数字电路与逻辑设计教程-第1章

第1章微型计算机系统概述1.1数字电路概述1.2数制和码制1.3逻辑代数基础本章小结1.1数字电路概述1.1.1数字信号和数字电路电子技术中的工作信号可以分为模拟信号和数字信号两大类。模拟信号是指时间上和数值上都是连续变化的信号，如电视的图像信号和伴音信号、生产过程中由传感器检测的由某种物理量(如温度、压力)转化成的电信号等。传输、处理模拟信号的电路称为模拟电路。数字信号是指时间和数值上都是断续变化的离散信号，它们的变化发生在离散的瞬间，如电子表的秒信号、由计算机键盘输入到计算机的信号等。它们的值也仅在有限个量化值间阶跃变化，而数字电路就是传送、处理这些数字信号的。这类信号在两种稳定状态(如电位的高、低或脉冲的有、无)之间作阶跃式变化，可以分别表示“0”和“1”两种信号，如脉冲就是其典型的信号。下一页返回1.1数字电路概述脉冲就是短时间内出现的电压或电流，或者说间断性的电压或电流叫做脉冲电压或脉冲电流。很明显，前面提及的模拟信号—直流和正弦交流信号不是脉冲信号。广义来讲，按非正弦规律变化的电压或电流称为脉冲电压或电流。数字信号是脉冲信号。正因为如此，有时把数字电路也叫做脉冲电路。但一般情况下，脉冲电路着重研究脉冲信号的产生、变换、放大和测量等。数字电路着重研究构成数字电路各单元之间的逻辑关系。脉冲参数指为了表征脉冲信号的特性，常用来描述的一些参数。现在以矩形脉冲电压为例介绍脉冲参数。矩形脉冲电压如图1-1所示。上一页下一页返回1.1数字电路概述图中:脉冲幅度Um——脉冲电压变化的最大值;脉冲宽度tp­——脉冲前沿0.5Um至脉冲后沿0.5Um的一段时间，又称脉冲的持续时间;脉冲周期T——周期性脉冲信号前后两次出现的时间间隔;重复频率f(1/T)—单位时间内脉冲重复的次数;上升时间tr——由0.1Um上升到0.9Um所需要的时间;下降时间tf——由0.9Um下降到0.1Um所需要的时间。上一页下一页返回1.1数字电路概述1.1.2数字电路的特点与分类数字电路的工作信号一般都是数字信号。在电路中，它往往表现为突变的电压或电流，并且只有两种可能的状态。所以，数字电路中的半导体器件应工作在开关状态。利用器件导通和截止这两种不同的工作状态代表不同的数字信息，来完成信号的传输、传递和处理任务。通常用0和1表示数字信号最为简单，常用的数字信号是用电压的高、低，脉冲的有、无，分别代表两个离散数值1和0。所以，数字电路在结构、工作状态、研究内容和分析方法等方面都与模拟电路不同，它具有以下特点:上一页下一页返回1.1数字电路概述(1)数字电路在稳态时，半导体器件(如三极管)处于开关状态，即工作在饱和区和截止区。这和二进制信号的要求是相对应的，因为饱和、截止两种状态的外部表现为电流的有、无，电压的高、低，这种有和无、高和低相对应的两种状态分别用1和0两个数码来表示。(2)数字电路的基本单元电路比较简单，对元器件的精度要求不高，允许有较大的误差。因为数字信号的1和0没有任何数量的含义，而只是状态的含义，所以电路工作时只要能可靠地区分1和0两种状态即可。因此，数字电路便于集成化、系列化生产。它具有使用方便、可靠性高、价格低廉等优点。上一页下一页返回1.1数字电路概述(3)在数字电路中，重点研究的是输入信号和输出信号之间的逻辑关系，以反映电路的逻辑功能。数字电路研究可以分为两种:一种是对已有电路分析其逻辑功能，叫做逻辑分析;另一种是按逻辑功能要求设计出满足逻辑功能的电数字信号，称为逻辑设计。(4)数字电路的工作状态、研究内容与模拟电路不同，所以分析方法也不相同。在数字电路中，常常是使用真值表、逻辑表达式、波形图、卡诺图、特性方程、状态方程、状态转换表、时序图以及状态转换图等来表示电路功能。(5)数字电路能够对数字信号进行各种逻辑运算和算术运算，所以在各种数控装置、智能仪表以及计算机中得到广泛应用。上一页下一页返回1.1数字电路概述数字电路按其组成结构的不同可分为分立元件电路和集成电路两大类。其中，集成电路按集成度大小可分为小规模集成电路(SSI，集成度为1~10门/片)、中规模集成电路(MSI，集成度为10~100门/片)、大规模集成电路(LSI，集成度为100~1000门/片)和超大规模集成电路(VLSI，集成度大于1000门/片)。按电路所用元器件的不同，数字电路可分为双极型电路和单极型电路。其中，双极型电路又有TTL,DTL,ECL,IIL和HTL等多种，单极型电路有JFET,NMOS、PMOS和CMOS4种。按电路逻辑功能的不同特点，数字电路可分为组合逻辑电路和时序逻辑电路两大类。上一页返回1.2数制和码制上一节介绍了数字信号的两种取值，实际生活中的数字表示大多采用进位计数制。下一页返回1.2数制和码制1.2.1进位计数制与常用计数制用数字量表示物理量大小时，仅用一位数码往往不够用，经常需要用进位计数的方法组成多位数码表示。把多位数码中每一位的构成方法以及从低位到高位的进位规则称为计数制。在生产实践中除了人们最熟悉的十进制以外，还大量使用各种不同的进位计数制，如八进制、十六进制等。在数字设备中，机器只认识二进制代码，由于二进制代码书写长，所以在数字设备中又常采用八进制代码或十六进制代码。无论使用哪种进位计数制，数值的表示都包含两个基本要素:基数和位权。上一页下一页返回1.2数制和码制一种进位计数制允许使用的基本数字符号的个数，称为这种进位计数制的基数。一般而言，J进制数的基数为J，可供使用的基本数字符号有J个，它们分别是0~(J-1)，每个数位计满J就向其高位进1，即“逢J进1”。进位计数制中每位数字符号所表示的数值等于该数字符号值乘以一个与数字符号所处位置有关的常数，这个常数就称为位权，简称权。位权的大小是以基数为底、数字符号所处位置的序号为指数的整数次幂。各数字符号所处位置的序号计法为:以小数点为基准，整数部分自右向左依次为0,1,2,…，小数部分自左向右依次为-1、-2,…。上一页下一页返回1.2数制和码制任何进制数的值都可以表示为该进制数中各位数字符号值与相应权乘积的累加和形式，该形式称为按权展开的多项式之和。一个J进制数(N为按权展开的多项式的普遍形式可表示为:式中，K为任意进制数中第i位的系数，可以为0~(J-1)数码中的任何一个;i是数字符号所处位置的序号;m和n为整数，m为小数部分位数(取负整数)，n为整数部分位数(取正整数);.J为进位基数，Ji为第i位的权值。例如，十进制数(123.75)10表示为:上一页下一页返回1.2数制和码制1.十进制(Decimal)十进制是日常生活中最常用的进位计数制。在十进制数中，每一位有0~9共10个数码，所以计数的基数是10。超过9的数必须用多位数表示，其中低位和相邻高位之间的关系是“逢十进一”，故称为十进制。根据式

