【寒假自学课】2024年八年级数学寒假提升学与练（沪教版）专题06 一次函数的应用（3大考点+5种题型）（原卷版）

专题06一次函数的应用（3大考点+5种题型）思维导图核心考点与题型分类聚焦考点一：一次函数与几何图形的面积问题考点二：一次函数的优化问题考点三：.用函数图象解决实际问题题型一：一次函数与反比例函数综合题型二：分配方案问题(一次函数的实际应用)题型三：最大利润问题(一次函数的实际应用)题型四：行程问题(一次函数的实际应用)题型五：几何问题(一次函数的实际应用)考点一：一次函数与几何图形的面积问题首先要根据题意画出草图，结合图形分析其中的几何图形，再求出面积．考点二：一次函数的优化问题通常一次函数的最值问题首先由不等式找到x的取值范围，进而利用一次函数的增减性在前面范围内的前提下求出最值．考点三：.用函数图象解决实际问题从已知函数图象中获取信息，求出函数值、函数表达式，并解答相应的问题．题型一：一次函数与反比例函数综合【例1】．（2023下·上海·八年级专题练习）一次函数分别与轴、轴交于A、两点，点为反比例函数（）图象上一点，过点作轴的垂线交直线交于，作交直线于若，则的值为．【变式1】．（2023下·上海·八年级专题练习）一次函数与反比例函数的图像交于和两点，若，则x的取值范围是．【变式2】．（2023下·上海·八年级专题练习）如图，直线y＝ax＋b与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B（0，﹣2），与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点C（6，m）．

(1)求直线和反比例函数的表达式；(2)连接OC，在x轴上找一点P，使S△POC＝2S△AOC，请求出点P的坐标．【变式3】．（2023上·上海·九年级校考阶段练习）已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于A、B两点．求：(1)若点A的横坐标是，求反比例函数解析式和点B的坐标；(2)当k满足什么条件时，这两个函数在同一直角坐标系中的图象有两个交点．【变式4】．（2021下·上海浦东新·八年级校考期中）如图，一次函数的图象与反比例函数（m为常数）的图象交于点和．

(1)求一次函数的解析式．(2)求的面积．(3)若点E是x轴上一动点，且，请直接写出点E的坐标．【变式5】．（2023下·上海长宁·八年级上海市延安初级中学校考期中）如图，在直角坐标平面内，直线经过，且分别与y轴、双曲线交于点B、点．

(1)分别求k与m的值；(2)向下平移直线，使得新的直线分别与y轴、双曲线交于点D、点E．如果，求点E的坐标．【变式6】．（2023下·上海·八年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，一次函数图象与反比例函数图象交于A，B两点，与x轴交于点C，已知点，点B的横坐标为．(1)求一次函数与反比例函数的解析式，(2)若点D是x轴上一点，且，求点D坐标；(3)当时，直接写出自变量x的取值范围．题型二：分配方案问题(一次函数的实际应用)【例2】．（2021·上海嘉定·统考二模）张先生准备租一处房屋开一家公司．现有甲、乙两家房屋出租，甲家房屋已装修好，每月租金3000元；乙家房屋没有装修，每月租金2000元，但要装修成甲家房屋的模样，需要花费40000元．请你自行定义变量，建立函数，并利用与函数有关的知识帮助张先生设计一个租房方案（备注：只从最省钱的角度设计租房方案，写出具体的解题过程）．【变式1】．（2021下·上海·八年级上外附中校考期末）学校计划在总费用2800元的限额内，租用客车接送204名师生（其中包括6名教师）到校外参加活动，要求师生都有座位，且每辆客车上至少要有1名教师．现有标准型和舒适型两种客车，它们的载客量和租金如表：标准型舒适性载客量（单位：人/辆）4028租金（单位：元/辆）500350（1）求一共需租多少辆客车？说明理由；（2）设租用x辆标准型车，求租车的总费用y（单位：元）关于x的函数关系式及x的取值范围，并说明最省钱的租车方案及租金．【变式2】．（2021上·上海虹口·八年级统考期末）某通讯公司推出①、②两种通讯收费方式供用户选择，其中①有月租费，②无月租费，两种收费方式的通讯时间x（分钟）与收费y（元）之间的函数关系图象均为直线，如图所示．请根据图象回答下列问题：（1）当通讯时间为500分钟时，①方式收费元，②方式收费元；（2）②收费方式中y与x之间的函数关系式是；（3）如果某用户每月的通讯时间少于200分钟，那么此用户应该选择收费方式是（填①或②）．【变式3】．（2022下·上海·八年级专题练习）为了保护环境，某企业决定购买10台污水处理设备，现有A，B两种型号的设备，其中每台的价格，月处理污水量及年消耗费如下表：A型B型价

