专题拓展指数型与对数型复合函数（技巧解密6考点过关检测）

专题拓展：指数型与对数型复合函数一、复合函数的概念如果函数的定义域为，函数的定义域为，值域为，则当时，函数为与在上的复合函数，其中叫做内层函数，叫做外层函数．二、复合函数的单调性1、复合函数单调性的规律：“同增异减”若内外两层函数的单调性相同，则它们的复合函数为增函数；若内外两层函数的单调性相反，则它们的复合函数为减函数．2、具体判断步骤（1）求出原函数的定义域；（2）将复合函数分解为内层函数和外层函数；（3）分析内层函数和外层函数的单调性；（4）利用复合函数法“同增异减”可得出结论．三、复合函数的值域求解1、指数型复合函数值域的求法（1）形如（，且）的函数求值域：令，将求原函数的值域转化为求的值域，但要注意“新元”的范围．（2）形如（，且）的函数求值域：令，先求出的值域，再利用的单调性求出的值域．2、对数型复合函数值域的求法（1）形如（，且）的函数求值域：令，先求出的值域，再利用在上的单调性，再求出的值域．（2）形如（，且）的函数的值域：令，先求出的值域，再利用的单调性求出的值域．考点一：判断复合函数的单调性例1．（2324高一上·河北石家庄·月考）已知函数，则函数的递增区间为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】令，则函数在上单调递减，在单调递增，而函数在上单调递增，所以函数在上单调递减，在单调递增.故选：D【变式11】（2223高一上·广东·期末）函数的单调递增区间为.【答案】【解析】设，则，对称轴为，当，即，即，即时，为减函数，函数为增函数，则为减函数，即函数单调减区间为；当，即，即，即时，为减函数，函数为减函数，则为增函数，即函数单调增区间为.故答案为：【变式12】（2324高一下·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知函数，则函数的减区间是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为函数在定义域上单调递减，故函数的减区间即为函数的增区间，所以，解得，即函数的减区间是.故选：D.【变式13】（2324高一上·广东广州·期末）函数的单调递增区间为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由不等式，即，解得或，又由函数在单调递减，在单调递增，因为在定义域上为单调递增函数，结合复合函数单调性的判定方法，可得函数的单调递增区间为.故选：D.考点二：根据复合函数的单调性求参数例2.（2324高一上·黑龙江哈尔滨·期中）函数在上单调递增，则实数a的取值范围是．【答案】【解析】设，函数在上单调递增，函数在单调递增，故在上单调递增，故.故答案为：.【变式21】（2324高一上·辽宁沈阳·月考）已知函数在区间上是增函数，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由题意知函数由复合而成，在上为增函数，由复合函数的同增异减性，可知需为R上的增函数，故，∴，∴或，故选：D.【变式22】（2324高一上·江苏连云港·月考）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】令，因为为增函数，函数在上单调递减，所以在上单调递减，且，所以，解得，故选：C【变式23】（2324高一上·湖北·期末）若函数在区间内单调递增，则实数m的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由已知得，解之得，即的定义域为，又在区间内单调递增，根据复合函数的单调性，可得：，解得．故选：D考点三：求复合函数的最值或值域例3.（2324高一上·浙江杭州·月考）函数的值域为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】函数的定义域为R，令，则，又在上单调递增，则，则函数的值域为故选：B【变式31】（2324高一上·重庆·期末）函数的值域是.【答案】【解析】依题意，，当且仅当时取等号，而函数在R上单调递减，因此，所以函数的值域是.故答案为：【变式32】（2324高一上·福建三明·期中）函数在时的值域是．【答案】【解析】当时，，函数，显然当，即时，，当，即时，，所以所求值域是.故答案为：【变式33】（2223高一上·山东·月考）已知对数函数，并且它的图象过点.(1)求的解析式；(2)若，，求的值域.【答案】(1)；(2)【解析】（1）设（，且）的图像过点，，即，，即，；（2）令，，函数转化为函数，该函数图象开口朝上，对称轴为，当时，有最小值，，当时，有最大值，，的值域为考点四：根据复合函数的最值/值域求参例4.（2324高一上·四川成都·期末）已知函数的值域为，的值域为，则（

）A．0 B．1 C．3 D．5【答案】A【解析】因为函数的值域为，所以函数的值域为，所以，解得，因为的值域为,，所以的最小值为9，所以，解得，所以．故选：A．【变式41】（2324高一上·江苏南京·期末）已知函数在上的值域为，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】设，因为的值域为，所以，又，，所以，即，解得：且，所以实数的取值范围是.故选：D.【变式42】（2324高一上·山西长治·期末）已知函数的最大值为2，则．【答案】6【解析】因为函数由与复合而成，而在定义域上单调递增，所以当取最大值时，函数取得最大值，由二次函数的性质易知当时，，此时，所以，解得．故答案为：【变式43】（2223高一下·青海西宁·开学考试）若函数的值域为，则a的取值范围是.【答案】【解析】若，则，不满足题意；若，则，当，即时，的值域为，满足题意.故答案为：.考点五：复合函数的奇偶性及应用例5.（2324高一上·新疆伊犁·期中）已知是奇函数，则（

）A． B． C． D．1【答案】A【解析】由函数，可得，因为是奇函数，所以，即，解得.故选：A.【变式51】（2324高一上·辽宁·月考）设且，若函数是上的奇函数，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由于函数是上的奇函数，故，即，故，即，因为，故，故选：A【变式52】（2324高一上·广东汕头·期末）函数（a为常数）的奇偶性为（

