第三讲共点力平衡(原卷版+解析)

第三讲共点力平衡知识梳理一、受力分析1.受力分析的一般步骤2.整体法与隔离法整体法隔离法概念将加速度相同的几个物体作为一个整体来分析的方法将研究对象与周围物体分隔开来分析的方法选用原则研究系统外的物体对系统整体的作用力或求系统整体的加速度研究系统内物体之间的相互作用力整体法不用画系统之间的作用力3.受力分析的三个技巧(1)不要把研究对象所受的力与研究对象对其他物体的作用力混淆．(2)除了根据力的性质和特点进行判断，假设法是判断弹力、摩擦力有无及方向的常用方法．(3)善于转换研究对象，尤其是弹力、摩擦力的方向不易判定的情形，可以分析与其接触物体的受力，再应用牛顿第三定律判定．二、共点力平衡(1)平衡状态：物体静止或做匀速直线运动．(2)平衡条件：F合＝0或Fx＝0且Fy＝0.(3)常用推论①二力平衡：两力大小相等，方向相反，作用在同一物体同一直线上②若物体受n个作用力而处于平衡状态，则其中任意一个力与其余(n－1)个力的合力大小相等、方向相反．③若三个共点力的合力为零，则表示这三个力的有向线段首尾相接组成一个封闭三角形（三个力不在同一直线上）．2.处理共点力平衡问题的基本思路确定平衡状态(加速度为零)→巧选研究对象(整体法或隔离法)→受力分析→建立平衡方程→求解或作讨论．知识训练考点一、受力分析例1、如图所示，物体A靠在竖直墙面上，在力F作用下，A、B保持静止。物体B的受力个数为()A．2 B．4C．2或4 D．无法确定例2、如图所示，有8个完全相同的长方体木板叠放在一起，每个木板的质量为100g，某人用手在这叠木板的两侧各加一水平压力F，使木板水平静止。若手与木板之间的动摩擦因数为μ1＝0.5，木板与木板之间的动摩擦因数为μ2＝0.2，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g取10m/s2。则水平压力F至少为()A．8N B．15NC．16N D．30N例3、(2022·湖南师范大学附属中学高三月考)如图所示，a、b两个小球穿在一根粗糙的固定杆上(球的小孔比杆的直径大)，并且通过一条细绳跨过定滑轮连接．已知b球质量为m，杆与水平面成θ角，不计滑轮的一切摩擦，重力加速度为g.当两球静止时，Oa段绳与杆的夹角也为θ，Ob段绳沿竖直方向，则下列说法正确的是()A．a一定受到4个力的作用B．b只可能受到2个力的作用C．绳子对a的拉力有可能等于mgD．a的质量一定为mtanθ课堂随练训练1、如图所示，水平面上的P、Q两物块的接触面水平，二者叠在一起在作用于Q上的水平恒定拉力F的作用下向右做匀速运动，某时刻撤去力F后，二者仍能不发生相对滑动．关于撤去F前后Q的受力个数的说法正确的是()A．撤去F前6个，撤去F后瞬间5个B．撤去F前5个，撤去F后瞬间5个C．撤去F前5个，撤去F后瞬间4个D．撤去F前4个，撤去F后瞬间4个训练2、如图所示，质量为M的三角形斜劈Q置于水平地面上，质量为m的木块P放在Q的斜面上，现用大小分别为F1、F2(F1>F2)，方向相反的水平力分别推P和Q，它们均静止不动，g为重力加速度，则下列说法错误的是()A．P可能受到沿斜面向下的摩擦力B．Q可能受五个力作用C．Q可能受六个力作用D．Q对P的支持力一定小于mg训练3、(2021云南师大附中高三月考)如图所示,M、N两物体叠放在一起,在恒力F作用下,保持静止状态,则关于两物体受力情况的说法正确的是()A．物体N可能受到4个力B．物体M可能受到6个力C．物体M与墙之间一定没有弹力和摩擦力D．物体M与物体N之间可能无摩擦力考点二、共点力平衡求解共点力平衡问题的常用方法：1.合成法：一个力与其余所有力的合力等大反向，常用于非共线三力平衡．2.正交分解法：Fx合＝0，Fy合＝0，常用于多力平衡．例1、(2020·全国卷Ⅲ·17)如图，悬挂甲物体的细线拴牢在一不可伸长的轻质细绳上O点处；绳的一端固定在墙上，另一端通过光滑定滑轮与物体乙相连．甲、乙两物体质量相等．系统平衡时，O点两侧绳与竖直方向的夹角分别为α和β.若α＝70°，则β等于()A．45°B．55°C．60°D．70°例2、(2017·全国卷Ⅲ)一根轻质弹性绳的两端分别固定在水平天花板上相距80cm的两点上，弹性绳的原长也为80cm。将一钩码挂在弹性绳的中点，平衡时弹性绳的总长度为100cm；再将弹性绳的两端缓慢移至天花板上的同一点，则弹性绳的总长度变为(弹性绳的伸长始终处于弹性限度内)()A．86cm B．92cmC．98cm D．104cm例3、如图所示，两个质量均为m的小球通过两根轻弹簧A、B连接，在水平外力F作用下，系统处于静止状态，弹簧实际长度相等．弹簧A、B的劲度系数分别为kA、kB，且原长相等．弹簧A、B与竖直方向的夹角分别为θ与45°.设A、B中的拉力分别为FA、FB，小球直径相比弹簧长度可忽略，重力加速度为g，则()A．tanθ＝eq\f(1,2) B．kA＝kBC．FA＝eq\r(3)mg D．FB＝2mg例4、如图所示，质量为m的物体置于倾角为θ的固定斜面上，物体与斜面之间的动摩擦因数为μ，先用平行于斜面的推力F1作用于物体上使其能沿斜面匀速上滑，若改用水平推力F2作用于物体上，也能使物体沿斜面匀速上滑，则两次的推力之比eq\f(F1,F2)为()A．cosθ＋μsinθ B．cosθ－μsinθC．1＋μtanθ D．1－μtanθ课堂随练训练1、(2022·株洲统一检测)如图，这是汽车内常备的两种类型的千斤顶，甲是菱形，乙是y形。摇动手柄，使螺旋杆转动，A、B间距离发生改变，从而实现重物的升降。若物重均为G，螺旋杆保持水平，AB与BC之间的夹角都为θ，不计杆件自重，则甲、乙两千斤顶螺旋杆的拉力大小之比为()A．1∶1 B．1∶2C．2∶1 D．2∶3训练2、(2022·黑龙江鹤岗市第一中学高三月考)如图甲所示，A、B两小球通过两根轻绳连接并悬挂于O点，已知两轻绳OA和AB的长度之比为eq\r(3)∶1，A、B两小球质量分别为2m和m，现对A、B两小球分别施加水平向右的力F1和水平向左的力F2，两球恰好处于如图乙的位置静止，此时B球恰好在悬点O的正下方，轻绳OA与竖直方向成30°，则()A．F1＝F2 B．F1＝eq\r(3)F2C．F1＝2F2 D．F1＝3F2训练3、(多选)如图所示，竖直杆固定在木块C上，两者总重为20N，放在水平地面上。轻细绳a连接小球A和竖直杆顶端，轻细绳b连接小球A和B，小球B重为10N。当用与水平方向成30°角的恒力F作用在小球B上时，A、B、C刚好保持相对静止且一起水平向左做匀速运动，绳a、b与竖直方向的夹角分别恒为30°和60°，则下列判断正确的是()A．力F的大小为10NB．地面对C的支持力大小为40NC．地面对C的摩擦力大小为10ND．A球重为10N训练4、如图所示，墙上有两个钉子分别固定在点a和b，它们的连线与水平方向的夹角为45°，两者的高度差为l。一条不可伸长的轻质细绳一端固定于a点，另一端跨过b点的光滑钉子悬挂一质量为m1的重物。在绳上距a端的c点有一固定绳圈。若绳圈上悬挂质量为m2的钩码，平衡后绳的ac段正好水平，则重物和钩码的质量比为()A． B．2 C． D．考点三、绳、杆模型1.一根绳（活绳）上各个点的受力大小均相等；绳打结（死结）处每段绳的受力大小不一定相等。2.活杆（杆可绕支点转动）受到的合力一定沿杆方向；固定杆（不可绕支点转动）受到的合力方向可以是任意方向。例1、(2022·辽宁葫芦岛市模拟)如图所示，细绳一端固定在A点，跨过与A等高的光滑定滑轮B后在另一端悬挂一个沙桶Q.现有另一个沙桶P通过光滑轻质挂钩挂在AB之间，稳定后挂钩下降至C点，∠ACB＝120°，下列说法正确的是()A．若只增加Q桶内的沙子，再次平衡后C点位置不变B．若只增加P桶内的沙子，再次平衡后C点位置不变C．若在两桶内增加相同质量的沙子，再次平衡后C点位置不变D．若在两桶内增加相同质量的沙子，再次平衡后沙桶Q位置上升例2、如图，两个轻环a和b套在位于竖直面内的一段固定圆弧上；一细线穿过两轻环，其两端各系一质量为m的小球．在a和b之间的细线上悬挂一小物块．平衡时，a、b间的距离恰好等于圆弧的半径．不计所有摩擦．小物块的质量为()A．eq\f(m,2)B．eq\f(\r(3),2)mC．mD．2m例3、如图甲所示，轻绳AD跨过固定在水平横梁BC右端的光滑定滑轮挂住一个质量为m1的物体，∠ACB＝30°；图乙所示的轻杆HG一端用铰链固定在竖直墙上，另一端G通过细绳EG拉住，EG与水平方向成30°角，轻杆的G点用细绳GF拉住一个质量为m2的物体，重力加速度为g，则下列说法正确的是()A．图甲中BC对滑轮的作用力为eq\f(m1g,2)B．图乙中HG杆受到绳的作用力为m2gC．细绳AC段的拉力FAC与细绳EG段的拉力FEG之比为1∶1D．