【寒假自学课】2024年八年级数学寒假提升学与练（沪教版）专题02 正比例函数与反比例函数全章复习攻略（9大考点）与难点强化训练（原卷版）

专题02正比例函数与反比例函数全章复习攻略（9大考点）与难点强化训练考点一：函数的概念（1）在问题研究过程中，可以取不同数值的量叫做变量；保持数值不变的量叫做常量；（2）在某个变化过程中有两个变量，设为和，如果在变量允许的取值范围内，变量随着变化而变化，他们之间存在确定的依赖关系，那么变量叫做变量的函数，叫做自变量．函数用记号表示，表示时的函数值；（3）表示两个变量之间依赖关系的数学式子称为函数解析式．考点二：函数的定义域和函数值（1）函数自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域．（2）函数自变量取遍定义中的所有值，对应的函数值的全体叫做这个函数的值域．考点三：正比例函数的概念(1)如果两个变量的每一组对应值的比值是一个常数（这个常数不等于零），那么就说这两个变量成正比例，用数学式子表示两个变量、成正比例，就是，或表示为（不等于0），是不等于零的常数．(2)解析式形如（是不等于零的常数）的函数叫做正比例函数，其中常数叫做比例系数．正比例函数的定义域是一切实数．确定了比例系数，就可以确定一个正比例函数的解析式考点四：正比例函数的图象(1)一般地，正比例函数(是常数,)的图象是经过，这两点的一条直线，我们把正比例函数的图象叫做直线；(2)图像画法：列表、描点、连线．考点五：正比例函数的性质(1)当时，正比例函数的图像经过第一、三象限；自变量x的值逐渐增大时，y的值也随着逐渐增大．(2)当时，正比例函数的图像经过第二、四象限；自变量x的值逐渐增大时，y的值则随着逐渐减小．考点六：反比例函数的概念1、如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，我们就说这两个变量成反比例．用数学式子表示两个变量、成反比例，就是，或表示为，其中是不等于0的常数． 2、解析式形如（是常数，）的函数叫做反比例函数，其中叫做比例系数．反比例函数的定义域是不等于零的一切实数．考点七：反比例函数的图像反比例函数（是常数，）的图像叫做双曲线，它有两支．考点八：反比例函数的性质 1、当时，函数图像的两支分别在第一、三象限；在每个象限内，当自变量的值 逐渐增大时，的值随着逐渐减小． 2、当时，函数图像的两支分别在第二、四象限；在每个象限内，当自变量的值 逐渐增大时，的值随着逐渐增大． 3、图像的两支都无限接近于轴和轴，但不会与轴和轴相交．考点九：函数的表示法1．解析法：用等式来表示一个变量与另一个变量之间函数关系的方法，这个等式称为函数的解析式（或函数关系式）．简单明了，能从解析式了解函数与自变量之间的关系，便于理论上的分析与研究，但求对应值时需要逐个计算，且有的函数无法用解析式表示．2.列表法：用表格形式来表示一个变量与另一个变量之间函数关系的方法；从表格中直接找到自变量对应的函数值，查找方便，但无法将自变量与函数值的全部对应值都列出来，且难以看出规律．3.图像法：用图像来表示一个变量与另一个变量之间函数关系的方法；函数与自变量的对应关系、函数的变化情况及趋势能够很直观地显示出来，但从图像上找自变量与函数的对应值一般只能是近似的，且只能反映出变量间关系的一部分而不是全体．4.三种表示法的相互联系与转化：由函数的解析式画函数的图像，一般分为“列表、描点、连线”三个步骤，通常称作描点作图法；同样，函数图像中点的坐标或表格中自变量与函数的对应值，也是函数解析式所表示的方程的一个解．题型一：反比例函数和几何图形的综合1.正方形OAPB、ADFE的顶点A、D、B在坐标轴上，点E在AP上，点P、F在函数的图像上，已知正方形OAPB的面积是16．求k的值和直线OP的函数解析式；求正方形ADEF的边长．yyABPFOxED2.如图，已知正方形OABC的面积是9，点O为坐原点，A在x轴上，C在y轴上，B在函数的图像上，点P（m，n）在的图像上异于B的任意一点，过点P分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别是E、F．