任何一个十进制数均可展开并计算其数值的大小。例如:上一页下一页返回1.2数制和码制2.二进制(Binary)目前在数字电路中应用最多的是二进制。在二进制数中每一位数有0和1两个可能，所以计数基数为2。低位和相邻高位间的进位关系是“逢二进一”，故称为二进制。例如:上式中使用下脚注的2和10表示括号里的数是二进制数和十进制数，有时也用B(Binary)和D(Decimal)代替2和10这两个脚注。上一页下一页返回1.2数制和码制计算机内部采用二进制表示，具有以下几个优点。1)技术容易实现因为组成计算机的电子器件本身具有可靠稳定的“开”和“关”两种状态，用于表示二进制数位上的0,1时，易于存放、传送和处理。2)运算规则简单两个一位二进制数的和、积运算组合各仅有3种:0+0=0,0+1=1+0=1,1+1=0(向高位进1)及0·0=0,0·1=1,0=0,1·1=1。而两个一位十进制数和、积运算组合各有55种之多。二进制数运算规则简单，有利于简化计算机内部结构，并提高运算速度。上一页下一页返回1.2数制和码制3)与逻辑量吻合逻辑量1,0表示一个事物的正、反两个方面，如是/非、真/假、对/错等。虽然逻辑量并不具有数值概念，但形式上正好与进制代码相吻合，为计算机进行逻辑运算提供了条件。上一页下一页返回1.2数制和码制3.十六进制(Hexadecimal)十六进制数的每一位有16个不同的数码，分别用0~9、A(10)、B(11)、C(12)、D(13)、E(14)、F(15)表示。根据式

，任意一个十六进制数可展开并计算其大小。例如:上一页下一页返回1.2数制和码制式中的下脚注16表示括号里的数是十六进制数，有时也用H(Hexadecimal)代替这个脚注。另外，以前也常用八进制(Octadic)作为计算机应用中数据的书写形式。八进制数与二进制数也有简单的对应关系。表1-1给出了进制数(K2,K1,K0,K-1)，当J分别为2,8,10,16时的各位权值的对照。上一页下一页返回1.2数制和码制1.2.2数制转换1.非十进制数转换成十进制数如前所述，任何进制数只要求出其按权展开的多项式之和，该和值便是对应的十进制数。非十进制数只要利用它们按权展开的多项式再逐项相加，所得的值便是对应的十进制数。【例1-1】求二进制数(l0l1.011)2所对应的十进制数。解

把二进制数(l0l1.011)2按权展开得(1011.011)2=1×23+0×22+1×21+1×20+0×2-1+1×2-2+1x2-3=8+2+1+0.25+0.125=(11.375)10。上一页下一页返回1.2数制和码制【例1-2】求八进制数(153.07)8所对应的十进制数。解

把八进制数(153.07)8按权展开得(153.07)8=1x82+5x81+3x80+0x8-1+7x8-2=64+40+3+0.109375=(103.109375)10。【例1-3】求十六进制数(E93.A)16所对应的十进制数。解

把十进制数(E93.A)16按权展开得(E93.A)16=14x162+9x161+3x160+10x16-1=3584+144+3+0.0625=(3731.0625)10。上一页下一页返回1.2数制和码制2.十进制数转换成其他进制数十进制数转换成其他进制数相对于非十进制数转换成十进制数要复杂一点。其中，十进制数的整数部分和小数部分要用不同的方法加以处理。整数转换采用基数除法，即将待转换的十进制数除以新进位制的基数并取其余数，其步骤如下。(1)将待转换的十进制数除以新进位制的基数R，使其余数作为新进位制数的最低位。(2)将步骤(1)所得的商再除以新进位制基数R，记下余数，作为新进位制数的次低位。(3)重复步骤(2)，将每次所得的商除以新进位制基数，记下余数，得到新进位制数相应的各位，直到最后相除的商为0，这时的余数即为新进位制数的最高位。上一页下一页返回1.2数制和码制【例1-4】求十进制数(26)10所对应的二进制数。因此(26)10=(11010)2。上一页下一页返回1.2数制和码制【例1-5】求十进制数(357)10所对应的八进制数。解因此(357)10=(545)8。上一页下一页返回1.2数制和码制【例1-6】求十进制数(367)10所对应的十六进制数。解因此(367)10=(16F)16。上一页下一页返回1.2数制和码制纯小数部分的转换则采用基数乘法，即将待转换的十进制的纯小数逐次乘以新进位制基数R，取乘积的整数部分作为新进位制的有效数字。①待转换的十进制纯小数乘以新进位制基数R，取其整数部分作为新进位制纯小数的最高位K-1。②将上步①所得的小数部分再乘以新进位制基数R，取其积的整数部分作为新进位制小数的次高位K-2。③重复前一步，直到小数部分变成0时，转换结束。或者小数部分虽未变成0，但新进位制小数的位数已达到预定的要求(如位数的要求或者精度的要求)为止，最后一位积的整数部分作为二进制小数最低位的系数K-m。积的整数部分序列K-1K-2…K-m+1K-m。便构成了对应的二进制数。上一页下一页返回1.2数制和码制【例1-7】求十进制数(0.875)10所对应的二进制数。解因此(0.875)10=(0.111)2。如果是一个有整数又有小数的数，则整数小数应分开转换，再相加即可得到转换结果。上一页下一页返回1.2数制和码制【例1-8】求十进制数52.375)10所对应的二进制数。解