细绳AC段的拉力FAC与细绳EG段的拉力FEG之比为m1∶2m2课堂随练训练1、如图所示，用两根承受的最大拉力相等、长度不等的细绳AO、BO(AO>BO)悬挂一个中空铁球，当在球内不断注入铁砂时，则()A．绳AO先被拉断B．绳BO先被拉断C．绳AO、BO同时被拉断D．条件不足，无法判断训练2、(多选)李强同学设计的一个小实验如图所示，他将细绳的一端系在手指上，细绳的另一端系在直杆的A端，杆的左端顶在掌心上，组成一个“三角支架”。在杆的A端悬挂不同的重物，并保持静止。通过实验会感受到()A．细绳是被拉伸的，杆是被压缩的B．杆对手掌施加的作用力的方向沿杆由C指向AC．细绳对手指施加的作用力的方向沿细绳由B指向AD．所挂重物质量越大，细绳和杆对手的作用力也越大考点四、受力分析中的临界问题1.问题特点(1)临界问题：当某物理量变化时，会引起其他物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态能够“恰好出现”或“恰好不出现”。在问题描述中常用“刚好”“刚能”“恰好”等语言叙述。(2)极值问题：一般是指在力的变化过程中出现最大值和最小值问题。2.两种方法(1)解析法：根据平衡条件列方程，用二次函数、讨论分析、三角函数以及几何法等求极值。(2)极限法：选取某个变化的物理量将问题推向极端(“极大”“极小”等)，从而把比较隐蔽的临界现象暴露出来。例1、如图所示,一工人手持砖夹提着一块砖匀速前进,手对砖夹竖直方向的拉力大小为F。已知砖夹的质量为m,重力加速度为g,砖夹与砖块之间的动摩擦因数为μ,最大静摩擦力等于滑动摩擦力。若砖块不滑动,则砖夹与砖块一侧间的压力的最小值是()A． B．C．D．例2、如图所示，用一根长为l的细绳一端固定在O点，另一端悬挂质量为m的小球A，为使细绳与竖直方向成30°角且绷紧，小球A处于静止状态，对小球施加的最小的力是()A．eq\r(3)mgB．eq\f(\r(3),2)mgC．eq\f(1,2)mgD．eq\f(\r(3),3)mg例3、(2022·常州一模)歼­20战斗机安装了我国自主研制的矢量发动机，能够在不改变飞机飞行方向的情况下，通过转动尾喷口方向改变推力的方向，使战斗机获得很多优异的飞行性能。已知在歼­20战斗机沿水平方向超音速匀速巡航时升阻比(垂直机身向上的升力和平行机身向后的阻力之比)为eq\r(15)。飞机的重力为G，使飞机实现节油巡航模式的最小推力是()A．GB．eq\f(G,\r(15))C．eq\f(G,16)D．eq\f(G,4)课堂随练训练1、已知两个共点力的合力为50N，分力F1的方向与合力F的方向成30°角，分力F2的大小为30N。则()A．F1的大小是唯一的 B．F2的方向是唯一的C．F2有两个可能的方向 D．F2可取任意方向训练2、(2020·湖南七校联考)如图所示，光滑圆环竖直固定，A为最高点，橡皮条上端固定在A点，下端连接一套在圆环上的轻质小环，小环位于B点，AB与竖直方向的夹角为30°，用光滑钩拉橡皮条中点，将橡皮条中点拉至C点时，钩的拉力大小为F，为保持小环静止于B点，需给小环施加一作用力F′，下列说法中正确的是()A．若F′沿水平方向，则F′＝eq\f(\r(3),2)FB．若F′沿竖直方向，则F′＝eq\f(\r(3),3)FC．F′的最小值为eq\f(\r(3),6)FD．F′的最大值为eq\f(\r(3),3)F训练3、（2013年全国）如图，在固定斜面上的一物块受到一外力的作用，F平行于斜面上。若要物块在斜面上保持静止，F的取值应有一定范围，已知其最大值和最小值分别为F1和F2（F2＞0）.由此可求出（）A．物块的质量B．斜面的倾角C．物块与斜面间的最大静摩擦力C．物块对斜面的正压力考点五、动态平衡问题1.动态平衡：物体所受的力中有些是变力，是动态力，力的大小和方向均要发生变化，但变化过程中的每一个状态均可视为平衡状态，所以叫作动态平衡。2.分析动态平衡问题的常用方法(1)解析法①列平衡方程求出未知量与已知量的关系表达式；②根据已知量的变化情况来确定未知量的变化情况。(2)图解法①根据已知量的变化情况，画出平行四边形边、角的变化；②确定未知量大小、方向的变化。例1、(2020·天津市部分区二模)如图所示，重量为G的光滑足球，用由若干条轻质丝线组成的网兜兜住，通过悬绳悬挂于光滑墙的A点，悬绳与丝线结于B点，悬绳与墙面间的夹角为α，则下列说法正确的是()A．悬绳拉力的大小为GcosαB．墙壁对足球的支持力大小为GsinαC．将丝线和悬绳的结点由B点上移到C点，悬绳的拉力增大D．将丝线和悬绳的结点由B点上移到C点，墙壁对足球的支持力不变例2、（2016全国1）如图，一光滑的轻滑轮用细绳悬挂于点；另一细绳跨过滑轮，其一端悬挂物块，另一端系一位于水平粗糙桌面上的物块。外力向右上方拉，整个系统处于静止状态。若方向不变，大小在一定范围内变化，物块仍始终保持静止，则（）A．绳的张力也在一定范围内变化B．物块所受到的支持力也在一定范围内变化C．连接和的绳的张力也在一定范围内变化D．物块与桌面间的摩擦力也在一定范围内变化例3、(2020·四川宜宾一诊)(多选)如图所示，粗糙水平地面上放着一个截面为半圆的柱状物体A，A与竖直墙壁之间放一光滑半圆球B，整个装置处于平衡状态。已知A、B的质量分别为m和M，A、B两物体的半径均为R，B的圆心到水平地面的竖直距离为eq\r(2)R，重力加速度为g，下列说法正确的是()A．地面对A的支持力大小为(m＋M)gB．地面对A的摩擦力大小为eq\r(2)MgC．将A往左缓慢移动少许，竖直墙壁对B的弹力减小D．将A往左缓慢移动少许，A、B之间的弹力保持不变例4、（2019年全国1）如图，一粗糙斜面固定在地面上，斜面顶端装有一光滑定滑轮。一细绳跨过滑轮，其一端悬挂物块N。另一端与斜面上的物块M相连，系统处于静止状态。现用水平向左的拉力缓慢拉动N，直至悬挂N的细绳与竖直方向成45°。已知M始终保持静止，则在此过程中（）A．水平拉力的大小可能保持不变B．M所受细绳的拉力大小一定一直增加C．M所受斜面的摩擦力大小一定一直增加D．M所受斜面的摩擦力大小可能先减小后增加课堂随练训练1、(2016·全国卷Ⅱ)质量为m的物体用轻绳AB悬挂于天花板上。用水平向左的力F缓慢拉动绳的中点O，如图所示。用T表示绳OA段拉力的大小，在O点向左移动的过程中()A．F逐渐变大，T逐渐变大B．F逐渐变大，T逐渐变小C．F逐渐变小，T逐渐变大D．F逐渐变小，T逐渐变小训练2、(2022·江西八所重点中学联考)如图甲所示，推力F垂直斜面作用在斜面体上，斜面体静止在竖直墙面上，若将斜面体改成如图乙所示放置，用相同大小的推力F垂直斜面作用到斜面体上，则下列说法正确的是()A．墙面受到的压力一定变小B．斜面体受到的摩擦力一定变小C．斜面体受到的摩擦力可能变大D．斜面体可能沿墙面向上滑动训练3、(2020·江西赣州十五县(市)(上)期中)如图所示，小球放在光滑的墙与装有铰链的光滑薄板之间，薄板在F作用下逆时针缓慢转动，在墙与薄板之间的夹角θ缓慢地从90°逐渐减小的过程中()A．小球对薄板的压力可能小于小球的重力B．小球对薄板的压力一直增大C．小球对墙的压力先减小，后增大D．小球对墙的压力不可能大于小球的重力训练4、(2020·江苏百校大联考)如图所示，表面粗糙的斜面体C置于粗糙的水平地面上，斜面体C上有一物块A，通过跨过光滑定滑轮的细绳与小盒B连接，连接A的一段细绳与斜面平行，连接B的一段细绳竖直。现向小盒B内缓慢加入适量细沙，A、B、C始终处于静止状态。下列说法正确的是()A．斜面体C对物块A的摩擦力可能沿斜面向上B．斜面体C对物块A的摩擦力一定增大C．地面对斜面体C的支持力一定增大D．地面对斜面体C的摩擦力可能减小考点六相似三角形法例1、如图所示，AC是上端带定滑轮的固定竖直杆，质量不计的轻杆BC一端通过铰链固定在C点，另一端B悬挂一重为G的重物，且B端系有一根轻绳并绕过定滑轮A。现用力F拉绳，开始时∠BCA＞90°，使∠BCA缓慢减小，直到杆BC接近竖直杆AC。此过程中，杆BC所受的力()A．大小不变 B．逐渐增大C．逐渐减小 D．先增大后减小例2、(2017·天津高考)(多选)如图所示，轻质不可伸长的晾衣绳两端分别固定在竖直杆M、N上的a、b两点，悬挂衣服的衣架挂钩是光滑的，挂于绳上处于静止状态。如果只人为改变一个条件，当衣架静止时，下列说法正确的是()A．绳的右端上移到b′，绳子拉力不变B．将杆N向右移一些，绳子拉力变大C．绳的两端高度差越小，绳子拉力越小D．若换挂质量更大的衣服，则衣架悬挂点右移课堂随练训练1、如图所示，小圆环A吊着一个质量为m2的物块并套在另一个竖直放置的大圆环上，有一细绳一端拴在小圆环A上，另一端跨过固定在大圆环最高点B的一个小滑轮后吊着一个质量为m1的物块．如果小圆环A、滑轮、绳子的大小和质量以及相互之间的摩擦都可以忽略不计，绳子不可伸长，平衡时弦AB所对的圆心角为α，则两物块的质量之比m1∶m2应为()A．cos