格（万元／台）1210处理污水量（吨／月）240200年消耗费（万元／台）11经预算，该企业购买设备的资金不高于105万元．(1)求购买设备的资金y万元与购买A型x台的函数关系，并设计该企业有几种购买方案；(2)若企业每月产生的污水量为2040吨，利用函数的知识说明，应选择哪种购买方案；(3)在第（2）问的条件下，若每台设备的使用年限为10年，污水厂处理污水费为每吨10元，请你计算，该企业自己处理污水与将污水排到污水厂处理相比较，10年节约资金多少万元？（注：企业处理污水的费用包括购买设备的资金和消耗费）．题型三：最大利润问题(一次函数的实际应用)【例3】．（2022下·上海·八年级专题练习）某公司分别在A，B两城生产同种产品，共100件．A生产的产品总成本y（万元）与产品数量x（件）之间具有函数关系y=kx+b．当x=10时，y=130；当x=20时，y=230．B城生产的产品每件成本为60万元，若B城生产的产品数量至少比A城生产的产品数量多40件．(1)求k，b的值；(2)当A，B两城生产这批产品的总成本的和最少时，求A，B两城各生产多少件？(3)从A城把该产品运往C，D两地的费用分别为m万元/件和3万元/件；从B城把该产品运往C，D两地的费用分别为1万元/件和2万元/件．C地需要90件，D地需要10件，在（2）的条件下，直接写出A，B两城总运费的和的最小值（用含有m的式子表示）．【变式1】．（2021下·上海徐汇·八年级位育中学校考期中）疫情期间，甲厂欲购买某种无纺布生产口罩，A、B两家无纺布公司各自给出了该种无纺布的销售方案．A公司方案：无纺布的价格y（万元）与其重量x（吨）是如图所示的函数关系；B公司方案：无纺布不超过30吨时，每吨收费2万元；超过30吨时，超过的部分每吨收费1.9万元．（1）求如图所示的y与x的函数解析式；（不要求写出定义域）（2）如果甲厂所需购买的无纺布是40吨，试通过计算说明选择哪家公司费用较少．【变式2】．（2022下·上海·八年级期中）某年，埃博拉病毒在非洲肆虐，某制药厂研制出一种提高免疫力的药品，为赶制这批紧销药品投放市场，立即组织100名工人进行生产，已知生产这种药品有两道工序：一是由原材料生产半产品，二是由半产品生产出药品．由于半产品不易保存，剩余半成品当天必须卖给附近大厂，每名工人每天可生产半成品30千克或由半成品生产药品4千克（两项选一项），每2千克半成品只能生产1千克药品．若药品出厂价为30元/千克，半成品价格为3元/千克．(1)设厂长每天安排x名工人生产半成品，销售药品收入y1元，请用x的代数式表示销售药品收入y1；设当天剩余半成品全部卖出收入为y2元，请用x的代数式表示y2，并求出这个问题中x的取值范围．(2)为了使每天收益最大，请你帮厂长策划：每天安排多少名工人生产半产品？并求出这个最大收益．【变式3】．（2022上·上海·八年级专题练习）近几年，全社会对空气污染问题越来越重视，空气净化器的销量也在逐年增加．某商场从厂家购进了A，B两种型号的空气净化器，两种净化器的销售相关信息如表：A型销售数量（台）B型销售数量（台）总利润（元）51025001052750(1)每台A型空气净化器的销售利润是元；每台B型空气净化器的销售利润是元；(2)该商场计划一次购进两种型号的空气净化器共80台，其中B型空气净化器的进货量不少于A型空气净化器的2倍，为使该商场销售完这80台空气净化器后的总利润最大，那么应该购进A型空气净化器台；B型空气净化器台．(3)已知A型空气净化器的净化能力为300m3/小时，B型空气净化器的净化能力为200m3/小时．某长方体室内活动场地的总面积为300m2，室内墙高3m．该场地负责人计划购买7台空气净化器，每天花费30分钟将室内空气净化一新，如不考虑空气对流等因素，他至少要购买A型空气净化器多少台？题型四：行程问题(一次函数的实际应用)【例4】．（2021下·上海闵行·八年级校考期中）甲、乙两车从城出发匀速行驶至城，在整个行驶过程中，甲、乙两车离开城的距离与甲车行驶的时间之间的函数关系式如图所示．