整数为52按整数转换方法——基数除法得

(52)10=(110100)2;小数为(0.375)10按基数乘法转换得(0.375)10=(0.011)2;因此(52.375)10=(110100.011)2。至于十进制数转换为八进制数、十六进制数，可根据上述方法自己练习。上一页下一页返回1.2数制和码制3.二进制与八进制和十六进制的相互转换由于二进制与八进制和十六进制之间正好满足23和24关系，因此它们之间的转换十分方便。二进制转换为八进制、十六进制分整数和小数两个部分进行。以小数点为界，整数部分向左、小数部分向右每3位或每4位一组，若遇到最高或最低位一组不足位，则在有效位两边补0，然后按每组二进制数转换为八进制数和十六进制数。上一页下一页返回1.2数制和码制【例1-9】求十进制数(1110110101.01101)2所对应的八进制数和十六进制数。解因此(1110110101.01101)2=(1665.32)8;(1110110101.01101)2=(3B5.68)16。八进制数和十六进制数转换为二进制数是上述过程的逆过程，分别将每位八进制数或十六进制数用二进制代码写出来，然后写成相应的二进制数。上一页下一页返回1.2数制和码制【例1-10】分别求八进制数(563.4)8和十六进制数(563.4)16所对应的二进制数。解(563.4)8=(101110011.100)2;(563.4)16=(010101100011.0100)2。当要将八进制数和十六进制数相互转换时，借二进制数作为过渡，用十六进制数转换为二进制数，再转换为八进制数(或相反)的转换方法来实现。上一页下一页返回1.2数制和码制1.2.3码制和常用代码在数字设备中，任何数据和信息都是用代码来表示的。在二进制中只有两个符号n和1，如有n位二进制，它有2n种不同的组合，即可以代表2n种不同的信息。指定某一组合去代表某个给定的信息，这一过程就是编码，将表示给定信息的这组符号叫做码或代码。实际上，前面讨论数制时，用一组符号来表示数，这就是编码过程。由于指定可以是任意的，故存在多种编码方案。本节介绍几种常用的编码。上一页下一页返回1.2数制和码制1.二-十进制码(BCD码)由于二进制计数容易实现，所以数字设备中广泛采用二进制。但是，人们对十进制熟悉，而对二进制不习惯，兼顾两者，故采用一组二进制数来表示十进制数，这就是用二进制码表示的十进制数，简称BCD(BinaryCodedDecimals)码。一位十进制数有0~9共10个数符，必须用4位二进制数来表示，而4位二进制数有16种组合，指定其中的任意10个组合来表示十进制的10个数，其编码方案有很多，但较常用的只有有权BCD码和无权BCD码。在有权BCD码中，每一个十进制数符均用一个4位二进制码来表示，这4位二进制码中的每一位均有固定的权值。常见的BCD码见表1-2。上一页下一页返回1.2数制和码制表中所列出的权值就是该编码方式相应各位的权，如8421BCD码，各位权值为8,4,2,1。如代码为1001，其十进制数值为8+1=9。而同一代码1001,对应其他代码所表示的数就不同了，如5421码为6;2421码为3;631-1码为5;余3码为6;7321码则是8。上一页下一页返回1.2数制和码制2.可靠性编码代码在产生和传输过程中难免会发生错误，为减少或者在发生错误时能迅速地发现或纠正，在工程应用中普遍采用了可靠性编码技术。利用该技术编制出来的代码叫可靠性代码，最常用的有格雷码和奇偶校验码。上一页下一页返回1.2数制和码制1)格雷码格雷(Gray)码又称循环码，它的编码方案有多种(表1-3所列为格雷码的一种编码方案)，但它们都有一个共同的特点，即任意两个相邻数对应的代码只有一位不同，而且整个二进制码的首、尾格雷码之间也只相差一位二进制数码。用普通二进制码表示的数则没有这个特点。例如，相邻的十进制数7和8,它们的二进制码分别0111和1000，相互之间有4位不同。当进行加1计数时，4位都要变化，但事实上计数器的各位输出不可能完全同时变化，这样在变化过程中就可能出现其他代码，并将形成干扰，这在有些应用中是不允许的。而格雷码从编码形式上杜绝了这种情况出现的可能。上一页下一页返回1.2数制和码制2)奇偶校验码数码在存取、传送和运算过程中难免会发生一些错误，即有的“1”错成“0”或有的“0”错成“1"，奇偶校验码是一种能够检验出这种差错的可靠性编码。奇偶校验码由信息位和校验位两部分组成，信息位是要传输的原始信息，校验位则是附加的冗余位。奇偶校验码分奇校验和偶校验两种，校验位产生的规则是:对于奇校验，若信息位中有奇数个“1”，则校验位为“0”;若信息位中有偶数个“1”，则校验位为“1”。对于偶校验，若信息位中有奇数个“1”，则校验位为“1”;若信息位中有偶数个“1”，则校验位为“0”;即通过调节校验位的“0”或“1”，使传输出去的代码中“1”的个数恒为奇数或偶数。上一页下一页返回1.2数制和码制接收方对收到的加有校验位的代码进行校验。信息位和校验位中“1”的个数的奇偶性符合约定的规则，则认为信息没有发生差错，否则可以确定信息已经出错。表1-4列出了8421BCD码的奇校验和偶校验码。这种奇偶校验只能检测出错误，但不能确定是哪一位出错，也无纠错能力。但由于其实现起来容易，信息传送率也高，所以仍被广泛应用于数字系统中。上一页下一页返回1.2数制和码制3)字符码字符码是对各个字母和符号都编码的代码。字符码的种类繁多，目前广泛使用的字符码是ASCII码，其次还有电传码和EBCDIC码。表1-5所列为常用的几种字符码。“逻辑”一词首先在逻辑学里出现。逻辑学属于哲学领域，它研究逻辑思维与逻辑推理的规律，涉及问题产生的条件和结果。表示条件的逻辑变量就是输入变量，表示结果的逻辑变量就是输出变量，而描述输入、输出变量之间逻辑关系的表达式就称为逻辑函数或逻辑表达式。数字电路的输入量和输出量之间的因果关系可用来实现各种逻辑关系，所以数字电路也称逻辑电路。上一页返回1.3逻辑代数基础“逻辑”一词首先在逻辑学里出现。逻辑学属于哲学领域，它研究逻辑思维与逻辑推理的规律，涉及问题产生的条件和结果。表示条件的逻辑变量就是输入变量，表示结果的逻辑变量就是输出变量，而描述输入、输出变量之间逻辑关系的表达式就称为逻辑函数或逻辑表达式。数字电路的输入量和输出量之间的因果关系可用来实现各种逻辑关系，所以数字电路也称逻辑电路。下一页返回1.3逻辑代数基础1.3.1基本逻辑运算与复合逻辑运算基本的逻辑关系有“与”逻辑、“或”逻辑及“非”逻辑3种。复合逻辑是由与、或、非3种基本逻辑运算复合而成，主要有“与非”“或非”“与或非”“异或”和“同或”等几种。上一页下一页返回1.3逻辑代数基础1.逻辑“与”只有决定一事件结果的全部条件同时具备时，结果才会发生。这种条件和结果的关系就称为逻辑“与”(AND)或逻辑“乘”，在逻辑代数中也称为“与运算”。在图1-2所示的逻辑“与”关系的电路中，设灯亮为逻辑“1”，灯灭为逻辑“0”;开关闭合为逻辑“1”，开关断开为逻辑“0”，则灯亮的条件是:开关A,B都闭合议种关系也可以写成逻辑裘认式:L=A·B或L=AB这里的“·”是“与”运算符，读作“与”或者“逻辑乘”，在不引起误解的前提下可省略。逻辑“与”的含义是:只有输入变量A和B都为1时，输出变量L才为1;反之，只要A和B中有一个为0,L便为0。换句话说，就是“有0出0，全1出1”。上一页下一页返回1.3逻辑代数基础根据定义可以得出逻辑与的基本运算规则为:0·0=0，0·1=01·0=0，1·1=1运用代数方法可以进一步推导出以下关系:A·0=0，A·1=A，A·A=A逻辑关系还可以用列表方式来描述，表中列出了全部输入变量的所有取值组合和输出变量的一一对应关系，这种列表称为“真值表”。表1-6给出仁变量与运算L=AB的真值表。其逻辑符号如图1-2(b)所示。上一页下一页返回1.3逻辑代数基础2.逻辑“或”在决定事物结果的诸条件中只要有任何一个或一个以上满足，结果就会发生。这种条件和结果的关系就称为逻辑“或”(OR)或逻辑“加”，在逻辑代数中也称为“或运算”。在图1-3所示的具有逻辑“或”关系的电路中，灯亮的条件是:开关A和B中至少有一个闭合，这种关系也可以写成逻辑表达式:L=A+B这里的“+”是或运算符，读作“或”或者“逻辑加”。逻辑或的含义是:只要输入变量A和B中有一个或一个以上为1，则输出变量L就为1;反之，只有A和B全为0时，L才为0。换句话说，就是“有1出1，全0出0”。上一页下一页返回1.3逻辑代数基础由此可以得出逻辑或的基本运算规则为:0+0=0，0+1=1，1+0=1，1+1=1运用代数方法可以进一步推导出以下关系:A+0=A，A+1=1，A+A=A表1-7给出了二变量或运算L=A+B的真值表。上一页下一页返回1.3逻辑代数基础3.逻辑“非”只要条件具备了，结果便不会发生;而条件不具备时，结果一定会发生。这种条件和结果的关系就称为逻辑“非”(NOT)或者逻辑“反”，在逻辑代数中也称为“非运算”。在图1-4所示的具有逻辑“非”关系的电路中，灯L亮的条件是:开关A断开。这种关系也可以写成逻辑表达式:L=