设矩形OEPF和正方形OABC不重合部分的面积是S．求点B的坐标；当时，求点P的坐标；写出S关于m的函数解析式．AABCPEFyOx题型二：正反比例函数综合1.如图，直线l和双曲线交于A、B两，P是线段AB上的点（不与A、B重合），过点A、B、P分别向x轴作垂线，垂足分别是C、D、E，连接OA、OB、OP，设△AOC面积是，△BOD面积是，△POE面积是，试比较的大小关系．FFABCDEPxyOL2.已知：关于x的一元二次方程的两根满足，双曲线经过Rt△OAB斜边OB的中点D，与直角边AB交于点C，求．AABCDOxy3.已知：在矩形AOBC中，OB=4，OA=3，分别以OB，OA所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．F是边BC上的一个动点（不与B，C重合），过F点的反比例函数的图像与AC边交于点E．（1）求出满足题意的k的取值范围；（2）记，求S关于k的函数解析式；（3）是否存在这样的实数k，使△OEF和△ECF面积相等？若存在，求出点F的坐标；若不存在，说明理由．xxABCOyEF4.如图，已知直线与双曲线交于A、B两点，且点A的横坐标是4，过原点O的另一条直线L交双曲线于P、Q两点（点P在第一象限），若由点A、B、P、Q为顶点组成的四边形的面积是24，求点P的坐标．AABOxy题型三：函数的表示法1.小强利用星期日参加了一次社会实践活动，他从果农处以每千克3元的价格购进若干千克草莓到市场上销售，在销售了10千克时，销售收入是50元，余下的他每千克降价1元出售，全部售完，两次共销售收入70元，已知在降价前销售收入y（元）与销售重量x（千克）之间成正比例关系．请你根据以上的信息解答下列问题：求降价前销售收入y（元）与售出草莓重量x（千克）之间的函数关系式；小强共批发购进多少千克的草莓；小强决定将这次卖草莓赚的钱全部捐给汶川地震灾区，那么小强共捐款多少元?2.某市全面推行农村合作医疗，农民每年每人只拿出10元就可以享受合作医疗：住院费（元）报销费（%）不超过3000元部分153000~4000254000~5000305000~1000035100000~2000040超过2000045设报销的费用是y元求住院费不超过3000元时，报销费y与住院费x元之间的关系；求住院费不超过4000时，报销费y与住院费x之间的关系；某人住院费报销了805元，求花费的总费用．3.如图，在甲、乙两同学进行400米跑步比赛中，路程s（米）与时间t（秒）之间的函数关系的图像分别为折线OAB和线段OC，请根据图上信息回答下列问题：（1）________先到达终点；（2）第________秒时，_________追上__________；（3）比赛全程中，____________的速度始终保持不变；（4）写出优胜者在比赛过程中所跑的路程s（米）与时间t（秒）之间的函数关系式__________．ss（米）t（秒）400300200100O405055ABC甲乙3525104.如图，在长方形ABCD中，以对角线AC与BD的交点O为原点，建立直角坐标系，使x轴和y轴分别与两组对边平行，已知长方形的长为25，宽为16，分别求直线AC和BD所对应的函数解析式．5.已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=8cm，矩形MNPQ的长和宽分别为9cm和2cm，点P和点A重合，NP和AC在同一条直线上（如图所示），Rt△ABC不动，矩形MNPQ沿射线NP以每秒1cm的速度向右移动，设移动x（0<x≤9）s后，矩形MNPQ与△ABC重叠部分的面积为ycm2，求y与x之间的函数关系式．一．选择题（共6小题）1．（2023秋•金山区校级月考）下列函数中，自变量的取值范围是的是A． B． C． D．2．（2023秋•静安区校级期中）如果关于的函数是正比例函数，那么的取值范围是A． B． C．一切实数 D．