有下列结论：①两城相距；②乙车比甲车晚出发，却早到；③乙车出发后追上甲；④当甲、乙两车相距时，甲车行驶了．其中正确的结论有（

）．A．个 B．个 C．个 D．个【变式1】．（2023下·上海虹口·八年级上外附中校考期末）甲乙二人登山，均从距离地面0米处出发，甲乙二人距离地面的高度y（米）关于甲出发时间x（分钟）的函数图像如图所示，已知甲在出发2分钟后将速度提升为原来的3倍并一路登顶，乙始终保持匀速前进．根据图像判断，以下说法正确的有几个？（

）

（1）山的高度为340米（2）甲乙二人不同时出发（3）甲登顶的时间为自己出发后7分钟（4）乙出发分钟后登顶（5）甲出发5分钟后追上乙A．5个 B．4个 C．3个 D．2个【变式2】．（2021下·上海浦东新·八年级校考期中）已知A，B两地之间的距离为400千米，甲、乙两车同时从A城出发沿着一公路驶向B城，已知甲车去的时候平均速度是100千米/时，甲车到达B城1小时后沿原路返回，如图是两车离A城的路程y（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数图象.

(1)图中________________，________________.(2)甲车返回过程中y与x之间的函数解析式是________________________________.(3)若乙车行驶6小时与返回的甲车相遇，则点C的坐标是________________，乙车到达B地共用了________________小时.【变式3】．（2023下·上海宝山·八年级校考期中）一辆快车从甲地驶往乙地，一辆慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，匀速行驶.设行驶的时间为x（小时），两车之间的距离为y（千米），图中的折线表示从两车出发至快车到达乙地过程中y与x之间的函数关系．根据图中信息，解答下列问题：

(1)当______时，两车相遇；(2)求线段所在直线的函数解析式和甲乙两地之间的距离；(3)已知两车相遇时快车比慢车多行驶40千米，若快车从甲地到达乙地所需时间为t小时，求t的值．【变式4】．（2023下·上海青浦·八年级统考期末）已知甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，沿同一条公路相向而行，甲车先以75千米/时的速度匀速行驶150千米后与乙车相遇，再以另一速度继续匀速行驶3小时到达B地；乙车匀速行驶至A地，两车到达各自的目的地后停止．甲、乙两车各自距A地的路程y（km）与行驶时间x（h）之间的函数关系如图所示．

(1)求两车相遇后，甲车距A地的路程y与行驶时间x之间的函数关系式；(2)当乙车到达A地时，求甲车距A地的路程．【变式5】．（2023下·上海宝山·八年级统考期末）元朝朱世杰的《算学启蒙》一书记载了一个数学问题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之．”它的大意是∶“良马每天行里，劣马每天行里，劣马先行天，良马需要多少天才能追上劣马？”如图，是良马与驽马行走路程(单位∶里)关于行走时间(单位∶日)的函数图象．(1)射线记为，射线记为，那么良马行走路程关于行走时间的函数图象是____________；(填或)(2)两图象交点的坐标是____________；(3)求良马行走路程关于行走时间的函数解析式．题型五：几何问题(一次函数的实际应用)【例5】．（2023下·上海宝山·八年级校考期中）在平面直角坐标系中，直线经过点，且平行于直线．(1)若这条直线经过点，求的值；(2)求由直线、直线与轴围成的三角形的面积．【变式1】．（2022上·上海青浦·八年级校考期末）如图，平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点、点．(1)求直线的表达式；(2)设点C为线段上一点，过点C分别作轴、轴，垂足分别为D、E，当平分时，求点C的坐标．【变式2】．（2023上·上海金山·八年级校考期中）已知，如图，在平面直角坐标系中，正比例函数图象上有一点，点在轴上，作直线，与轴交于点，且．

