的斜率为，直线的斜率为，由可得，即时，，故C项正确；对于D项，如图，因直线过定点，要使直线被圆截得的弦长最短，需使弦心距最长，易知当且仅当时弦心距最长，此时弦心距即为，最短弦长为，故D项错误.(说理如下：过点作直线，交圆于点,过点作，垂足为，在中，显然,而,其中为圆的半径，则易得，即是直线与圆相交最短的弦长)故选：D.7．（2324高二下·浙江·开学考试）若圆与圆只有一个交点，则实数的值可以是（

）A．1 B．2 C．1 D．2【答案】D【分析】利用圆和圆的位置关系求解参数即可.【详解】易知圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径，由题意得圆与圆只有一个交点，可得两圆内切或外切，易得圆心距，半径差与和分别为或，当两圆内切时，解得或，当两圆外切时，无解，结合选项故选：D8．（2223高二下·安徽安庆·开学考试）若M、N为圆上任意两点，P为直线上一个动点，则的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先判断直线与圆的位置关系，再过点P作圆的两条切线，由图形可得，从而利用直线上的动点到圆心的最小距离求得的最大值，由此得解.【详解】因为圆的圆心为，半径为，所以圆心到直线的距离为，所以直线与圆相离，设PA、PB是过点P圆的两切线，且A、B为切点，如图，显然，当PM，PN为两切线时取等号；因为PA、PB是过点P圆的两切线，所以，，由圆的对称性易得，显然是锐角，在中，，又，所以，所以，∴．故选：B．.【点睛】关键点睛：本题解题的突破口是通过过点作圆的切线，化三动点问题为一动点问题，从而利用直线上的动点到圆心的最小距离求得的最大值，由此得解.二、多选题9．（2324高二上·安徽滁州·期末）若直线与圆有公共点，则实数的取值可能是（

）A．0 B．2 C．3 D．4【答案】AB【分析】利用直线和圆的位置关系求解参数范围即可.【详解】直线恒过定点，圆的圆心为，半径为2，显然点在圆外，直线与圆有公共点，则圆心到直线的距离，解得.故选：AB10．（2324高二下·甘肃武威·开学考试）已知直线：，圆：，则（

）A．圆的半径为B．圆心坐标为C．当直线平分圆时D．当直线与圆相切时，或【答案】BC【分析】圆的一般方程化成标准方程，得圆心坐标和半径判断选项AB，由直线过圆心计算的值判断选项C，由直线与圆相切的条件判断选项D.【详解】圆：，化成标准方程为，则圆心坐标为，B选项正确；圆的半径为，A选项错误；当直线平分圆时，直线过圆心，则有，解得，C选项正确；直线：，过定点，因为，则点在圆内，所以直线与圆不可能相切，D选项错误.故选：BC11．（2324高二下·内蒙古通辽·期中）已知直线：和圆：，则（