不能确定3．（2023秋•黄浦区期中）下列各图象中，表示函数的大致图象是A． B． C． D．4．（2023秋•普陀区校级期中）函数和，且的图象大致是A． B． C． D．5．（2023秋•崇明区期中）若点，，在反比例函数的图象上，则下列结论正确的是A． B． C． D．6．（2023秋•崇明区期中）关于反比例函数，下列结论错误的是A．图象位于二四象限 B．随的增大而增大 C．图象关于原点对称 D．点在这个函数图象上二．填空题（共12小题）7．（2023秋•普陀区校级期中）函数中的自变量的取值范围是．8．（2023秋•杨浦区期中）在直角坐标平面内，函数的图象在同一个象限内经过、两点，且．过点作轴垂线，垂足为点，联结、、，若，则点的坐标是．9．（2023秋•崇明区期中）如图，已知正比例函数的图象与反比例函数的图象都经过点，点是正比例函数图象上的一点，过点作轴的垂线，垂足为，交反比例函数的图象于点，过点作轴的垂线，垂足为，交正比例函数的图于点．当点的纵坐标为9时，则的面积是．10．（2023秋•黄浦区校级期中）函数的定义域为．11．（2023秋•松江区期中）如果函数是正比例函数，且的值随的值的增大而增大，那么的值．12．（2023秋•黄浦区期中）已知是的正比例函数，且当时，；那么关于的函数解析式为．13．（2023秋•长宁区校级期中）如果反比例函数的图象位于第二、四象限，那么的取值范围是．14．（2023秋•松江区期中）已知函数，则．15．（2023秋•长宁区校级期中）点是反比例函数图象上一点，联结，并将线段绕点旋转，此时点的对应点恰也落在这个反比例函数图象上，已知点的横坐标为4，那么的值为．16．（2023秋•静安区校级期中）已知反比例函数的图象经过点，则当时，自变量的取值范围．17．（2023秋•静安区校级期中）如图，一次函数与反比例函数的图象交于、两点，其横坐标分别为1和5，则关于的不等式的解集是．18．（2023秋•普陀区校级期中）如图，点是双曲线在第一象限上的一动点，连接并延长交另一分支于点，以为斜边作等腰，点在第二象限，随着点的运动，点的位置也不断的变化，但始终在一函数图象上运动，则这个函数的解析式为．三．解答题（共9小题）19．（2023秋•静安区校级期中）已知，其中与成正比例，与成反比例，并且当时，当时，求与之间的函数关系式．20．（2023秋•崇明区期中）如图，已知正比例函数的图象与反比例函数的图象经过点，点为轴正半轴上一点，过点作轴，交反比例函数的图象于点，交正比例函数的图象于点，且．（1）求、的值；（2）联结，求的面积；（3）为射线上一点，若的面积为9，求点的坐标．21．（2023秋•静安区校级期中）如图，已知正方形的面积为9，点为坐标原点，点在轴上，点在轴上，点在函数图象上，点是函数图象上异于点的任意一点，过点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为点、．设矩形和正方形不重合部分的面积为．（1）点的坐标是，；（2）当，求点的坐标；（3）求出关于的函数关系式．22．（2023秋•普陀区校级期中）如图，已知正比例函数的图象与反比例函数的图象经过点，点为轴正半轴上一点，过点作轴，交反比例函数的图象于点，交正比例函数的图象于点．（1）求、的值；（2）联结，如果，求的面积．23．（2023秋•浦东新区期中）若正比例函数的图象经过点；（1）求出这个函数的解析式；并画出它的图象；（2）点的坐标为，上述正比例函数图象上有一动点，若点在第二象限内，且设的面积为，当的值为2时，求出点的坐标．24．（2023秋•长宁区校级期中）如图，在中，直角顶点在轴正半轴上，反比例函数的图象分别与边、边交于点、．（1）如果点的坐标为，且，求的值及点的坐标；（2）联结，如果，求的值．25．（2023秋•杨浦区期中）如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数上的图象上，将点先向右平移1个单位长度，再向下平移个单位长度后得到，点恰好落在反比例函数的图象上．（1）求点、的坐标．（2）联结