(1)求正比例函数的解析式；(2)求点的坐标；(3)在直线上是否存在一点，使的面积等于的面积？若存在，请求出点的坐标，请说明理由．【变式3】．（2022上·上海青浦·八年级校考期末）已知：如图，在中，，，，点是边的中点．点是射线上的一动点（点不与点重合），点在的延长线上，且，，垂足为点，交边于点(1)求证：；(2)当点在线段上时，设，，求关于的函数解析式，并指出函数的定义域；(3)当时，直接写出的长【变式4】．（2021下·上海闵行·八年级校考期中）已知一次函数的图像与轴、轴分别相交于两点．

(1)求点的坐标和的度数．(2)点分别是线段上一动点，且，如果，求点的坐标．(3)点分别是射线上一动点，且，当为等腰三角形时，直接写出点坐标．一．选择题（共5小题）1．（2021春•松江区月考）一根蜡烛长，点燃后每小时燃烧，燃烧时蜡烛剩余的长度和燃烧时间（小时）之间的函数关系用图象可以表示为图中的A．B． C． D．2．（2021春•嘉定区校级月考）小高从家门口骑车去单位上班，先走平路到达地，再上坡到达地，最后下坡到达工作单位，所用的时间与路程的关系如图所示．那么，小高上班时下坡的速度是A．千米分 B．2千米分 C．1千米分 D．千米分3．（2020春•奉贤区期末）某公司急需用车，准备与出租车公司签订租车合同，以每月行驶千米计算，甲出租车公司的月租费用是元，乙出租车公司的月租车费用是元，如果这两个函数的图象如图所示，那么下列说法错误的是A．每月行驶1500千米时，两家公司的租车费用相同 B．每月行驶750千米时，甲公司的租车费用为150元 C．每月行驶超过1500千米时，租用乙公司的车合算 D．每月行驶3000千米时，租用乙公司的租车费用比甲公司多100元4．（2021春•崇明区期末）小张、小王两个人从甲地出发，去8千米外的乙地，图中线段、分别反映了小张、小王步行所走的路程（千米）与时间（分钟）的函数关系，根据图象提供的信息，小王比小张早到乙地的时间是分钟．A．4 B．6 C．16 D．105．（2021春•浦东新区月考）周末，小明骑自行车从家里出发去游玩．从家出发1小时后到达迪诺水镇，游玩一段时间后按原速前往万达广场．小明离家1小时50分钟后，妈妈驾车沿相同路线前往万达广场．妈妈出发25分钟时，恰好在万达广场门口追上小明．如图是他们离家的路程与小明离家时间的函数图象，则下列说法中正确的是A．小明在迪诺水镇游玩后，经过到达万达广场 B．小明的速度是，妈妈的速度是 C．万达广场离小明家 D．点的坐标为，二．填空题（共9小题）6．（2022春•徐汇区期末）如果购买荔枝所付金额（元与购买数量（千克）之间的函数图象由线段与射线组成（如图所示），那么购买3千克荔枝需要付元．7．（2022春•静安区校级期中）已知弹簧在一定限度内，它的长度（厘米）与所挂重物质量（千克）是一次函数关系．如果经过测量，不挂重物时弹簧长度是7（厘米），挂上2.5千克重物时弹簧长度是8（厘米），那么弹簧长度（厘米）与所挂重物质量（千克）的函数解析式是．（不需要写出定义域）8．（2022春•浦东新区校级期中）汽车油箱中现有汽油60升，若每小时耗油10升，则油箱中剩余油量（升与燃烧的时间（小时）之间的函数关系式是．9．（2021春•徐汇区校级月考）用一根20米长的铁丝围成一个等腰三角形，设它的底边长为米，腰长为米，则与之间的函数关系式为（写出自变量的取值范围）．10．