）A．奇函数 B．偶函数C．非奇非偶函数 D．都不是【答案】A【解析】根据题意，设，其定义域为，所以函数f（x）为奇函数，故选：A．【变式53】（2324高三上·福建莆田·月考）若函数为偶函数，则（

）A．1 B．0 C． D．1【答案】B【解析】因为为偶函数，，则有，解得，经验证时，符合条件，故选：B.考点六：与复合函数有关的不等式例6.（2324高一上·广东肇庆·期末）已知函数是定义在上的偶函数，当时，.(1)求的解析式；(2)解不等式.【答案】(1)；(2)【解析】（1）当时，，所以，所以，所以.（2）由（1）及对数复合函数单调性知：，整理得，所以，所以不等式的解集为.【变式61】（2324高一上·江西九江·期末）已知函数是定义域为的奇函数.(1)求并判断的单调性；(2)解关于的不等式.【答案】(1)，在上单调递减；(2)．【解析】（1）由题意，，此时，，是奇函数，设任意两个实数满足，则，因为，所以，所以，又，所以，即，所以在上单调递减；（2）因为是奇函数，因此原不等式化为，又在上单调递减，所以不等式化为，即，所以，又，故解得，所以原不等式的解集为．【变式62】（2324高一上·辽宁大连·期末）已知定义域为R的函数是奇函数.(1)求a的值；(2)试判断的单调性，并用定义证明；(3)解关于x的不等式.【答案】(1)；(2)单调递增，证明见解析；(3)【解析】（1）因为是奇函数，且定义域为R，则，解得；所以，检验：当时，，所以函数是奇函数，所以；（2）在R上单调递增，证明：，且，都有，因为，所以，所以，，所以，即，所以在R上单调递增；（3），因为是奇函数，所以，因为在R上单调递增，所以，解得，所以，即不等式的解集为.【变式63】（2324高一上·广东深圳·期末）已知函数的定义域为，对任意都有，，且当时，.(1)求；(2)已知，且，若，求的取值范围.【答案】(1)，；(2)【解析】（1）令得，，令，得，，令，得，；（2）任意，设，则，时，，，，是上的减函数，中，令得，故为奇函数，，且，又，，，即，则，当时，，则，即，故；当时，，则，即，则；综上，的取值范围为一、单选题1．（2223高一上·河北石家庄·月考）函数的值域为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】二次函数开口向下，当时，最大值为，函数是单调递减函数，所以的值域为.故选：B.2．（2324高一上·浙江杭州·期中）函数的值域为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】，设，则，故函数的值域为.故选：C3．（2324高一上·湖南娄底·期末）函数的单调递增区间是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意，令，解得，即函数的单调递增区间是.故选：D.4．（2324高一上·广东佛山·月考）函数的单调递减区间为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】令，则t在上递减，在上递增，又在R上递增，所以的单调递减区间为，故选：B5．（2324高一上·山东济宁·月考）已知在上是减函数，则实数a的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】令，则，因为在上是减函数，由复合函数的单调性知，函数与的单调性相反；又因为单调递减，所以需在上单调递增.函数的对称轴为，所以只需要，故选:A.6．（2324高三下·广东·一模）已知函数是奇函数，则的最小值为（

）A．3 B．5 C． D．【答案】C【解析】令，得，故函数的定义域为．因为是奇函数，则其定义域关于原点对称，可得，即，此时，可得，可得是奇函数，即符合题意；故，当且仅当，即，时等号成立，故的最小值为，故选：C．二、多选题7．（2324高一下·辽宁葫芦岛·开学考试）已知函数则下列说法正确的有（

）A．当时，函数的定义域为B．函数有最小值C．当时，函数的值域为RD．若在区间上单调递增，则实数a的取值范围是【答案】AC【解析】对于A，当时，，令，解得或，则的定义域为，故A正确；对于B、C，当时，的值域为R，无最小值，故B错误，C正确；对于D，若在区间上单调递增，则在上单调递增，且当时，，则，解得，所以实数a的取值范围是，故D错误.故选：AC8．（2324高一上·湖北荆州·期中）已知函数，则（

）A．在上单调递增B．的值域为C．不等式的解集为D．若在上单调递减，则实数的取值范围为【答案】ACD【解析】函数在上单调递增，在上的值域为，而函数在上单调递增，所以函数在上单调递增，，A正确，B错误；不等式，解得，C正确；依题意，函数，显然在上单调递减，而函数在上单调递增，则函数在上单调递减，因此，即，解得，即实数的取值范围为，D正确.故选：ACD三、填空题9．（2122高一上·山西忻州·期末）函数的值域为R，则a的取值范围为【答案】【解析】令，因为函数的值域为R，所以为函数值域的子集，则，所以a的取值范围为.故答案为：10．（2324高一上·广东茂名·期中）函数的值域是.【答案】【解析】令，则，因为，则，且的对称轴为，可知，所以的值域是.故答案为：.11．（2122高一上·山东枣庄·期中）设，且，函数在上的最大值为，则实数的值为.【答案】或【解析】令且，则，且，，函数是上的增函数；当，时，，，即，解得：或（舍）；当，时，，，即，解得：或（舍）；综上所述：实数的值为或.故答案为：或.四、解答题12．（2324高一上·甘肃威武·月考）已知函数．(1)若，求的单调区间(2)若有最大值3，求的值(3)若的值域是，求的值【答案】(1)函数的单调递增区间是，单调递减区间是；(2)1；(3)0.【解析】（1）当时，，令，由在上单调递增，在上单调递减，而在R上单调递减，所以在上单调递减，在上单调递增，即的单调递增区间是，单调递减区间是．（2）令，，由于有最大值3，所以应有最小值，因此必有．解得，即有最大值3时，a为1．（3）由指数函数的性