eq\f(α,2) B．sin

eq\f(α,2)C．2sin

eq\f(α,2) D．2cos

eq\f(α,2)训练2、(2020·吉林省吉林市第一次调研)(多选)如图所示，质量为m的小球套在竖直固定的光滑圆环上，在圆环的最高点有一个光滑小孔，一根轻绳的下端系着小球，上端穿过小孔用力F拉住，开始时绳与竖直方向夹角为θ，小球处于静止状态，现缓慢拉动轻绳，使小球沿光滑圆环上升一小段距离，则下列关系正确的是()A．绳与竖直方向的夹角为θ时，F＝2mgcosθB．小球沿光滑圆环上升过程中，轻绳拉力逐渐增大C．小球沿光滑圆环上升过程中，小球所受支持力逐渐增大D．小球沿光滑圆环上升过程中，小球所受支持力大小不变同步练习1、如图所示，三个重均为100N的物块，叠放在水平桌面上，各接触面水平，水平拉力F＝20N，作用在物块2上，三条轻质绳结于O点，与物块3连接的绳水平，与天花板连接的绳与水平方向成45°角，竖直绳悬挂重为20N的小球P.整个装置处于静止状态．则()A．物块1和2之间的摩擦力大小为20NB．水平绳的拉力大小为20NC．桌面对物块3的支持力大小为320ND．物块3受4个力的作用2、(2019·全国卷Ⅲ)用卡车运输质量为m的匀质圆筒状工件，为使工件保持固定，将其置于两光滑斜面之间，如图所示。两斜面Ⅰ、Ⅱ固定在车上，倾角分别为30°和60°。重力加速度为g。当卡车沿平直公路匀速行驶时，圆筒对斜面Ⅰ、Ⅱ压力的大小分别为F1、F2，则()A．F1＝eq\f(\r(3),3)mg，F2＝eq\f(\r(3),2)mg B．F1＝eq\f(\r(3),2)mg，F2＝eq\f(\r(3),3)mgC．F1＝eq\f(1,2)mg，F2＝eq\f(\r(3),2)mg D．F1＝eq\f(\r(3),2)mg，F2＝eq\f(1,2)mg3、(2020·山东菏泽高三上学期期中)某压榨机的结构示意图如图所示，其中B为固定铰链，若在A铰链处作用一垂直于竖直壁的力F，则由于力F的作用，使滑块C压紧物体D。设C与D的接触面光滑，C与竖直壁的接触面也光滑，铰链的重力及滑块C的重力不计，图中a＝0.6m，b＝0.1m，则物体D所受压力的大小与力F的比值为()A．3∶1 B．4∶1C．5∶1 D．6∶14、(2019·天津高考)2018年10月23日，港珠澳跨海大桥正式开通。为保持以往船行习惯，在航道处建造了单面索(所有钢索均处在同一竖直面内)斜拉桥，其索塔与钢索如图所示。下列说法正确的是()A．增加钢索的数量可减小索塔受到的向下的压力B．为了减小钢索承受的拉力，可以适当降低索塔的高度C．索塔两侧钢索对称且拉力大小相同时，钢索对索塔的合力竖直向下D．为了使索塔受到钢索的合力竖直向下，索塔两侧的钢索必须对称分布5、把一个重为G的物体，用一个水平力F＝kt(k为恒量，t为时间)压在竖直且足够高的平整的墙上，如图所示，从t＝0开始物体所受的摩擦力Ff随时间t的变化关系可能正确的是()6、(2022·天津南开区期末)刀、斧、凿等切削工具的刃部叫作劈，用斧头劈木柴的示意图如图所示。劈的纵截面是一个等腰三角形，使用劈的时候，垂直劈背加一个力F，这个力产生两个作用效果，使劈的两个侧面推压木柴，把木柴劈开。设劈背的宽度为d，劈的侧面长为l，不计斧头的自身重力，则劈的侧面推压木柴的力约为()A．eq\f(d,l)FB．eq\f(l,d)FC．eq\f(l,2d)FD．eq\f(d,2l)F7、(2021·内蒙古呼和浩特市高三质量普查调研)如图甲，在挪威的两座山峰间夹着一块岩石，吸引了大量游客前往观赏。该景观可简化成如图乙所示的模型，右壁竖直，左壁稍微倾斜。设左壁与竖直方向的夹角为θ，由于长期的风化，θ将会减小。石头与山崖间的摩擦很小，可以忽略不计。若石头质量一定，且始终保持静止，下列说法正确的是()A．山崖左壁对石头的作用力将增大B．山崖右壁对石头的作用力不变C．山崖对石头的作用力减小D．石头受到的合力将增大8、如图所示，在高度不同的两水平台阶上放有质量分别为m1、m2的两物体，物体间用轻弹簧相连，弹簧与竖直方向的夹角为θ。在m1左端施加水平拉力F，使m1、m2均处于静止状态。已知m1表面光滑，重力加速度为g，则下列说法正确的是()A．弹簧可能处于原长状态B．弹簧弹力的大小为eq\f(m2g,cosθ)C．地面对m2的摩擦力大小为FD．地面对m2的支持力可能为零9、(2020·云南红河自治州二模)拖把是由拖杆和拖把头构成的擦地工具，如图甲所示。设拖把头的质量为m，拖杆质量可以忽略，拖把头与地板之间的动摩擦因数为常数μ。当某同学用与水平方向成θ角的力F1推拖把时，拖把对地面的摩擦力为f1，压力为N1，拖把做匀速直线运动，如图乙所示；另一同学用与竖直方向成θ角的力F2拉拖把时，拖把对地面的摩擦力为f2，压力为N2，拖把也做匀速直线运动，如图丙所示。0＜θ＜eq\f(π,2)，以下判断可能正确的是()A．F1＝F2 B．f1＜f2C．N1＜N2 D．F1＜f110、(多选)如图所示，质量均为m的小球A、B用劲度系数为k1的轻弹簧相连，B球用长为L的细绳悬于O点，A球固定在O点正下方，当小球B平衡时，绳子所受的拉力为T1，弹簧的弹力为F1；现把A、B间的弹簧换成原长相同但劲度系数为k2(k2>k1)的另一轻弹簧，在其他条件不变的情况下仍使系统平衡，此时绳子所受的拉力为T2，弹簧的弹力为F2，则下列关于T1与T2、F1与F2大小之间的关系，正确的是()A．T1>T2 B．T1＝T2C．F1<F2 D．F1＝F211、(2020·山东高考)如图所示，一轻质光滑定滑轮固定在倾斜木板上，质量分别为m和2m的物块A、B，通过不可伸长的轻绳跨过滑轮连接，A、B间的接触面和轻绳均与木板平行。A与B间、B与木板间的动摩擦因数均为μ，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。当木板与水平面的夹角为45°时，物块A、B刚好要滑动，则μ的值为()A．eq\f(1,3)B．eq\f(1,4)C．eq\f(1,5)D．eq\f(1,6)12、(2022·重庆市三峡联盟模拟)如图所示，一轻杆两端固定两个小球A、B，A球的质量是B球质量的3倍，轻绳跨过滑轮连接A和B，一切摩擦不计，平衡时OA和OB的长度之比为()A．1∶2 B．2∶1C．1∶3 D．1∶413、如图所示，两质量均为m的小球a、b固定在轻杆两端，用等长的细线悬挂在O点，整个系统静止时，细线和轻杆构成正三角形。用力F缓慢拉动小球b，保持两细线张紧，最终使连接a球的细线竖直。重力加速度大小为g。则连接a球的细线竖直时，力F的最小值是()A．eq\f(1,2)mg B．eq\f(\r(3),2)mgC．mg D．eq\r(3)mg14、如图所示，通过轻绳和滑轮从矿井中提升重物，光滑动滑轮下吊重物，轻绳a左端固定在井壁的M点，另一端固定在光滑的轻质滑环N上，轻绳b的下端系在滑环N上并竖直向上绕过光滑定滑轮，滑环N套在竖直杆上。在右侧地面上拉动轻绳b使重物缓慢上升的过程中，下列说法正确的是()A．绳a的拉力变大B．绳b的拉力变大C．杆对滑环的弹力变大D．绳b的拉力始终比绳a的小第三讲共点力平衡知识梳理一、受力分析1.受力分析的一般步骤2.整体法与隔离法整体法隔离法概念将加速度相同的几个物体作为一个整体来分析的方法将研究对象与周围物体分隔开来分析的方法选用原则研究系统外的物体对系统整体的作用力或求系统整体的加速度研究系统内物体之间的相互作用力整体法不用画系统之间的作用力3.