（2021春•杨浦区校级期中）疫情后，重庆万盛“黑山谷”景区某日迎来客流高峰，从索道开始运行前3小时开始，每小时都有名游客源源不断地涌入候客大厅排队，索道每小时运送名游客上山，索道运行2小时后，景区调来若干辆汽车和索道一起送游客上山，其中每小时有名游客乘坐汽车上山，5小时后，在候客大厅排队的游客人数降至1000人，候客大厅排队的游客人数（人与游客开始接队后的时间（小时）之间的关系如图所示，则．11．（2022春•长宁区校级期中）如图，、两地相距20千米，甲、乙两人都从地去地，图中和分别表示甲、乙两人所走路程（千米）与时间（小时）之间的关系，下列说法：①乙晚出发1小时；②乙出发3小时后追上甲；③甲的速度是4千米小时；④乙先到达地．其中正确的是（填序号）．12．（2021春•浦东新区月考）在锅中倒入了一些油，用煤气灶均匀加热，每隔20秒测一次油温，得到下表：时间（秒0204060油温105090130加热110秒时，油刚好沸腾了，估计这种油沸点的温度为．13．（2020春•虹口区期末）如果生产某种产品的成本（万元）与产量（吨之间的关系如图所示，那么生产5吨这种产品所需的成本是万元．14．（2020春•金山区期中）已知某汽车油箱中的剩余油量（升与该汽车行驶里程数（千米）是一次函数关系，当汽车加满油后，行驶200千米，油箱中还剩油126升，行驶250千米，油箱中还剩油120升，那么当油箱中还剩油90升时，该汽车已行驶了千米．三．解答题（共8小题）15．（2021春•金山区校级期末）在2021“五五购物节”中，某商店的两种品牌的小电器参与促销活动．经统计后发现，每天的销售中，乙品牌小电器的销售数量（件与甲品牌小电器的销售量（件符合如图表示的函数关系．（1）求关于的函数解析式（不必写出自变量的取值范围）；（2）在5月2日一天的销售中，甲、乙两种品牌的小电器的销售额分别为1200元和1440元，已知甲品牌的小电器单价比乙品牌的小电器单价多20元，求甲、乙两种品牌的小电器的单价．（其中小电器的单价大于100元）16．（2022春•黄浦区校级期中）某地区的零售商为了缓解商品挤压问题，决定利用网络销售一批糖果，总计500千克．如果糖果的单价（元千克）与售卖天数（天之间在时具有一次函数关系，如表所示：（天103060（元千克）302415（1）当时，求出关于的函数解析式；（2）后来在销售的过程中计划发生改变，销售商决定多卖100千克，因此在没有增减销售力量的情况下（即平均每天的销售量不变），售完这批糖果比原计划晚了8天，求原来糖果的单价是多少？17．（2022春•黄浦区校级期中）团队接到抗疫任务，乘坐巴士从甲地出发赶往乙地执行任务，甲乙两地距离为340千米．他们出发后不久，专家也接到命令须赶往当地进行支援，他乘坐轿车前往．设团队走的路程为（千米），专家走的路程为（千米），他们前进的时间（从出发开始计时）为（小时），、与之间的部分函数图象如图所示．（1）在专家出发时，团队已经行进了千米；专家的速度是每小时千米．（2）当时，求关于的函数解析式；（3）如果5个小时后，专家保持之前的速度继续前进，团队提高速度去追赶，提速后的速度是每小时70千米，请问团队能否在专家到达乙地之前追上他？如果能够追上，求出此时他们离乙地的距离；如果不能，请说明理由．18．（2022春•杨浦区校级期中）小明骑自行车去郊游，右图表示他离家的距离（千米）与实际时间（时之间关系的函数图象，小明9点离开家，15点回家，根据这个图象，请你回答下列问题