A这里变量上的“-”是“非”运算符，读作“非”或者“反”。含义是:只要输入变量A为0,输出变量L就为1;反之，A为1时，换句话说，就是“见0出1，见1出0”。上一页下一页返回1.3逻辑代数基础由此可以得出逻辑非的基本运算规则为:

0=1，

1=0逻辑非的L便为0运用代数方法可以进一步推导出以下关系:A·A=0，A+

A=1，A=A表1-8给出了非运算L=

A的真值表。上一页下一页返回1.3逻辑代数基础4.“与非”逻辑“与”和“非”的复合逻辑称为“与非”逻辑，逻辑符号如图1-5(a)所示。逻辑函数式是:L=AB由此可见，“与非”逻辑实际就是“与”逻辑之“非”。其逻辑功能见真值表表1-9，输入变量只要有一个为“0”，输出就是“1”;只有当全部变量输入为“1”时，输入才为“0”，即“有0出1，全1出0”。上一页下一页返回1.3逻辑代数基础5.“或非”逻辑“或”和“非”的复合逻辑称为“或非”逻辑，逻辑符号如图1-5(b)所示。逻辑函数表达式是:L=A+B可见，“或非”逻辑实际上就是“或”逻辑之“非其逻辑功能见真值表表1-10，输入变量只要有一个为“1”，输出L=0。只有当输入变量全部为“0”时L才为“1”，即“见1出1，全0出1”。上一页下一页返回1.3逻辑代数基础6“与或非”逻辑与”“或”“非”3种逻辑的复合逻辑称为“与或非”逻辑，逻辑符号如图1-5(c)所示。逻辑函数表达式是:L=AB+CD“与或非”逻辑的逻辑关系描述为:当各组“与”中至少有一组输入均为1”时，输出才为“0”;反之，当所有组“与”的输入中，都至少有一个为“0”，则输出才为“1”。上一页下一页返回1.3逻辑代数基础7.“异或”逻辑和“同或”逻辑若两个输入变量A和B的取值相异，则输出变量L为“1”;若A和B的取f直相同，则L为“0”。这种逻辑关系叫“异或”(XOR)逻辑，逻辑符号如图1-6(a)所示。其逻辑函数式是:可见，“异或”逻辑也是由“与”逻辑、“或”逻辑和“非”逻辑复合而成的，读作“L等于A异或B",其逻辑功能见表1-11。输入变量相同则输出L=0;相异则输出L=1。上一页下一页返回1.3逻辑代数基础若两个输入变量A和B的取值相同，则输出变量L为“1";若A和B的取值相异，则L为0，这种逻辑关系叫“同或”逻辑，也叫“符合”逻辑，其逻辑符号如图1-6(b)所示。其逻辑函数表达式是:读作“L等于A同或B"，其逻辑功能见真值表表1-11。上一页下一页返回1.3逻辑代数基础1.3.2逻辑代数基本定律及基本规则逻辑代数也称为开关代数或布尔代数，它用于研究逻辑电路的输出量与输入量之间的因果关系，是逻辑分析和设计的主要数学工具。它虽然与普通代数一样也用字母(A，B,C…)表示变量，但变量的取值只有“1”和“0”两种，即所谓的逻辑“1”和逻辑“0”。它们不是数学符号，而是代表两种相反的逻辑状态。逻辑代数所表示的逻辑关系无数量关系，这是它与普通代数的本质区别。上一页下一页返回1.3逻辑代数基础1.逻辑的基本定律在逻辑代数中只有与、或、非3种基本运算，在函数式中它们的运算优先级别依次为非、与、或根据与、或、非运算的定义和运算规则，可推导出一系列逻辑运算定律和规则。这些定律和规则是逻辑函数化简和逻辑电路分析、设计的数学基础。上一页下一页返回1.3逻辑代数基础1)基本运算法则(1)0·A=0;(2)1·A=A;(3)A·A=A;(4)A·0=0;(5)0+A=A;(6)1+A=1;(7)A+A=A;(8)A+A=1;(9)A=A。上一页下一页返回1.3逻辑代数基础2)交换律(1)AB=BA;(2)A+B=B+A。3)结合律(1)ABC=(AB)C=A(BC);(2)A+B+C=A+(B+C)=(A+B)+C。上一页下一页返回1.3逻辑代数基础4)分配律(1)A(B+C)=AB+AC;(2)A+BC=(A+B)(A+C)。证(A+B)(A+C)=AA+AB+AC+BC(分配律)=A+AB+AC+BC(基本运算法则)=A(1+B+C)+BC(分配律)=A+BC(基本运算法则)上一页下一页返回1.3逻辑代数基础5)吸收律(1)A(A+B)=A;证A(A+B)=AA+AB(分配律)=A+AB(基本运算法则)=A(1+B)(分配律)=A(基本运算法则)(2)A(