受力分析的三个技巧(1)不要把研究对象所受的力与研究对象对其他物体的作用力混淆．(2)除了根据力的性质和特点进行判断，假设法是判断弹力、摩擦力有无及方向的常用方法．(3)善于转换研究对象，尤其是弹力、摩擦力的方向不易判定的情形，可以分析与其接触物体的受力，再应用牛顿第三定律判定．二、共点力平衡(1)平衡状态：物体静止或做匀速直线运动．(2)平衡条件：F合＝0或Fx＝0且Fy＝0.(3)常用推论①二力平衡：两力大小相等，方向相反，作用在同一物体同一直线上②若物体受n个作用力而处于平衡状态，则其中任意一个力与其余(n－1)个力的合力大小相等、方向相反．③若三个共点力的合力为零，则表示这三个力的有向线段首尾相接组成一个封闭三角形（三个力不在同一直线上）．2.处理共点力平衡问题的基本思路确定平衡状态(加速度为零)→巧选研究对象(整体法或隔离法)→受力分析→建立平衡方程→求解或作讨论．知识训练考点一、受力分析例1、如图所示，物体A靠在竖直墙面上，在力F作用下，A、B保持静止。物体B的受力个数为()A．2 B．4C．2或4 D．无法确定【答案】B【解析】A、B之间一定有弹力，否则A不会静止，以B为研究对象，B受到重力、推力F和A对B斜向下的弹力，分析可知，B一定还受A对它的静摩擦力，否则B不会静止，所以B受四个力作用，故B正确，A、C、D错误。例2、如图所示，有8个完全相同的长方体木板叠放在一起，每个木板的质量为100g，某人用手在这叠木板的两侧各加一水平压力F，使木板水平静止。若手与木板之间的动摩擦因数为μ1＝0.5，木板与木板之间的动摩擦因数为μ2＝0.2，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g取10m/s2。则水平压力F至少为()A．8N B．15NC．16N D．30N【答案】B【解析】先将所有的木板当成整体进行受力分析，该整体竖直方向受重力和静摩擦力，故有2μ1F≥8mg；再对除两外侧木板的剩余木板受力分析，竖直方向受重力和静摩擦力，有2μ2F≥6mg；联立解得F≥15N，故B正确，A、C、D错误。例3、(2022·湖南师范大学附属中学高三月考)如图所示，a、b两个小球穿在一根粗糙的固定杆上(球的小孔比杆的直径大)，并且通过一条细绳跨过定滑轮连接．已知b球质量为m，杆与水平面成θ角，不计滑轮的一切摩擦，重力加速度为g.当两球静止时，Oa段绳与杆的夹角也为θ，Ob段绳沿竖直方向，则下列说法正确的是()A．a一定受到4个力的作用B．b只可能受到2个力的作用C．绳子对a的拉力有可能等于mgD．a的质量一定为mtanθ【答案】C【解析】对a和b受力分析可知，a至少受重力、杆的支持力、绳的拉力3个力，可能还受摩擦力共4个力，b受重力、绳的拉力2个力或重力、绳的拉力、杆的支持力、摩擦力4个力的作用，选项A、B错误；对b受力分析可知，b受绳子拉力可能等于mg，因此绳子对a的拉力可能等于mg，选项C正确；对a受力分析，如果摩擦力为零Gasinθ＝mgcosθ可得Ga＝eq\f(mg,tanθ)；ma＝eq\f(m,tanθ)，选项D错误．课堂随练训练1、如图所示，水平面上的P、Q两物块的接触面水平，二者叠在一起在作用于Q上的水平恒定拉力F的作用下向右做匀速运动，某时刻撤去力F后，二者仍能不发生相对滑动．关于撤去F前后Q的受力个数的说法正确的是()A．撤去F前6个，撤去F后瞬间5个B．撤去F前5个，撤去F后瞬间5个C．撤去F前5个，撤去F后瞬间4个D．撤去F前4个，撤去F后瞬间4个【答案】B【解析】撤去F前，物块Q受到：重力、地面的支持力、P对Q的压力、地面对Q的摩擦力和力F共5个力的作用；撤去F后的瞬间，两物块做减速运动，此时Q受力：重力、地面的支持力、P对Q的压力、地面对Q的摩擦力和P对Q的摩擦力，共5个力作用，选项B正确．训练2、如图所示，质量为M的三角形斜劈Q置于水平地面上，质量为m的木块P放在Q的斜面上，现用大小分别为F1、F2(F1>F2)，方向相反的水平力分别推P和Q，它们均静止不动，g为重力加速度，则下列说法错误的是()A．P可能受到沿斜面向下的摩擦力B．Q可能受五个力作用C．Q可能受六个力作用D．Q对P的支持力一定小于mg【答案】D【解析】选取P为研究对象，将P的重力沿斜面方向分力Gx和F1沿斜面方向分力F1x进行比较。若F1x>Gx，则P受到沿斜面向下的摩擦力，A正确，不符合题意；Q受地面摩擦力和弹力、F2、重力、P作用的弹力，若F1x＝Gx，P、Q间无摩擦力，此时Q受五个力作用；若P、Q间有摩擦力，Q可能受六个力作用，则B、C正确，不符合题意；当P、Q间无摩擦力时，P受三个力作用，由平衡条件分析，Q对P的支持力一定大于mg，D错误，符合题意。训练3、(2021云南师大附中高三月考)如图所示,M、N两物体叠放在一起,在恒力F作用下,保持静止状态,则关于两物体受力情况的说法正确的是()A．物体N可能受到4个力B．物体M可能受到6个力C．物体M与墙之间一定没有弹力和摩擦力D．物体M与物体N之间可能无摩擦力【答案】C【解析】M、N两物体静止,所受合力为0,对M、N整体进行受力分析,受到重力和F,墙对M没有弹力,否则合力不能为0,所以也没有摩擦力,故C正确;对N进行受力分析,受到重力、M对N的支持力和M对N向上的静摩擦力,一共3个力,故A、D错误;再对M进行受力分析,受到重力、推力F、N对M的压力以及N给M沿斜面向下的静摩擦力,一共4个力,故B错误。考点二、共点力平衡求解共点力平衡问题的常用方法：1.合成法：一个力与其余所有力的合力等大反向，常用于非共线三力平衡．2.正交分解法：Fx合＝0，Fy合＝0，常用于多力平衡．例1、(2020·全国卷Ⅲ·17)如图，悬挂甲物体的细线拴牢在一不可伸长的轻质细绳上O点处；绳的一端固定在墙上，另一端通过光滑定滑轮与物体乙相连．甲、乙两物体质量相等．系统平衡时，O点两侧绳与竖直方向的夹角分别为α和β.若α＝70°，则β等于()A．45°B．55°C．60°D．70°【答案】B【解析】取O点为研究对象，O点在三力的作用下处于平衡状态，对其受力分析如图所示，FT1＝FT2，两力的合力与F等大反向，根据几何关系可得2β＋α＝180°，所以β＝55°，故选B.例2、(2017·全国卷Ⅲ)一根轻质弹性绳的两端分别固定在水平天花板上相距80cm的两点上，弹性绳的原长也为80cm。将一钩码挂在弹性绳的中点，平衡时弹性绳的总长度为100cm；再将弹性绳的两端缓慢移至天花板上的同一点，则弹性绳的总长度变为(弹性绳的伸长始终处于弹性限度内)()A．86cm B．92cmC．98cm D．104cm【答案】B【解析】轻质弹性绳的两端分别固定在相距80cm的两点上，钩码挂在弹性绳的中点，平衡时弹性绳的总长度为100cm，以钩码为研究对象，受力如图所示，由胡克定律F＝k(l－l0)＝0.2k，由共点力的平衡条件和几何知识得F＝eq\f(mg,2sinα)＝eq\f(5mg,6)；再将弹性绳的两端缓慢移至天花板上的同一点，设弹性绳的总长度变为l′，由胡克定律得F′＝k(l′－l0)，由共点力的平衡条件F′＝eq\f(mg,2)，联立上面各式解得l′＝92cm，选项B正确。例3、如图所示，两个质量均为m的小球通过两根轻弹簧A、B连接，在水平外力F作用下，系统处于静止状态，弹簧实际长度相等．弹簧A、B的劲度系数分别为kA、kB，且原长相等．