16-第一章第六节(概率统计)

第一章随机事件与概率

1.6事件的独立性

第一章随机事件与概率

1.6事件的独立性

内容简介:

事件B发生的概率受事件A发生的影响,这是条件概率问题.如果事件B发生的概率不受事件A发生的影响,那么会出现什么样的结果呢？这就是事件独立性问题.我们学习如何判定事件具有独立性，并计算其概率.

1.6.1提出问题

“近朱者赤近墨者黑”说明什么呢？同班同学的学习风气是否有影响呢？射手比赛为什么要戴耳机？如果事件B发生的概率不受事件A发生的影响,这就是事件独立性问题.

1.6.2预备知识

概率的性质，逆事件概率计算公式，古典概型，超几何分布.

1.6.3问题提出为此,先看下例：

引例设某盒中有5件产品,其中3件合格品,2件次品.现每次任取一件,不放回地取两次.求：

(1)A={第一次取到合格品}的概率；(2)B={第一次取到合格品的条件下第二次又取到合格品}的概率；(3)C={第二次取到合格品}的概率.

可知，

由全概率公式得

可见，

P(C|A)≠P(C).

上述问题是不放回抽样.如果抽取方式改变成“从中任取两次,每次抽取一件”这样的放回抽样，

则可见

讲评这说明事件A的发生不影响事件C的发生的概率.从直观上讲,这是很自然的,因为是放回抽样,第一次抽到的产品实际上不影响第二次抽到的产品.在这种场合,可以说事件A与事件C的发生具有某种“独立性”.

在上一节中,我们知道了条件概率这个概念,即在已知事件A发生的条件下,事件B发生的概率为并且由此得到了概率乘法公式

P(AB)=P(A)P(B|A).

现在让我们提出一个问题：如果事件B

发生与否不受事件A是否发生的影响,

那么会出现什么样的结果呢？为此,需要把“事件B发生与否不受事件A是否发生的影响”这句话表达成数学的语言.事实上,事件B发生与否不受事件A的影响,也就意味着有

P(B|A)=P(B).

这时概率乘法公式就有了更自然的形式：

P(AB)=P(A)P(B).

定理2

如果事件A与B相互独立,则下列各对事件A与,与B,与都是相互独立的.

定义1

设A,B是两个事件,如果满足等式

P(AB)=P(A)P(B),则称事件A与B是相互独立的,简称A,B独立.定理的正确性由两个定义得到.

定理1

设A,B是两事件,

且P(A)>0.若A,B相互独立,则

P(B|A)=P(B).反之亦然.1.随机事件独立性

1.6.4建立理论

定理2还可叙述为：若四对事件A与B,A与,

与B,与中有一对独立,则另外三对也独立,即，这四对事件或者都独立,或者都不独立.证由于

P()=P(A-B)=P(A-AB)=P(A)-P(AB)=P(A)-P(A)P(B)=P(A)[1-P(B)]=P(A)P(),因此,A与相互独立.关于

与B和

与

的独立性同理可证.

讲评关于独立性还要注意两点：

(1)

不要把两个事件的独立性与互不

相容混为一谈,独立与互斥事件之间没有必然的互推关系.见2003年考研数(四)考题.但有结论:若A与B互斥,

且P(A)>0,P(B)>0,则A与B不独立.用定义即证.

(2)在实际应用中,对于事件的独立性,我们常常不是根据定义来判断,而是根据一事件的发生是否影响另一事件的发生来判断.

例1.6.1

甲、乙两射手在同样条件下进行射击,他们击中目标的概率分别是0.9和0.8.如果两个射手同时发射,问击中目标的概率是多少？

又C=A∪B,且A,B相互独立,故

P(C)=P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)=0.9+0.8-0.9×0.8=0.98.解设A={甲击中目标},B={乙击中目标},C={击中目标}.于是P(A)=0.9,P(B)=0.8.

定义2

设A1,A2,…,An是n(n≥2)个事件,如果对于任意的两个不同事件Ai,Aj(i≠j)有

P(AiAj)=P(Ai)P(Aj),则称这n个事件是两两独立的.

事件的独立性概念,可以推广到三个和三个以上的事件的情形.

定义3

设A1,A2,…,An是n(n≥2)个事件,如果对于任意的k(k≤n)个事件

都有则称这n个事件相互独立.

定理3

(1)若事件A1,A2,…,An(n≥2)相互独立,则其中任意k(2≤k≤n)个事件也是相互独立的.

(2)若n个事件A1,A2,…,An(n≥2)相互独立,则将A1,A2,…,An中任意多个事件换成它们的对立事件,所得的n个事件仍相互独立.

证(1)由独立性定义可直接推出.

(2)对于n=2时,在定理2已作了证明,一般的情况用数学归纳法容易证得,此处略.

对于三个事件A1,A2,A3两两独立,仅要求下面三个等式同时成立：

P(A1A2)=P(A1)P(A2);P(A1A3)=P(A1)P(A3);P(A2A3)=P(A2)P(A3).

若A1,A2,A3相互独立,除了上面三个等式外还要满足P(A1A2A3)=P(A1)P(A2)P(A3)

成立.2.试验独立性与伯努利试验定义4设表示第i次随机试验出现的随机事件，即Ci=Ai或i，若

则说n次试验是相互独立的，简称试验独立.如果n重独立重复试验中，每次试验的可能结果为两个：A或，则称这种试验为n重伯努利试验.例1.6.2

假设每次试验成功的概率为p(0<p<1).(1)计算n次独立重复试验至少有一次成功的概率

；(2)要求“独立重复试验直到至少有一次成功为止”的把握不低于概率qn，计算所需试验的次数n.解记Ai={第i次试验成功}(i=1,2,…,n),A={n次试验至少有一次成功}.于是P(Ai)=p,P()==1-p,且A1,A2,…,An相互独立.(1)由于

由定理3的结论(2)知也是相互独立的,所以(2)设所需试验的次数为.注意到A=A1∪A2∪…∪An,于是问题要求n满足

αn=P(A)=P(A1∪A2∪…∪An)≥qn.由问题(1)知P(A)=1-(1-

p)n,即要求1-(1-

p)n≥qn，也就是(1-

p)n≤1-

qn.解之,得由此可见，当时，αn→1.这说明，只要一个事件A的概率不是0，甚至非常小，当试验次数无限增大时，它(以概率1)迟早会出现.如果考虑每次试验成功的概率p=0.15，“至少成功一次”的把握不低于95%，则即至少需要进行19次试验.讲评

1.小概率事件怎样认识才可以符合客观实际呢？

2.“设计试验”要考虑哪些因素呢？

1.6.6小结与思考

我们讲了两个概念：事件的两两独立和相互独立.对于这些概念,要正确理解独立性的含义.独立性理论在概率论中占有重要的地位，实际问题往往需要应用独立性理论来分析和解决。

1.两两独立一定相互独立吗？反之如何？

2.独立一定互斥吗？反之如何？

1.6.7习题布置

习题1.62、5、7、8.参考文献与联系方式[1]郑一,王玉敏,冯宝成.概率论与数理统计.大连理工大学出版社，2015