A+B)=AB;(3)A+AB=A;(4)A+

AB=A+B;证A+

AB=(A+

A)(A+B)(分配律)=A+B(基本运算法则)上一页下一页返回1.3逻辑代数基础(5)AB+A

B=A;(6)(A+B)(A+

B)=A。证(A+B)(A+

B)=AA+AB+A

B+B

B(分配律)=A+A(B+

B)(基本运算法则、结合律)=A+A(基本运算法则)=A上一页下一页返回1.3逻辑代数基础6)多余项律(7)AB+

AC+BC=AB+

AC证

左边=AB+

AC+(A+

A)BC(基本运算法则)=AB+ABC+

AC+

ABC(分配律、结合律)=AB(1+C)+

AC(1+B)(分配律)=AB+

AC(基本运算法则)(8)(A+B)(

A+C)(B+C)=(A+B)(

A+C)。上一页下一页返回1.3逻辑代数基础7)反演律(也称为摩根定律)(1)AB=

A+

B结果见表1-12。(2)A+B=

A

B结果见表1-13。上一页下一页返回1.3逻辑代数基础2.逻辑代数的基本规则逻辑代数有3个基本规则，即代人规则、反演规则和对偶规则。它们和基本定律一起构成完整的逻辑代数系统，可以用来对逻辑函数进行描述、推导和变换。1)代入规则任何逻辑函数和逻辑变量都只能取值0或1。因此，一个含有逻辑变量X的等式若用逻辑函数F去置换等式中所有的X，则等式仍然成立。这就是逻辑代数的代入规则。上一页下一页返回1.3逻辑代数基础【例1-11】证明F=C+D置换等式A+B=AB中的B后，等式仍然成立。证置换后:左边=A+C+D=

A

C

D;右边=

AC+D=

A

C

D。所以左边=右边，F置换B后等式仍然成立。它也证明了摩根定律的正确性。上一页下一页返回1.3逻辑代数基础2)反演规则已知函数F,要求其反函数F时，只要将

F中所有原变量变为反变量，反变量变为原变量;与运算变成或运算，或运算变成与运算;0变成1,1变成0，便得到了

F。这就是反演规则。【例1-12】求函数F=AB+

CD的反函数

F。解由代入规则和反演律可以得到:

F=AB+

CD=AB

CD=(

A+

B)(C+

D)。比较函数F和

F的内容可以看出，该例求解结果与直接用反演规则求得的结果相同。运用反演规则时，要注意运算符号的优先次序及括号的正确使用方法。若函数比较复杂，特别是遇到多重非运算时，可将函数中的某一部分看做一个变量，然后再求反函数。上一页下一页返回1.3逻辑代数基础【例1-13】求函数F=A+

BC的反函数

F。解

令X=

BC,F=A+X，则:

F=A+X=

A

X=

A

BC=

A

BC。该例也可先将原函数中的多重非运算运用反演规则化简后再求反函数。上一页下一页返回1.3逻辑代数基础3)对偶规则函数F中变量保持不变，而所有与运算变为或运算，或运算变为与运算;0变为1,1变为。，便得到了一个新函数F',F'就称为原函数的对偶函数。这就是对偶规则。对偶关系是相互的。所以，若F'是F的对偶函数，那么F也是尸的对偶函数。由代入规则和反演规则可知，若F=G，则

F=

G。而

F与F',

G与G'，区别在于:求反函数时变量要求反，求对偶函数时变量不要求反。只要将

F和

G中的所有变量取反代入，便可得到F'和G'。所以若两个函数相等，则它们各自的对偶函数也必然相等，即F=G，则F'=G'。这一点可以用真值表来证明。上一页下一页返回1.3逻辑代数基础例如:A+(B+C)=(A+B)+C，则A(BC)=(AB)C。上一行两式正是分配律的或运算和与运算的形式。进一步观察前面介绍过的基本定律，可以看出:每一个基本定律的或运算形式的对偶式就是该定律的与运算形式。利用这个规则，基本定律的记忆时间可以减少一半。上一页下一页返回1.3逻辑代数基础1.3.3逻辑函数的表示及化简常用的逻辑函数表示方法有逻辑真值表(简称真值表)、逻辑函数式(简称逻辑式或函数式)、逻辑图和卡诺图等。不同的表示方法之间可相互转换。1)真值表将输入变量所有的取值下对应的输出值找出来，列成表格，即可得到真值表。例如，3人表决某事件，根据少数服从多数的原则，全部不同意，事件不通过;只有一人同意，事件不通过;只有2人或3人都同意事件才可通过。若用“0”表示不同意意见;用“1”表示同意意见;用“0”表示事件不通过，用“1”表示事件通过，则可以列出真值表表1-14。上一页下一页返回1.3逻辑代数基础2)逻辑函数式把逻辑函数的输出、输入关系写成与、或、非等逻辑运算的组合式，称逻辑函数式。在真值表中，挑出那些使函数值为1的输入变量组合，变量为1的写成原变量，为0的写成反变量，对应于使函数值为1的每一种组合可以写出一个乘积项(与关系)，将这些乘积项相加(或关系)，即可得到逻辑函数的与或关系式。【例1-14】写出上题中3人表决事件被通过的逻辑函数表达式。解A,B,C有4种变量组合使F为1，即011,101,110和111，则可得4个乘积项为

ABC,A

BC,AB

C和ABC,该函数的与或表达式为:F=

ABC+A

BC+AB

C+ABC。上一页下一页返回1.3逻辑代数基础3)逻辑图用逻辑符号表示基本单元电路以及由这些基本单元组成的逻辑部件，按逻辑函数的要求画出的图形称为逻辑图。由于逻辑代数中的基本运算都有相对应的门电路，用这些门电路的逻辑符号代替逻辑函数式中的各项组成的图形就是逻辑图。【例1-15】画出函数F=AB+

C的逻辑图。解该函数包括与、或、非3种关系，用与其对应的逻辑符号组成逻辑图，如图1-7所示。上一页下一页返回1.3逻辑代数基础2.各种表示方法间的相互转换既然同一个逻辑函数可以用3种不同的方法来描述，那么这3种方法之间必能互相转换。经常用到的转换方法有以下几种。1)从真值表写出逻辑函数式从真值表写出逻辑函数式的一般方法如下。①找出真值表中使逻辑函数F=1的那些输入变量取值的组合。②每组输入变量取值的组合对应一个乘积项，其中取值为1的写人原变量，取值为0的写人反变量。③将这些乘积项相加，即可得到F的逻辑函数式。上一页下一页返回1.3逻辑代数基础【例1-16】已知一个奇偶判别函数的真值表见表1-15，试写出它的逻辑函数式。解