弹簧A、B与竖直方向的夹角分别为θ与45°.设A、B中的拉力分别为FA、FB，小球直径相比弹簧长度可忽略，重力加速度为g，则()A．tanθ＝eq\f(1,2) B．kA＝kBC．FA＝eq\r(3)mg D．FB＝2mg【答案】A【解析】对下面的小球进行受力分析，如图甲所示．根据平衡条件得：F＝mgtan45°＝mg，FB＝eq\f(mg,cos45°)＝eq\r(2)mg；对两个小球整体受力分析，如图乙所示，根据平衡条件得：tanθ＝eq\f(F,2mg)，又F＝mg，解得tanθ＝eq\f(1,2)，FA＝＝eq\r(5)mg，由题图可知两弹簧的形变量相等，则有：x＝eq\f(FA,kA)＝eq\f(FB,kB)，解得：eq\f(kA,kB)＝eq\f(FA,FB)＝eq\f(\r(5),\r(2))，故A正确，B、C、D错误．例4、如图所示，质量为m的物体置于倾角为θ的固定斜面上，物体与斜面之间的动摩擦因数为μ，先用平行于斜面的推力F1作用于物体上使其能沿斜面匀速上滑，若改用水平推力F2作用于物体上，也能使物体沿斜面匀速上滑，则两次的推力之比eq\f(F1,F2)为()A．cosθ＋μsinθ B．cosθ－μsinθC．1＋μtanθ D．1－μtanθ【答案】B【解析】物体在力F1作用下和力F2作用下匀速运动时的受力如图所示．将物体受力沿斜面方向和垂直于斜面方向正交分解，由平衡条件可得：F1＝mgsinθ＋Ff1，FN1＝mgcosθ，Ff1＝μFN1；F2cosθ＝mgsinθ＋Ff2，FN2＝mgcosθ＋F2sinθ，Ff2＝μFN2，解得：F1＝mgsinθ＋μmgcosθ，F2＝eq\f(mgsinθ＋μmgcosθ,cosθ－μsinθ)，故eq\f(F1,F2)＝cosθ－μsinθ，B正确．课堂随练训练1、(2022·株洲统一检测)如图，这是汽车内常备的两种类型的千斤顶，甲是菱形，乙是y形。摇动手柄，使螺旋杆转动，A、B间距离发生改变，从而实现重物的升降。若物重均为G，螺旋杆保持水平，AB与BC之间的夹角都为θ，不计杆件自重，则甲、乙两千斤顶螺旋杆的拉力大小之比为()A．1∶1 B．1∶2C．2∶1 D．2∶3【答案】A【解析】根据题意，对y形千斤顶B点受力分析如图甲，由平衡条件得F＝eq\f(G,tanθ)，对菱形千斤顶C点受到的压力G分解为沿两臂的两个分力F1，根据对称性可知，两臂受到的压力大小相等，由2F1sinθ＝G,对菱形千斤顶B点受力分析如图乙，由平衡条件得F′＝2F1cosθ，联立解得F′＝eq\f(G,tanθ)，则甲、乙两千斤顶螺旋杆的拉力大小之比为1∶1。训练2、(2022·黑龙江鹤岗市第一中学高三月考)如图甲所示，A、B两小球通过两根轻绳连接并悬挂于O点，已知两轻绳OA和AB的长度之比为eq\r(3)∶1，A、B两小球质量分别为2m和m，现对A、B两小球分别施加水平向右的力F1和水平向左的力F2，两球恰好处于如图乙的位置静止，此时B球恰好在悬点O的正下方，轻绳OA与竖直方向成30°，则()A．F1＝F2 B．F1＝eq\r(3)F2C．F1＝2F2 D．F1＝3F2【答案】C【解析】由题意知两轻绳OA和AB的长度之比为eq\r(3)∶1，B球恰好在悬点O的正下方，由几何关系可知，OA与AB垂直；以B球为研究对象，受力示意图如图甲所示，由平衡条件得F2＝mgtan(90°－30°)＝eq\r(3)mg，以A、B两球整体为研究对象，受力示意图如图乙所示，由平衡条件得F1－F2＝3mgtan30°＝eq\r(3)mg，可得F1＝2eq\r(3)mg，即F1＝2F2，故C正确．训练3、(多选)如图所示，竖直杆固定在木块C上，两者总重为20N，放在水平地面上。轻细绳a连接小球A和竖直杆顶端，轻细绳b连接小球A和B，小球B重为10N。当用与水平方向成30°角的恒力F作用在小球B上时，A、B、C刚好保持相对静止且一起水平向左做匀速运动，绳a、b与竖直方向的夹角分别恒为30°和60°，则下列判断正确的是()A．力F的大小为10NB．地面对C的支持力大小为40NC．地面对C的摩擦力大小为10ND．A球重为10N【答案】AD【解析】以B为研究对象受力分析，水平方向受力平衡，有：Fcos30°＝Tbsin60°，解得：Tb＝F，竖直方向受力平衡，则有：Fsin30°＋Tbcos60°＝GB，解得：F＝GB＝10N；以A为研究对象受力分析，竖直方向：GA＋Tbcos60°＝Tacos30°，水平方向：Tasin30°＝Tbsin60°，联立得：GA＝GB＝10N，故A、D正确。以A、B、C和竖直杆整体为研究对象受力分析，水平方向：f＝Fcos30°＝5eq\r(3)N，竖直方向：N＋Fsin30°＝GA＋GB＋GC杆，解得：支持力N＝35N，故B、C错误。训练4、如图所示，墙上有两个钉子分别固定在点a和b，它们的连线与水平方向的夹角为45°，两者的高度差为l。一条不可伸长的轻质细绳一端固定于a点，另一端跨过b点的光滑钉子悬挂一质量为m1的重物。在绳上距a端的c点有一固定绳圈。若绳圈上悬挂质量为m2的钩码，平衡后绳的ac段正好水平，则重物和钩码的质量比为()A． B．2 C． D．【答案】C【解析】钩码的拉力F等于钩码受的重力m2g,将F沿ac和bc方向分解，两个分力分别为Fa、Fb，如图所示，其中Fb=m1g,由几何关系可得cosθ=，又由几何关系得cosθ=，联立解得,故C正确。考点三、绳、杆模型1.一根绳（活绳）上各个点的受力大小均相等；绳打结（死结）处每段绳的受力大小不一定相等。2.活杆（杆可绕支点转动）受到的合力一定沿杆方向；固定杆（不可绕支点转动）受到的合力方向可以是任意方向。例1、(2022·辽宁葫芦岛市模拟)如图所示，细绳一端固定在A点，跨过与A等高的光滑定滑轮B后在另一端悬挂一个沙桶Q.现有另一个沙桶P通过光滑轻质挂钩挂在AB之间，稳定后挂钩下降至C点，∠ACB＝120°，下列说法正确的是()A．若只增加Q桶内的沙子，再次平衡后C点位置不变B．若只增加P桶内的沙子，再次平衡后C点位置不变C．若在两桶内增加相同质量的沙子，再次平衡后C点位置不变D．若在两桶内增加相同质量的沙子，再次平衡后沙桶Q位置上升【答案】C【解析】对沙桶Q受力分析有FT＝GQ，设两绳的夹角为θ，对C点受力分析可知，C点受三＝GP，故只增大Q的重力，夹角θ变大，C点上升；只增大P的重力时，夹角θ变小，C点下降，故A、B错误；当θ＝120°时，GP＝GQ，故两沙桶增加相同的质量，P和Q的重力仍相等，C点的位置不变，故C正确，D错误．例2、如图，两个轻环a和b套在位于竖直面内的一段固定圆弧上；一细线穿过两轻环，其两端各系一质量为m的小球．在a和b之间的细线上悬挂一小物块．平衡时，a、b间的距离恰好等于圆弧的半径．不计所有摩擦．小物块的质量为()A．eq\f(m,2)B．eq\f(\r(3),2)mC．mD．2m【答案】C【解析】如图所示，圆弧的圆心为O，悬挂小物块的点为c，由于ab＝R，则△aOb为等边三角形，同一条细线上的拉力相等，FT＝mg，合力沿Oc方向，则Oc为角平分线，由几何关系知，∠acb＝120°，故线的拉力的合力与物块的重力大小相等，即每条细线上的拉力FT＝G＝mg，所以小物块质量为m，故C对．例3、如图甲所示，轻绳AD跨过固定在水平横梁BC右端的光滑定滑轮挂住一个质量为m1的物体，∠ACB＝30°；图乙所示的轻杆HG一端用铰链固定在竖直墙上，另一端G通过细绳EG拉住，EG与水平方向成30°角，轻杆的G点用细绳GF拉住一个质量为m2的物体，重力加速度为g，则下列说法正确的是()A．