1.2.1经济模型与应用

新编经济应用数学（微分学积分学）第五版PAGEPAGE11.2.1经济模型与应用课题1.2.1经济模型与应用（2时间年月日教学目的要求重点难点教学方法手段精讲多练主要内容时间分配常用的几种经济函数20分钟例1-例525分钟经济分析中的导数模型15分钟例6-例1330分钟作业备注常用的几种经济函数需求函数与供给函数需求函数某种商品的需求量是消费者愿意购买此种商品，并且有支付能力购买该种商品的数量。一般来说，商品的需求量将随着市场价格的上涨而减少，即需求函数为价格的单调递减函数（特殊函数除外）。在经济学中，常见的函数有以下几种类型：线性需求函数二次需求函数指数需求函数供给函数某种商品的供给量是指在一定时期内，生产者(厂家）在一定价格下，愿意并可能出售商品的数量。一般来说，与需求函数相反，当某商品的市场价格比较高时，生产者愿意多生产此种商品，所以当市场上该商品的价格上涨时，供给量会增加。因而供给函数是一个单调递增函数。在经济学中，常见的供给函数有以下几种类型：线性供给函数幂供给求函数指数供给函数均衡价格均衡价格是指市场上需求量与供给量相同时的价格（即供需均衡的条件是）。【例1】某电子市场销售某品牌微机，当单价为6000（元/台）时，每月能销售100台；为了进一步吸引消费者，增加销售量，商店将微机的价格调低为5500（元/台），这样每月可多销售20台，假设需求函数是线性的，求这种微机的需求函数。解设需求函数为，将已知条件代入，得方程组解得，所求的需求函数为【例2】某种商品的需求函数是，供给函数是，求该商品的市场均衡价格和市场均衡商品量。解由供需均衡条件，可得解得市场均衡价格，市场均衡商品量。总成本函数、总收入函数和总利润函数总成本函数总成本是生产者用于生产产品的所有费用。一般可分为两部分：第一部分是厂房、设备等固定资产的折旧，管理者的工资等。这一类成本的特点是短期内不发生变化，即不随产品产量的变化而变化，称为固定成本，用来表示；第二部分是能源费用、原材料费用、劳动者的工资等，这类成本的特点是随产品产量的变化而变化，称为可变成本，用表示。总成本用表示，产品的产量用来表示，则总成本函数为常见的总成本函数有：线性函数二次函数单从总成本看不出生产者生产水平的高低，还要进一步考察单位产品的成本，即平均成本，记为，即称它为平均成本函数，其中是总成本函数。【例3】某工厂生产某种产品的固定成本为30000元，每生产一个单位产品总成本增加100元，求：（1）总成本函数；（2）平均成本函数；（3）生产100个单位产品时的总成本和平均成本。解（1）总成本函数（2）平均成本函数（3）生产100个单位产品时的总成本和平均成本（元）（元）总收入函数总收入是指生产者的商品售出后的收入，用表示。生产者销售某种商品的总收入取决于该商品的销量和价格。如果用表示销量的函数，则总收入函数为除总收入外，还有平均收入，用表示，它是销售单位产品的收入【例4】已知某种商品的需求函数为，试求该商品的总收入函数，并求出销售100件商品时的总收入和平均收入。解由需求函数得总收入函数为平均收入函数为总利润函数总利润是生产者的总收入减去总成本后的剩余部分，用表示。由于总成本和总收入都是产量的函数，因而总利润也是产量的函数，即总利润函数为单位产品所获得的利润称为平均利润，用表示，即【例5】某工厂每生产某种商品个单位的总成本为（元），得到的总收入为（元），求总利润函数，并求产量为1000时的总利润。解总利润函数经济分析中的导数模型边际分析在经济学中，将经济函数的导数称为边际函数。例如：需求函数的导数称为边际需求函数，供给函数的导数称为边际供给函数，总收入函数的导数称为边际收入函数，总利润函数的导数称为边际利润函数等。一般地，如经济函数，其边际函数在点处的函数值称为这个函数在处的边际函数值，它表示在处，若产生一个单位的改变时，相应地变化了个单位。边际成本总成本函数的导数称为边际成本函数。其经济意义为：当产量为时，再生产一个单位产品所增加的总成本。【例6】某厂生产某种商品，总成本函数为（元），（1）指出固定成本、可变成本；求边际成本函数及产量时的边际成本；（3）说明其经济意义。解（1）固定成本可变成本（2）边际成本函数（3）经济意义：在产量为200时，再多生产一个单位产品，总成本要增加24元。②边际收入总收入函数的导数称为边际收入函数。其经济意义为：在销量为时，再多销售一个单位产品作增加的总收入。【例7】通过调查得知某种家具的需求函数为，其中（单位：元）为家具的销售价格，（单位：件）为需求量。求销售该家具的边际收入函数，以及当销售量、600、750件时的边际收入。解由需求函数得价格总收入函数为则边际收入函数边际利润总利润函数的导数称为边际利润函数。其经济意义为：在销量为时，再多销售一个单位产品所增加的总利润。因为总利润函数等于总收入函数减去总成本函数，即由导数的运算法则可知所以，边际利润等于边际收入减去边际成本。【例8】某厂每月生产某产品（单位：百件）单位时的总成本为（单位：千元）。若每百件的销售价格为4万元，试写出总利润函数。解由题意得总收入函数为总利润函数为弹性分析函数的弹性定义1对于函数，如果极限存在，那么称此极限为函数在点处的弹性，记作，即定义2对于函数，如果极限存在，那么称此极限为函数在点处的弹性，记作，即也称为函数的弹性函数。【例19】求函数的弹性函数及在处的弹性。