由真值表可见，只有当A,B,C3个输入变量中两个同时为1时，F才为1。因此，F的逻辑函数应当等于这3个乘积项之和，即F=

ABC+A

BC+AB

C。上一页下一页返回1.3逻辑代数基础2)从逻辑式列出真值表将输入变量取值的所有组合状态逐一代入逻辑式求出函数值，并列成表，即可得到真值表。【例1-17】已知逻辑函数F=AB+

ABC，求它所对应的真值表。解将A,B,C的各种取值逐一代入F式中计算，将计算结果列表。初学者为避免出差错可先将AB和

ABC两项算出，然后将它们的值相加求出F的值，见表1-16。上一页下一页返回1.3逻辑代数基础3)从逻辑式画出逻辑图用图形符号代替逻辑式中的运算符号，就可以画出逻辑图了。【例1-18】已知逻辑函数为F=(A+B)(B+C),画出逻辑图。解将式中所有的与、或、非运算符号用图形符号代替，并根据运算优先顺序把这些图形符号连接起来，就得到了图1-8所示的逻辑图。上一页下一页返回1.3逻辑代数基础4)从逻辑图写出逻辑式从输入端到输出端逐级写出每个图形符号对应的逻辑式，就可以得到对应的逻辑函数式了。【例1-19】已知函数的逻辑图如图1-9所示，试求它的逻辑函数式。解

从输入端A和B开始逐个写出每个图形符号输出端的逻辑式，得到F=(A+B)+A+B。将该式变换后可得F=(A+B)+A+B=(A+B)(

A+

B)=A

B+A

B=AB。可见，输出F和A,B之间是异或逻辑关系。上一页下一页返回1.3逻辑代数基础1.3.4逻辑函数的化简通常由真值表给出的逻辑函数式还可以进一步化简，使由此设计的电路更为简单。因此，组成逻辑电路以前，需要将函数表达式化为最简，通常是将函数化为最简与或表达式。所谓最简与或表达式指的是与项项数最少，每个与项中变量的个数也是最少的与或表达式。逻辑函数常用的化简方法有两种:公式化简法和卡诺图化简法。在介绍逻辑化简之前，先了解一下逻辑函数表达式的表示形式，这是逻辑函数化简的基础。上一页下一页返回1.3逻辑代数基础1.逻辑函数表达式的表示形式1)逻辑函数最简表达式的基本形式与、或、非等运算表示的函数中的各个变量之间的逻辑关系的代数式可以有多种形式。例如:上一页下一页返回1.3逻辑代数基础在上述多种表示形式中，“与-或”表达式和“或-与”表达式是逻辑函数的两种最基本表达形式。“与-或”表达式是指一个函数表达式由若干个“与”项相或构成，每个“或”项是一个或者多个原变量或反变量的与运算式。“或-与”表达式是指一个函数表达式由若干个“或”项相与构成，每个“或”项是一个或者多个原变量或反变量的或运算式。利用逻辑代数的定律、公式和规则，可以将任何一种形式的逻辑函数表达式简化成“与-或”表达式和“或-与”表达式这两种基本的形式，其详细的过程将在后续内容介绍。下面简要介绍由与-或形式变换为其他形式的方法。上一页下一页返回1.3逻辑代数基础

(1)与-或形式变换为与非-与非形式。利用反演律将整个与-或式两次求反，即可将与-或形式化为与非-与非形式。【例1-20】将下面的逻辑函数化为与非-与非形式。F=AB+

AC;解

应用反演律(也称为摩根定律)将上式两次求反，可得到这样就把函数式化成了全部由与非运算组成的形式。上一页下一页返回1.3逻辑代数基础

(2)与-或形式变换为与-或-非形式。根据逻辑代数的基本公式和代入定理可知，任何一个逻辑函数都遵守公式F+

F=1。又知所有最小项之和恒等于1，所以若将不包含在F式中的所有最小项相加，得到的就是

F。将这些最小项之和再求反，也可得到F。因此，将不包含在函数式中的那些最小项相加，然后求反，得到的就是函数式的与-或-非形式。【例1-21】将例1-20的逻辑函数化为与-或-非形式。解将不包含在F式中的所有最小项

A

B

C,

AB

C,A

B

C和A

BC相加，得到的就是

F，将这些最小项之和再求反，也得到Fo

F=

A

B

C+

AB

C+A

B

C+A

BC=

A

C+A

B。如果画在卡诺图中，则只需将图中填0的那些最小项相加，再求反，就可得到与-或-非形式逻辑函数式了。上一页下一页返回1.3逻辑代数基础

(3)与-或形式变换为或非-或非形式。先按上述方法将与-或式转换为与-或-非形式;再将与-或-非式中的每个乘积项化为或非的形式，即可得到或非-或非形式的函数式。【例1-22】将例1-21的逻辑函数化为或非-或非形式。解上一页下一页返回1.3逻辑代数基础2)逻辑表达式的标准形式实际上，把一个函数写成某一类型的表达式时，其表达式并不是唯一的。这给逻辑问题的研究带来了某些不便，例如:F=AB+

AC=AB+

AC+BC=ARC+AB

C+

ABC+

A

BC=…下面介绍逻辑函数表达式的标准形式，这种表达形式是唯一的。逻辑函数表达式的标准形式有两种:标准“与-或”表达式和标准“或-与”表达式。上一页下一页返回1.3逻辑代数基础(1)标准“与-或”表达式。最小项的定义:有n个变量的逻辑函数的最小项是n个变量的乘积。每个变量以它的原变量或反变量的形式在乘积项中出现一次并且仅出现一次，则这个“与”项就被称为最小项。以一个3变量的逻辑函数F(A,B,C)为例，它可以有多种形式的乘积，如

A

B

C,

AB

C,ABC,AB,BC,A等。其中，

A

B

C,

AB

C和ABC就是最小项。显然，n个变量有2n个最小项，为书写方便，通常用mi表示最小项。确定下标i的规则是:当变量按序(A，B，C，…)排列后，令“与”项中的所有原变量用1表示，反变量用0表示，则可得到一个1序列组成的二进制数，该二进制数即为下标G的值。为了进一步说明最小项的性质，以3变量函数F(A,B,(:)为例，列出所有8个最小项的真值表见表1-17。上一页下一页返回1.3逻辑代数基础从表1-17中可以看出，最小项的性质如下:①对于任何一个最小项，只有一组变量的取值使它的值为1，并且最小项不同，使其值为1的变量组合也不相同。②任意两个最小项之积恒为0,即mi·mj=0(i≠j)。③n个变量的全部最小项之和恒为1，记为