图甲中BC对滑轮的作用力为eq\f(m1g,2)B．图乙中HG杆受到绳的作用力为m2gC．细绳AC段的拉力FAC与细绳EG段的拉力FEG之比为1∶1D．细绳AC段的拉力FAC与细绳EG段的拉力FEG之比为m1∶2m2【答案】D【解析】题图甲中，是一根绳跨过光滑定滑轮，绳中的弹力大小相等，两段绳的拉力都是m1g，互成120°角，则合力的大小是m1g，方向与竖直方向成60°角斜向左下方，故BC对滑轮的作用力大小也是m1g，方向与竖直方向成60°角斜向右上方，A选项错误；题图乙中HG杆受到绳的作用力为eq\r(3)m2g，B选项错误；题图乙中FEGsin30°＝m2g，得FEG＝2m2g，则eq\f(FAC,FEG)＝eq\f(m1,2m2)，C选项错误，D选项正确．课堂随练训练1、如图所示，用两根承受的最大拉力相等、长度不等的细绳AO、BO(AO>BO)悬挂一个中空铁球，当在球内不断注入铁砂时，则()A．绳AO先被拉断B．绳BO先被拉断C．绳AO、BO同时被拉断D．条件不足，无法判断【答案】B【解析】依据力的作用效果将铁球对结点O的拉力分解如图所示．据图可知：FB>FA，又因为两绳承受的最大拉力相同，故当在球内不断注入铁砂时，BO绳先断，选项B正确．训练2、(多选)李强同学设计的一个小实验如图所示，他将细绳的一端系在手指上，细绳的另一端系在直杆的A端，杆的左端顶在掌心上，组成一个“三角支架”。在杆的A端悬挂不同的重物，并保持静止。通过实验会感受到()A．细绳是被拉伸的，杆是被压缩的B．杆对手掌施加的作用力的方向沿杆由C指向AC．细绳对手指施加的作用力的方向沿细绳由B指向AD．所挂重物质量越大，细绳和杆对手的作用力也越大【答案】ACD【解析】重物所受重力的作用效果有两个，一是拉紧细绳，二是使杆压紧手掌，所以重力可分解为沿细绳方向的力F1和垂直于掌心方向的力F2，如图所示，由三角函数得F1＝eq\f(G,cosθ)，F2＝Gtanθ，故A、C、D正确。考点四、受力分析中的临界问题1.问题特点(1)临界问题：当某物理量变化时，会引起其他物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态能够“恰好出现”或“恰好不出现”。在问题描述中常用“刚好”“刚能”“恰好”等语言叙述。(2)极值问题：一般是指在力的变化过程中出现最大值和最小值问题。2.两种方法(1)解析法：根据平衡条件列方程，用二次函数、讨论分析、三角函数以及几何法等求极值。(2)极限法：选取某个变化的物理量将问题推向极端(“极大”“极小”等)，从而把比较隐蔽的临界现象暴露出来。例1、如图所示,一工人手持砖夹提着一块砖匀速前进,手对砖夹竖直方向的拉力大小为F。已知砖夹的质量为m,重力加速度为g,砖夹与砖块之间的动摩擦因数为μ,最大静摩擦力等于滑动摩擦力。若砖块不滑动,则砖夹与砖块一侧间的压力的最小值是()A． B．C．D．【答案】C【解析】工人手持砖夹提着一块砖匀速前进,砖夹处于平衡状态,在竖直方向满足F=mg+2Ff,砖夹与砖块之间恰好达到最大静摩擦力,Ff=μFN,联立解得,砖夹与砖块一侧间的压力的最小值为FN=,C正确。例2、如图所示，用一根长为l的细绳一端固定在O点，另一端悬挂质量为m的小球A，为使细绳与竖直方向成30°角且绷紧，小球A处于静止状态，对小球施加的最小的力是()A．eq\r(3)mgB．eq\f(\r(3),2)mgC．eq\f(1,2)mgD．eq\f(\r(3),3)mg【答案】C【解析】将小球重力分解如图，其中一个分力等于施加的力的大小。当施加的力与OA垂直时最小，Fmin＝mgsin30°＝eq\f(1,2)mg，C正确。例3、(2022·常州一模)歼­20战斗机安装了我国自主研制的矢量发动机，能够在不改变飞机飞行方向的情况下，通过转动尾喷口方向改变推力的方向，使战斗机获得很多优异的飞行性能。已知在歼­20战斗机沿水平方向超音速匀速巡航时升阻比(垂直机身向上的升力和平行机身向后的阻力之比)为eq\r(15)。飞机的重力为G，使飞机实现节油巡航模式的最小推力是()A．GB．eq\f(G,\r(15))C．eq\f(G,16)D．eq\f(G,4)【答案】D【解析】飞机受到重力G、发动机推力F1、升力F2和空气阻力f，重力的方向竖直向下，升力F2的方向竖直向上，空气阻力f的方向与F2垂直，如图，歼­20战斗机沿水平方向超音速匀速巡航，则有水平方向Fx＝f，竖直方向F2＋Fy＝G，F2＝eq\r(15)f，解得Fy＝G－eq\r(15)f，则Feq\o\al(2,1)＝Feq\o\al(2,x)＋Feq\o\al(2,y)＝16f2－2eq\r(15)Gf＋G2，观察Feq\o\al(2,1)表达式知Feq\o\al(2,1)的图像为开口向上，对称轴为f＝eq\f(\r(15),16)G的抛物线，即当f＝eq\f(\r(15),16)G时Feq\o\al(2,1)取得最小值，将其代入Feq\o\al(2,1)表达式，解得F1min＝eq\f(G,4)。课堂随练训练1、已知两个共点力的合力为50N，分力F1的方向与合力F的方向成30°角，分力F2的大小为30N。则()A．F1的大小是唯一的 B．F2的方向是唯一的C．F2有两个可能的方向 D．F2可取任意方向【答案】C【解析】选C。由F1、F2和F的矢量三角形图可以看出，因F2＝30N＞F20＝25N且F2＜F，所以F1的大小有两个，即F1′和F1″，F2的方向有两个，即F2′的方向和F2″的方向，故A、B、D错误，C正确。训练2、(2020·湖南七校联考)如图所示，光滑圆环竖直固定，A为最高点，橡皮条上端固定在A点，下端连接一套在圆环上的轻质小环，小环位于B点，AB与竖直方向的夹角为30°，用光滑钩拉橡皮条中点，将橡皮条中点拉至C点时，钩的拉力大小为F，为保持小环静止于B点，需给小环施加一作用力F′，下列说法中正确的是()A．若F′沿水平方向，则F′＝eq\f(\r(3),2)FB．若F′沿竖直方向，则F′＝eq\f(\r(3),3)FC．F′的最小值为eq\f(\r(3),6)FD．F′的最大值为eq\f(\r(3),3)F【答案】C【解析】设橡皮条的拉力大小为T，由题意有2Tcos30°＝F，可知T＝eq\f(\r(3),3)F，若F′沿水平方向，小环只受橡皮条的拉力和F′，由平衡条件知：F′＝T＝eq\f(\r(3),3)F，A错误；若F′沿竖直方向，则有：F′＝Ttan30°＝eq\f(1,3)F，B错误；作出小环的受力图，如图所示，由几何知识知，当F′⊥N时，F′有最小值，且最小值为：Fmin′＝Tsin30°＝eq\f(\r(3),6)F，C正确；根据平行四边形定则可知F′无最大值，D错误。训练3、（2013年全国）如图，在固定斜面上的一物块受到一外力的作用，F平行于斜面上。若要物块在斜面上保持静止，F的取值应有一定范围，已知其最大值和最小值分别为F1和F2（F2＞0）.由此可求出（）A．物块的质量B．斜面的倾角C．物块与斜面间的最大静摩擦力C．物块对斜面的正压力【答案】C【解析】A、B、C、对滑块受力分析，受重力、拉力、支持力、静摩擦力，设滑块受到的最大静摩擦力为f，物体保持静止，受力平衡，合力为零；当静摩擦力平行斜面向下时，拉力最大，有：F1