）A．存在k使得直线与直线：垂直B．直线恒过定点C．直线与圆相交D．直线被圆截得的最短弦长为【答案】ACD【分析】对于A：根据直线方程可得斜率，结合垂直关系分析判断；对于B：将直线方程化为，即可得定点；对于C：判断定点与圆的位置关系，即可判断直线与圆的位置关系；对于B：根据题意结合圆的性质分析求解.【详解】由题意可知：圆：的圆心为，半径，对A：因为直线：的斜率为，当直线的斜率为时，此时直线与直线垂直，满足题意，A正确；对B：由可得，，令，解得，所以直线恒过定点，故B错误；对C：因为定点到圆心的距离为，所以定点在圆内，所以直线与圆O相交，C正确；对D：直线恒过定点，圆心到直线的最大距离为，此时直线被圆O截得的弦长最短为，D正确；故选：ACD.三、填空题12．（2324高二上·上海·课后作业）填空：（1）“且”是“表示圆的方程”的条件．（2）直线与圆的位置关系是．【答案】必要不充分相切【分析】（1）根据圆的一般方程的概念求解；（2）根据直线与圆的位置关系的判断方法求解.【详解】（1）因为“表示圆的方程”时，且且,所以“且”是“表示圆的方程”的必要不充分条件.（2）把圆方程化为标准方程可得,所以圆心为，半径为,所以圆心到直线的距离为，所以直线和圆相切.故答案为:必要不充分；相切.13．（2324高二上·广东佛山·阶段练习）写出与圆和圆都相切的一条直线的方程：.【答案】（或，填一条即可）【分析】先判断出圆与圆相交，作出图象，结合图象可得一条公切线方程为，另一条公切线与直线关于直线对称，用点斜式设出另一条直线，则有，求解即可.【详解】解：由已知得到两圆的圆心分别为,半径分别为.因为，所以5，圆与圆相交，则圆与圆的公切线有两条，如图所示：根据图象可以直接观察出一条公切线方程为，直线的方程为，根据图形的对称性知另一条公切线与直线关于直线对称.易知直线与直线的交点为，设另一条公切线的方程为，即，原点到其距离为，所以，则另一条公切线的方程为.故答案为：（或，填一条即可）14．（2324高二下·上海·阶段练习）已如直线和曲线只有一个公共点，则实数的取值范围.【答案】或【分析】先对曲线进行变形，结合的取值范围，可得其图象为以为圆心，为半径的圆的下半部分，画出曲线及直线的图象，采用数形结合，列出等式即可求得结果.【详解】因为曲线，所以，解得，曲线可化为，两边同时平方有，，即，所以曲线是以为圆心，为半径的圆的一部分，而直线，所以直线的斜率为1，画图象如下：由于直线与曲线只有一个公共点，当直线过时，即，解得，当直线过时，即，解得，由图象可知，当直线与圆相切时：，解得或，而即为在轴上的截距，由图象可知，综上：或.故答案为：或.四、解答题15．（2024高二·全国·专题练习）已知两圆和.(1)当a为何值时，两圆外切？(2)当时，试判断两圆的位置关系.【答案】(1)或(2)两圆相交【分析】（1）把两圆的一般方程转化为标准方程，在根据两圆外切的条件列式求解即可.（2）把代入方程直接判断两圆位置关系即可.【详解】（1）将两圆的方程写成标准方程为，，所以两圆的圆心和半径分别为，，两圆的圆心距为，当两圆外切时，，即，解得或.（2）当时，，所以两圆相交.16．（2324高二上·湖北十堰·阶段练习）已知圆的圆心在直线上，圆心在第一象限，该圆与轴相切，且圆过点，直线的方程为.(1)求圆的标准方程；(2)证明：直线与圆相交；(3)当直线被圆截得的弦长最短时，求直线的方程及最短弦长.【答案】(1)(2)证明见解析(3)，.【分析】（1）设出圆C的标准方程，根据题意建立方程组，即可解出；（2）通过变形求出直线所过定点的坐标，判断定点与圆C的位置关系，进而得证；（3）结合图象，判断出直线与定点和圆心连线垂直时弦长最短，求出此时直线的斜率，利用点斜式即可求出直线的方程，从而利用垂径定理求出最短弦长.【详解】（1）设圆的方程为；由已知可得：，所以圆的方程为；把点代入上式，得，解得，所以圆的标准方程为：.（2）证明：直线：，可化为，又，所以，解得，即直线恒过定点.而，所以定点在圆内，故直线：与圆相交.（3）由题意，直线被圆截得弦长最短时，直线，设直线的斜率为，且直线的斜率为，所以，得，故的方程为，即为.圆心到的距离为，此时弦长为：.17．（2324高二上·湖北·期末）已知点P为圆C：上的动点，点A的坐标为，若(1)当时，求B的轨迹方程；(2)讨论B的轨迹与C的位置关系．【答案】(1)(2)答案见解析【分析】（1）根据相关点法，即可结合向量的坐标运算求解，（2）根据两圆的半径与圆心距之间的关系即可求解.【详解】（1）设，，，，由，可得，，，又因为，可得B的轨迹方程为：（2）由，可得，，，代入，可得B的轨迹方程为：，所以B的轨迹是以为圆心设为，为半径的圆，所以当时，，两圆外离；当时，，两圆外切；当时，，两圆相交．18．（2223高二上·湖南益阳·阶段练习）如图，已知圆，点为直线上一动点，过点引圆的两条切线，切点分别为，．(1)求直线的方程，并判断直线是否过定点若是，求出定点的坐标，若不是，请说明理由；(2)求线段中点的轨迹方程；(3)若两条切线，与轴分别交于，两点，求的最小值．【答案】(