。④n个变量的最小项有n个相邻最小项。当两个最小项只有一个变量不同，且这个变量互为反变量时，这两项称为相邻项一逻辑相邻。这一性质在卡诺图化简时将进一步介绍。上一页下一页返回1.3逻辑代数基础最小项是组成逻辑函数的基本单元，任何逻辑函数都可以表示成最小项之和的形式。由最小项相“或”构成的逻辑表达式称为标准“与-或”表达式，也称为“最小项之和”表达式或最小项表达式。在“最小项之和”表达式的简略形式中，必须在函数后边的括号内按顺序标出函数全部变量，因为变量个数不同，m的意义就不同。上一页下一页返回1.3逻辑代数基础(2)标准“或-与”表达式。最大项的定义:有n个变量的逻辑函数的“或”项包含全部n个变量，每个变量都以原变量或反变量的形式出现，且仅出现一次，则这个“或”项被称为最大项。以3变量的逻辑函数F(A,B,明为例，‘已可以有多种形式的“或”项:

A+

B+

C,A+B+

C,A+B+C,B+C,A等，其中

A+

B+

C,A+B+C和A+B+

C就是最大项。显然，n个变量有2个最大项，为书写方便，通常用M表示最大项。最大项M中的下标i与最小项m中的下标i的确定正好相反，即将“或”项中原变量用0表示，反变量用1表示，这样组成的二进制数对应的十进制数即为最大项的下标i，如(A+B+

C)可记作m1。由此可得到的3变量最大项编号见表1-18。上一页下一页返回1.3逻辑代数基础最大项的性质如下:①对于任何一个最大项，只有一组变量的取值使它的值为0，并且最大项不同，使其值为0的变量取值组合也不相同。②任意两个最大项之和恒为1,Mi+Mj=1(i≠j)。③n个变量的全部最大项之积恒为0，记为④n个变量的最大项有n个相邻最大项。最大项也是组成逻辑函数的基本单元，任何逻辑函数都可以表示成最大项之积的形式，即标准“或-与”表达式。由最大项相“与”构成的逻辑表达式称为标准“或-与”表达式，又叫“最大项之积”表达式或最大项表达式。上一页下一页返回1.3逻辑代数基础【例1-23】F(A,B,C)=(A+B+C)(A+B+

C)(

A+

B+C)=M0·M1·M6=M(0，1，6)。从上面的讨论可以发现，最小项mi和最大项Mi之间存在互补关系，mi=

Mi或M=

mi。上一页下一页返回1.3逻辑代数基础3)逻辑函数表达式的转换任何一个逻辑函数都可以表示成最小项之和或者最大项之积的形式。不管什么形式的表达式，总可以将其转换成标准“与-或”表达式或者标准“或-与”表达式。转换的方法有代数转换法、真值表法和卡诺图法。(1)代数转换法就是利用逻辑代数的基本定律和常用公式进行转换的。①求标准“与-或”表达式的步骤。第一步:将函数表达式化成“与-或”表达式。第二步:反复使用A=A(B+

B)将表达式中所有非最小项的“与”项扩展成最小项。上一页下一页返回1.3逻辑代数基础【例1-24】将逻辑表达式F(A,B,C)=A(B+C)+

AB+A

B化为最小项之和的形式。解

第一步:将函数表达式化成“与-或”表达式，即F(A，B，C)=AB+AC+

AB+A

B;第二步:将上式中非最小项的“与”项扩展成最小项。F(A，B，C)=AB(C+

C)+A(B+

B)C+

AB(C+

C)+A

B(C+

C)=ABC+AB

C+ABC+A

BC+

ABC+

AB

C+A

BC+A

B

C=m2+m3+m4+m5+m6+m7=m(2,3,4,5,6,7)。上一页下一页返回1.3逻辑代数基础②求标准“或-与”表达式的步骤。第一步:将函数表达式化成“或-与”表达式。第二步:反复选用A=(A+B)(A+

B)把表达式中所有非最大项扩展成最大项。【例1-25】将逻辑函数表达式

变换成“最大项之积”的形式。解第一步:将函数表达式化成“或-与”表达式，即上一页下一页返回1.3逻辑代数基础第二步:将上式中非最大项的“或”项扩展成最大项。上一页下一页返回1.3逻辑代数基础(2)真值表转换法。由真值表写出的逻辑函数表达式，正是逻辑函数的最小项表达式。事实上，当要写出某一逻辑函数的最小项表达式时，可以先列出该逻辑函数真值表，然后再写出最小项表达式。【例1-26】求逻辑函数F(A,B,C)=AB+BC+AC的最小项表达式。解F(A,B,C)表达式的真值表见表1-19。从真值表表1-19中，挑出那些使函数值为1的变量组合，每一个组合对应一个最小项，将这些最小项相加就可得到函数的标准“与-或”表达式，即上一页下一页返回1.3逻辑代数基础同样，可以写成最大项表达式。从真值表中挑出那些使函数值为0的变量组合，每一个组合对应一个最大项，将这些最大项相“与”就得到了函数的标准“或-与”表达式，即上一页下一页返回1.3逻辑代数基础

(3)卡诺图转换法。将该逻辑函数用卡诺图表示，式中包含的项用“1"表示，不包含的项用“0”表示。若合并图中的“1”项得到的表达式就是标准“与-或”式;若合并图中的“0”项得到的表达式后求反，利用摩根定律展开就是标准“或-与”式。上一页下一页返回1.3逻辑代数基础【例1-27】将下面给出的逻辑函数转换为标准“与-或”式和标准“或-与”式。F=AC+

A

B+

A

C如图1-10(a)所示，将所有的“1”相加，可得标准“与-或”式。如图1-10(b)所示，将所有的“0”相加后，求反再展开，可得标准“或-与”式。由上面的例题可知，一个函数有厂最小项表达式就可直接写出该函数的最大项表达式。事实上，最小项与最大项之间存在着互补的关系。上一页下一页返回1.3逻辑代数基础2.函数的代数化简法对逻辑函数的基本定律、公式和规则的熟悉应用，是化简逻辑函数的基础，反复使用这些定律、公式和规则，可以将复杂的逻辑函数转换成等效的最简形式。常用的代数化简法有并项法、吸收法、消去法、配项法和取消法等。1)并项法假设A代表一个复杂的逻辑函数式，则运用布尔代数中的A+A=1这个公式，可将两项合并为一项，消去一个逻辑变量。上一页下一页返回1.3逻辑代数基础【例1-28】试用并项法化简下列逻辑函数。F1=

AB

C+A

C+

B

C;F2=A

B+ACD+

A

B+

ACD。解(分配律)(结合律、反演律)(分配律)(吸收律)上一页下一页返回1.3逻辑代数基础2)吸收法利用A+AB=A,AB+

AC+BC=AB+

AC吸收多余因子。【例1-29】用吸收法化简下列逻辑函数。解(结合律、分配律)(基本运算法则6)(分配律)(多余项定理)上一页下一页返回1.3逻辑代数基础3)消去法利用公式AB+

AC+BC=AB+

AC和A+

AB=A+B消去多余因子。【例1-30】化简下列逻辑函数。解(反演律)

(多余项定理)

(分配律)

(消去法)