-mgsinθ-f=0

当静摩擦力平行斜面向上时，拉力最小，有：F2

+f-mgsinθ=0

联立解得：

，故C正确；

，由于质量和坡角均未知，故A错误，B错误；D、物块对斜面的正压力为：N=mgcosθ，未知，故D错误；故选C．考点五、动态平衡问题1.动态平衡：物体所受的力中有些是变力，是动态力，力的大小和方向均要发生变化，但变化过程中的每一个状态均可视为平衡状态，所以叫作动态平衡。2.分析动态平衡问题的常用方法(1)解析法①列平衡方程求出未知量与已知量的关系表达式；②根据已知量的变化情况来确定未知量的变化情况。(2)图解法①根据已知量的变化情况，画出平行四边形边、角的变化；②确定未知量大小、方向的变化。例1、(2020·天津市部分区二模)如图所示，重量为G的光滑足球，用由若干条轻质丝线组成的网兜兜住，通过悬绳悬挂于光滑墙的A点，悬绳与丝线结于B点，悬绳与墙面间的夹角为α，则下列说法正确的是()A．悬绳拉力的大小为GcosαB．墙壁对足球的支持力大小为GsinαC．将丝线和悬绳的结点由B点上移到C点，悬绳的拉力增大D．将丝线和悬绳的结点由B点上移到C点，墙壁对足球的支持力不变【答案】C【解析】以足球和丝线组成的整体为研究对象，受重力、悬绳的拉力和墙面的支持力作用而平衡，受力分析如图所示，根据几何知识得，悬绳拉力的大小T＝eq\f(G,cosα)，墙壁支持力的大小FN＝Gtanα，A、B错误；将丝线和悬绳的结点由B点上移到C点，角α增大，cosα减小，悬绳的拉力增大，tanα增大，墙壁对足球的支持力增大，C正确，D错误。例2、（2016全国1）如图，一光滑的轻滑轮用细绳悬挂于点；另一细绳跨过滑轮，其一端悬挂物块，另一端系一位于水平粗糙桌面上的物块。外力向右上方拉，整个系统处于静止状态。若方向不变，大小在一定范围内变化，物块仍始终保持静止，则（）A．绳的张力也在一定范围内变化B．物块所受到的支持力也在一定范围内变化C．连接和的绳的张力也在一定范围内变化D．物块与桌面间的摩擦力也在一定范围内变化【答案】BD 【解析】由题意，在保持方向不变，大小发生变化的过程中，物体、均保持静止，各绳角度保持不变；选受力分析得，绳的拉力，所以物体受到绳的拉力保持不变。由滑轮性质，滑轮两侧绳的拉力相等，所以受到绳的拉力大小、方向均保持不变，C选项错误；、受到绳的拉力大小方向均不变，所以的张力不变，A选项错误；对进行受力分析，并将各力沿水平方向和竖直方向分解，如上图所示。由受力平衡得：，。和始终不变，当大小在一定范围内变化时；支持力在一定范围内变化，B选项正确；摩擦力也在一定范围内发生变化，D选项正确；故答案选BD。例3、(2020·四川宜宾一诊)(多选)如图所示，粗糙水平地面上放着一个截面为半圆的柱状物体A，A与竖直墙壁之间放一光滑半圆球B，整个装置处于平衡状态。已知A、B的质量分别为m和M，A、B两物体的半径均为R，B的圆心到水平地面的竖直距离为eq\r(2)R，重力加速度为g，下列说法正确的是()A．地面对A的支持力大小为(m＋M)gB．地面对A的摩擦力大小为eq\r(2)MgC．将A往左缓慢移动少许，竖直墙壁对B的弹力减小D．将A往左缓慢移动少许，A、B之间的弹力保持不变【答案】AC【解析】把A、B看成一个整体，对其运用整体法受力分析，该整体在竖直方向上受到竖直向下的重力(M＋m)g和地面竖直向上的支持力FN的作用，二力平衡，所以有：FN＝(M＋m)g，A正确；选取半圆球B为研究对象，运用隔离法，受力分析如图所示，根据力的分解和平衡条件可得：FN1＝eq\f(Mg,cosθ)，FN2＝Mgtanθ，半圆球B的圆心到水平地面的竖直距离为eq\r(2)R，所以θ＝45°，所以有：FN2＝Mg，把A、B看成一个整体，根据受力分析，地面对物体A的摩擦力大小等于FN2，为Mg，方向水平向左，B错误；将A往左缓慢移动少许，θ减小，竖直墙壁对B的弹力FN2＝Mgtanθ减小，A、B之间的弹力FN1＝eq\f(Mg,cosθ)减小，C正确，D错误。例4、（2019年全国1）如图，一粗糙斜面固定在地面上，斜面顶端装有一光滑定滑轮。一细绳跨过滑轮，其一端悬挂物块N。另一端与斜面上的物块M相连，系统处于静止状态。现用水平向左的拉力缓慢拉动N，直至悬挂N的细绳与竖直方向成45°。已知M始终保持静止，则在此过程中（）A．水平拉力的大小可能保持不变B．M所受细绳的拉力大小一定一直增加C．M所受斜面的摩擦力大小一定一直增加D．M所受斜面的摩擦力大小可能先减小后增加【答案】BD【解析】假设经过一定时间后N物体与竖直方向的夹角为θ，对N受力分析如左图所示：结合矢量三角形法，将物体所受的力放在一个封闭的力三角形中，当θ从0-45增大时，由几何关系得：故：A错B对；开始时，因为不确定静摩擦力的大小与方向，即开始时静摩擦力的大小可能沿斜面向上也可能沿斜面向下；所以对M受力分析可知，若起初M受到的摩擦力f沿斜面向下，则随着绳子拉力T的增加，则摩擦力f也逐渐增大；若起初M受到的摩擦力f沿斜面向上，则随着绳子拉力T的增加，摩擦力f可能先减小后增加。故本题选BD。课堂随练训练1、(2016·全国卷Ⅱ)质量为m的物体用轻绳AB悬挂于天花板上。用水平向左的力F缓慢拉动绳的中点O，如图所示。用T表示绳OA段拉力的大小，在O点向左移动的过程中()A．F逐渐变大，T逐渐变大B．F逐渐变大，T逐渐变小C．F逐渐变小，T逐渐变大D．F逐渐变小，T逐渐变小【答案】A【解析】以O点为研究对象，设绳OA与竖直方向的夹角为θ，物体的重力为G，根据力的平衡可知，F＝Gtanθ，T＝eq\f(G,cosθ)，随着O点向左移，θ变大，则F逐渐变大，T逐渐变大，A项正确。训练2、(2022·江西八所重点中学联考)如图甲所示，推力F垂直斜面作用在斜面体上，斜面体静止在竖直墙面上，若将斜面体改成如图乙所示放置，用相同大小的推力F垂直斜面作用到斜面体上，则下列说法正确的是()A．墙面受到的压力一定变小B．斜面体受到的摩擦力一定变小C．斜面体受到的摩擦力可能变大D．斜面体可能沿墙面向上滑动【答案】B【解析】受力分析如图所示甲图中，FN1＝Fcosθ，Ff1＝mg＋Fsinθ≤Ffm；乙图中，FN2＝Fcosθ，所以墙面受到的压力不变，A项错误；若Fsinθ＝mg，则Ff2＝0，若Fsinθ＞mg，则Ff2方向向下，Ff2＝Fsinθ－mg，若Fsinθ＜mg，则Ff2方向向上，Ff2＝mg－Fsinθ，所以斜面体受到的摩擦力一定变小，B项正确，C项错误；因为墙面受到的压力没有变，所以Ffm不变，甲图中，Ff1＝mg＋Fsinθ≤Ffm，推不动斜面体，乙图中，Ff2＝Fsinθ－mg，肯定比Ffm小，所以斜面体肯定不沿墙面向上滑动，D项错误．