解弹性函数需求弹性设某商品的需求函数为，则需求弹性为需求弹性表示某种商品需求量对价格的变化的敏感程度。当时，称为单位弹性，即商品需求量的相对变化与价格的相对变化基本相等，此价格是最优价格；当时，称为富有弹性，此时商品需求量的相对变化大于价格的相对变化，此时价格的变动对需求量的影响较大。换句话说，适当降价会使需求量较大幅度上升，从而增加收入；当时，称为缺乏弹性，即商品需求量的相对变化小于价格的相对变化，此时价格的变动对需求量的影响较小。在适当降价后不会使需求量有较大的下降，从而增加收入。【例10】设某商品的需求函数为（其中，是商品价格，使需求量），求（1）需求弹性函数；（2）时的需求弹性，并说明经济意义。解（1），所求弹性函数为（2），，经济意义：当时，，此时价格上涨1%时，需求只减少0.6%，需求量的变化幅度小于价格变化的幅度，适当提高价格可增加销售量，从而增加总收入；当时，，此时价格上涨1%时，需求将减少1%，需求量的变化幅度等于价格变化的幅度，是最优价格；当时，，此时价格上涨1%时，需求将减少1.2%，需求量的变化幅度大于价格变化的幅度，适当降低价格可增加销售量，从而增加总收入。（3）最大值与最小值在经济活动中的应用【例11】某工厂生产某商品的总成本函数为（元/件）问该厂生产多少件产品时平均成本最低？解平均成本函数由，得驻点（舍去）又因此是的极小点，也就是最小点，即当该厂生产3000件产品时平均成本最小。最大利润原则：因为总利润函数取得最大值的必要条件是，即总利润函数取得最大值的充分条件是，即亦即边际收入的导数小于边际成本的导数。【例12】已知某产品的需求函数，总成本函数为，求产量为多少时总利润最大？并验证是否符合最大利润原则。解由需求函数，得总收入函数为总利润函数为另，得，，所以当时，总利润最大。此时；所以符合最大利润原则。【例13】某公司每周生产单位产品和单位产品，其成本函数为产品、的单位售价分别为200元和300元。假设两种产品均很畅销，试求公司获得最大利润时这两种产品的生产量及相应的最大利润。解由题意，公司的总收入函数为公司的总利润函数为求得，解方程组得驻点。又由于，，因此而，由二元函数极值存在的充分条件知，当，时，取极大值也是最大值，即当产品、的产量均为50个单位时，公司可获得最大利润，其最大利润为（元）在经济活动中，还会遇到其它类型的优化问题，如下面的最优批量问题。在按一定的产量计划分批生产的情况下，产品的生产准备费和库存保管费与产品的批量（即每批的生产量）有关，现讨论使总费用达到最小的条件。设产品的年计划产量为，分批生产，均匀销售（即产品的平均库存量为批量的一半），每批产品的生产准备费为，每单位产品的年库存保管费为。记每批的生产批量为，则全年的生产批数为，年平均库存量为，股权年的总费用是批量的函数，即由费用函数的导数可知在的驻点处有因此，当总费用达到最小时，生产准备费应等于库存保管费。的驻点显然是唯一的，并且的二阶导数故在点处取得最小值，此时总费用最小。【例14】某厂生产的产品年销售量为100万件，假设这些产品分为若干批生产，每批需生产准备费1000元（与批量大小无关）；产品均匀销售，且每件产品库存一年需存费0.05元，求使每年生产所需的生产准备费与库存保管费之和最小的最佳批量。解设每年生产所需的生产准备费与库存保管费之和为元，批量为万件，则由得，由知驻点为最小值点。因此，最佳批量为20万件。3．经济模型应用举例（1）存贮模型工厂定期订购原料，存入仓库供生产之用；车间一次加工出一批零件，供装配线每天生产之用；商店成批购进各种商品，放在货柜里以备零售；水库在雨季蓄水，用于旱季的灌溉和发电。存贮量多少合适？存贮量过大，存贮费用太高；存贮量太小，会导致一次性订购费用增加，或不能及时满足需求。下面建立允许缺货的存贮模型。模型假设：①连续化，即设生产周期T和产量Q均为连续量；②产品每日的需求量为常数r；③每次生产准备费C1，每日每件产品存贮费C2；④生产能力为无限大（相对于需求量），允许缺货，每天每件产品缺货损失费C3，但缺货数量需在下次生产（订货）时补足。模型建立：总费用=生产准备费+存贮费+缺货损失费存贮费=存贮单价×存贮量缺货损失费=缺货单价×缺货量求存贮量和缺货量为多少时，总费用最省？因存贮量不足造成缺货，因此q(t)可取负值，q(t)以需求速率r线性递减，直至q(T1)=0，如图。q(t)=Q-rt，Q=rT1。一个周期内存贮费一个周期内缺货损失费一个周期的总费用每天平均费用模型求解：用微分法，令每天平均最小费用每个周期的供货量与不允许缺货模型相比较，有结果解释：①即允许缺货时，周期和供货量增加，周期初的存贮量减少。②缺货损失费愈大，愈小，愈接近，愈接近。③不允许缺货模型可视为允许缺货模型的特例。（2）空调销售量的预测某家电商场经营两种品牌的空调，销售图表显示，当A品牌空调每台定价x（千元）、B品牌空调每台定价y（千元）时，A品牌空调的销售量为（台）假若现在是2月份，在未来的几个月内，随着气温的逐渐升高，两种空调的销售价格都呈上升趋势，预计从现在起的第t个月，A品牌空调的销售价格为（千元|台）B品牌空调的销售价格为（千元|台）现在，就让我们根据以上所提供的信息，利用边际函数帮助商场预测一下7月份A品牌空调的销售量是增加还是减少。我们知道，边际销售函数在（月）处的函数值近似表示第（月）增加的销售量，由