上一页下一页返回1.3逻辑代数基础4)配项法利用公式A=A+A和A=A(B+B)=AB+AB将式扩展成两项，用来与其他项合并。配项的原则是:其一，增加的新项不会影响原始函数的逻辑关系;其二，新增加的项要有利于其他项的合并。使用配项法要求有较高的技巧性，初学者可采用试探法来进行。上一页下一页返回1.3逻辑代数基础【例1-31】化简下列逻辑函数。解(配项法)(分配律)(交换律、结合律)

(配项法)(分配律)(交换律、结合律)上一页下一页返回1.3逻辑代数基础代数化简法并没有统一的模式，要求对基本定律、公式和规则比较熟悉，并具有一定的技巧。一般来说，化简时要注意以下几点。①尽可能先使用并项法、吸收法、消去法等简单方法进行化简，在这些方法不能直接奏效的情况下，再考虑使用配项法。②如果原函数不是“与或”式，需先将其转换成“与或”式，然后再化简。③化简后得到的最简表达式不一定是唯一的，但它们中的“与”项个数以及“与”项中的因子都应该是最少的。例如:上一页下一页返回1.3逻辑代数基础以上两种结果都是正确的最简表达式，不同之处只是结果①由A

B和B

C项消去A

C项，由A

B和

AC项消去

BC项，由B

C和

AC项消去

AB项得到;而结果②由A

C和

AB项消去B

C项，由A

C和

BC项消去A

B项，由

AB和

BC项消去

AC项得到。④根据化简的需要，可添加适当的多余项。上一页下一页返回1.3逻辑代数基础3.逻辑函数的卡诺图化简法用代数法化简逻辑函数需要依赖经验和技巧，有些复杂函数还不易求得最简形式。下面要介绍的卡诺图化简法，是一种更加系统并有统一规则可循的逻辑函数化简法。1)卡诺图的构成前面已经介绍过:一个n变量的逻辑函数的“与或”式，若其中每个“与”项都包含厂，，个变量(每个变量或以其原变量、或以其反变量形式在“与”项中必须并且仅出现一次)，这种“与”项称为最小项，全部最小项的个数应该有2n个。上一页下一页返回1.3逻辑代数基础

卡诺图实质上是将代表全部最小项的2n个小方格按相邻原则排列构成的方块图。所谓相邻原则，是指卡诺图上邻接的任意两个小方格所代表的两个最小项中，仅有一个变量互为反变量，其余变量均相同。这种相邻关系既可以是上下相邻、左右相邻，也可以是首尾相邻，即一列中最上格与最下格相邻、一行中最左格与最右格相邻。图1-11至图1-15给出厂根据相邻原则构成的一变量至五变量的卡诺图。图1-11所示为一变量卡诺图，图中两个小方格分别代表m0和m1两个最小项，图框外的“0”和“1”分别表示取变量A的反变量和原变量。一变量卡诺图中，每个最小项仅有一个相邻项。上一页下一页返回1.3逻辑代数基础图1-12所示为二变量卡诺图，图中小方格分别代表m0,m1,m2和m3这4个最小项，图框外的“0”和“1”同样表示取反变量和原变量。例如，小方格上方的“01"表示A取反变量、B取原变量，即m,=

AB。需要强调的是，为了符合相邻原则，行内最小项的排列次序必须为m0,m1,m3和m2，即它们的取值组合为00,01,11和10。二变量卡诺图中，每个最小项均有两个相邻项。图1-13所示为三变量卡诺图，图中小方格分别代表m0~m7这8个最小项，每个最小项均有三个相邻项。小方格所在的行和列上所标的“0”和“1”，确定了对应的最小项。例如，“0”行、“11”列交叉点的小方格，表示A取反变量、B和C分别取原变量，即m3=

ABC。上一页下一页返回1.3逻辑代数基础图1-14所示为四变量卡诺图，图中小方格分别代表m0~m15共16个最小项，每个最小项均有4个相邻项。注意，行、列上的变量取值组合次序也必须为00,O1,11,10。同样，小方格所在的行和列上所标的“0”和“1"，确定了对应的最小项。例如，"10”行、"O1”列交叉点的小方格，表示A,D取原变量，B,C取反变量，即m9=A

B

CD.图1-15所示为五变量卡诺图，图中小分别代表m0~m31共32个最小项，每个最小项均有5个相邻项。注意，若将该卡诺图左右两个半幅以中线基准折叠重合后，则前后相对的小方格也符合相邻原则。因此，卡诺图上方变量C,D,E取值组合次序就必须为000,001、011、010,110,111、101、100.上一页下一页返回1.3逻辑代数基础实际使用时，卡诺图的小方格中只要标出最小项的下角标值即可。熟练以后，甚至连下角标值也可以省略。因为从卡诺图行、列上变量取值组合中，就可以看出某小方格所对应的最小项。五变量以上的卡诺图过于复杂，通常很少使用。上一页下一页返回1.3逻辑代数基础2)逻辑函数在卡诺图上的表示上面的卡诺图描述了一至五变量卡诺图的构成，但其中没有填入具体内容，所以它们都是空的卡诺图，并不表示任何逻辑函数。①若逻辑函数的表达式为最小项之和，则只要在卡诺图上将最小项对应的小方格标以1(简称1方格)，把剩余的小方格标以0(简称0方格)即可。有时0方格可不标出，就能得到该函数所对应的卡诺图。例如，函数则在四变量卡诺图中对应的小方格内填入“1"，其余位置填入“0"，就得到了图1-16所示的卡诺图。上一页下一页返回1.3逻辑代数基础②利用真值表与标准“与一或”式的对应关系，可以从真值表直接得到函数的卡诺图。只要将真值表中输出为“1”的最小项所对应的小方格填入“1",其余小方格填入“0”即可。③如果函数表达式是非标准的“与一或”式，可以先用互补律(A+A=1)对缺少因子的“与”项进行变量补全，然后再填画卡诺图。例如:其卡诺图如图1-17所示。上一页下一页返回1.3逻辑代数基础实际上，根据卡诺图构成特点，可将任意“与”项直接在卡诺图中填入。上例三变量函数中的AC项所对应的最小项应该占有三变量卡诺图的

A和C共有的区域，即m1和m3;AB项所对应的最小项，应该占有A和B共有的区域，即m6和m7。上一页下一页返回1.3逻辑代数基础3)卡诺图化简逻辑函数的原理卡诺图化简逻辑函数的基本原理依据关系式AB+A

B=A。即两个“与”项中，如果只有一个变量互反，其余变量均相同，则这两个“与”项可以合并成一项，消去其中的互反变量。由于卡诺图上两个相邻的小方格代表的最小项中，仅有一个变量互反，所以可以将它们合并成一个较大的区域，并用一个较简单的“与”项来表示。找到的相邻最小项区域越大函数的简化程度就越高。最简单的相邻最小项区域是卡诺图上相邻的两个“1”方格，