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八年级培优专题(五)从等腰直角三角形(正方形)到”K”型全等原题:如图,在等腰Rt△CDE中,∠CED=90°,CE=DE,直线l经过点E,作CA⊥l,DB⊥l,垂足分别是A、B,依题意补全图形,找出一对全等三角形,并给出证明.若AC=4,BD=3,求CD的长
变式:在上题图中,将直线l旋转至如右图位置,作CA⊥l,DB⊥l,垂足分别是A、B,请补全图形,找出一对全等三角形,并给出证明.归纳:上题中的全等三角形我们称之为“一线三直角”或“K”型全等,是一个几何基本图形。应用:1.如图,直线l上有三个正方形a、b、c,若a、c的面积分别为5和11,则b的面积是。ll1l2l3ACB2..如图,已知△ABC中,∠ABC=90°,AB=BC,三角形的顶点在相互平行的三条直线l1,l2,l3上,且l1,l2之间的距离为1,l2,l3之间的距离为3,则AC的长是3.如图,直线分别与x轴、y轴交于A、B两点,以AB为边在第一象限作正方形,求C、D两点的坐标。4.如图,点A坐标为(4,0),点B是y轴负半轴上的任意一点,分别以OB,AB为直角边在第三,第四象限作等腰Rt△OBF和等腰Rt△ABE连结EF交y轴于点P,当点B在y轴上移动时,BP的长度为。5.直线y=2x-4与x轴y轴分别交于A,B两点。点P是第四象限内一点,若△PAB为等腰直角三角形,求点P的坐标。变式:其余条件不变,若x轴上有一点M(-3,0),点Q(a,0)是y轴正半轴上一点,点P在直线y=2x-4上,若△MPQ是以线段MP为斜边的等腰直角三角形,求a的值及点P的坐标。作业6.如图:将一等腰直角三角形放在直角坐标系中,直角顶点为原点O,A点坐标为(4,2),AB交y轴于点C,求C点的坐标AACBO7.如图,在平面直角坐标系中,正方形OABC的两个顶点A,B在第二象限,BC交x轴于点D.若点A的坐标为(﹣1,3),求点B的坐标;8.在直线l上依次摆放着七个正方形,已知斜放置的三个正方形的面积分别是1,2,3,正放置的四个正方形的面积依次是S1,S2,S3,S4,则S1+S2+S3+S4=()A.4 B.5 C.6 D.79.如图1,在平面直角坐标系中,直线l:y=与x轴交于点A,且经过点B(2,m),已知点C(3,0).(1)求直线BC的函数解析式;(2)在线段BC上找一点D,使得△ABO与△ABD的面积相等,求出点D的坐标;(3)y轴上有一动点P,直线BC上有一动点M,若△APM是以线段AM为斜边的等腰直角三角形,求出点M的坐标;10.在△ABC中,AB=2,AC=4,BC=2,以AB为边在△ABC外作△ABD,使△ABD为等腰直角三角形.(1)如图,延长CB,过点D作DE⊥CB于点E,请写出图中的一对全等三角形,并求线段CD的长.(2)以AB为边向外作的等腰直角三角形△ABD还有其他作法吗?如果有,请在备用图中画出图形,并求线段CD的长11.如图,在平面直角坐标系中,A(1,0),B(0,2),过点B作直线l∥x轴,点P(a,2)是直线l上的动点,以AP为边在AP右侧作等腰Rt△APQ,使∠APQ=Rt∠.(1)当a=0时,①点Q的坐标是;②若在y轴上取一点C,使得CA+CQ的值最小,则最小值为,点C的坐标为.(2)当a=3时,点Q的坐标是.12.
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