训练3、(2020·江西赣州十五县(市)(上)期中)如图所示，小球放在光滑的墙与装有铰链的光滑薄板之间，薄板在F作用下逆时针缓慢转动，在墙与薄板之间的夹角θ缓慢地从90°逐渐减小的过程中()A．小球对薄板的压力可能小于小球的重力B．小球对薄板的压力一直增大C．小球对墙的压力先减小，后增大D．小球对墙的压力不可能大于小球的重力【答案】B【解析】以小球为研究对象，在薄板缓慢转动的过程中，小球处于平衡状态，受力分析如图所示，当墙与薄板之间的夹角θ＝90°时，根据平衡条件有F1＝mg，F2＝0；在θ缓慢地从90°逐渐减小的过程中，小球平衡，有F1sinθ＝mg，F1cosθ＝F2，可得F1＝eq\f(mg,sinθ)，F2＝eq\f(mg,tanθ)，因为θ逐渐减小，所以sinθ、tanθ均减小，则F1、F2均增大，根据牛顿第三定律可知，小球对薄板和墙的压力一直增大，B正确，A、C错误；当θ＜45°时，F2＞mg，可知D错误。训练4、(2020·江苏百校大联考)如图所示，表面粗糙的斜面体C置于粗糙的水平地面上，斜面体C上有一物块A，通过跨过光滑定滑轮的细绳与小盒B连接，连接A的一段细绳与斜面平行，连接B的一段细绳竖直。现向小盒B内缓慢加入适量细沙，A、B、C始终处于静止状态。下列说法正确的是()A．斜面体C对物块A的摩擦力可能沿斜面向上B．斜面体C对物块A的摩擦力一定增大C．地面对斜面体C的支持力一定增大D．地面对斜面体C的摩擦力可能减小【答案】A【解析】以A为研究对象，其受力分析如图甲所示，若mBg＜mAgsinθ，则斜面体C对物块A的摩擦力方向沿斜面向上，A正确；若开始时斜面体C对物块A的摩擦力方向沿斜面向上，根据平衡条件有mBg＋f＝mAgsinθ，当B中缓慢加入细沙，即mBg增大时，f先逐渐减小，B错误；以A和斜面体C组成的整体为研究对象，其受力分析如图乙所示，根据平衡条件，竖直方向有(mA＋mC)g＝FN＋mBgsinθ，水平方向有mBgcosθ＝f地面，当B中缓慢加入细沙，即mB增大时，FN减小，f地面增大，C、D错误。考点六相似三角形法例1、如图所示，AC是上端带定滑轮的固定竖直杆，质量不计的轻杆BC一端通过铰链固定在C点，另一端B悬挂一重为G的重物，且B端系有一根轻绳并绕过定滑轮A。现用力F拉绳，开始时∠BCA＞90°，使∠BCA缓慢减小，直到杆BC接近竖直杆AC。此过程中，杆BC所受的力()A．大小不变 B．逐渐增大C．逐渐减小 D．先增大后减小【答案】A【解析】以B点为研究对象，分析受力情况：重物的拉力T(等于重物的重力G)、轻杆的支持力N和绳子的拉力F拉，作出受力分析图如图，由平衡条件得知，N和F拉的合力与T大小相等、方向相反，根据三角形相似可得eq\f(N,BC)＝eq\f(F拉,AB)＝eq\f(T,AC)，又T＝G，解得N＝eq\f(BC,AC)G，F拉＝eq\f(AB,AC)G，使∠BCA缓慢变小时，AC、BC保持不变，AB变小，则N保持不变，F拉逐渐变小，由牛顿第三定律得，作用在杆BC上的压力大小不变，故A正确，B、C、D错误。例2、(2017·天津高考)(多选)如图所示，轻质不可伸长的晾衣绳两端分别固定在竖直杆M、N上的a、b两点，悬挂衣服的衣架挂钩是光滑的，挂于绳上处于静止状态。如果只人为改变一个条件，当衣架静止时，下列说法正确的是()A．绳的右端上移到b′，绳子拉力不变B．将杆N向右移一些，绳子拉力变大C．绳的两端高度差越小，绳子拉力越小D．若换挂质量更大的衣服，则衣架悬挂点右移【答案】AB【解析】设绳长为l，两杆间距离为d，选O点为研究对象，因aOb为同一根绳，故aO、bO对O点的拉力大小相等，因此平衡时aO、bO与水平方向的夹角相等，设为θ。对于O点受力情况如图所示，根据平衡条件，得2Tsinθ＝mg，而sinθ＝eq\f(\r(l2－d2),l)，所以T＝eq\f(mg,2)·eq\f(l,\r(l2－d2))。由以上各式可知，当l、d不变时，θ不变，故换挂质量更大的衣服时，悬挂点不变，选项D错误。若衣服质量不变，改变b的位置或绳两端的高度差，绳子拉力不变，选项A正确，选项C错误。当N杆向右移一些时，d变大，则T变大，选项B正确。课堂随练训练1、如图所示，小圆环A吊着一个质量为m2的物块并套在另一个竖直放置的大圆环上，有一细绳一端拴在小圆环A上，另一端跨过固定在大圆环最高点B的一个小滑轮后吊着一个质量为m1的物块．如果小圆环A、滑轮、绳子的大小和质量以及相互之间的摩擦都可以忽略不计，绳子不可伸长，平衡时弦AB所对的圆心角为α，则两物块的质量之比m1∶m2应为()A．cos

eq\f(α,2) B．sin

eq\f(α,2)C．2sin

eq\f(α,2) D．2cos

eq\f(α,2)【答案】C【解析】对小圆环A受力分析，如图所示，FT2与FN的合力F与FT1大小相等，由矢量三角形与几何三角形相似，可知eq\f(FT2,R)＝eq\f(F,2Rsin\f(α,2))，其中FT2＝m2g，F＝FT1＝m1g，联立解得eq\f(m1,m2)＝2sineq\f(α,2)，C正确．训练2、(2020·吉林省吉林市第一次调研)(多选)如图所示，质量为m的小球套在竖直固定的光滑圆环上，在圆环的最高点有一个光滑小孔，一根轻绳的下端系着小球，上端穿过小孔用力F拉住，开始时绳与竖直方向夹角为θ，小球处于静止状态，现缓慢拉动轻绳，使小球沿光滑圆环上升一小段距离，则下列关系正确的是()A．绳与竖直方向的夹角为θ时，F＝2mgcosθB．小球沿光滑圆环上升过程中，轻绳拉力逐渐增大C．小球沿光滑圆环上升过程中，小球所受支持力逐渐增大D．小球沿光滑圆环上升过程中，小球所受支持力大小不变【答案】AD【解析】开始时小球处于静止状态，对小球进行受力分析，小球受重力mg、拉力F、支持力N三个力，作出受力分析图如图，根据平衡条件可知，小球所受重力mg和圆环对它的支持力N的合力与轻绳的拉力F大小相等、方向相反，由几何知识有eq\f(mg,R)＝eq\f(F,AB)＝eq\f(N,R)，则N＝mg，且当绳与竖直方向的夹角为θ时，F＝2mgcosθ，A正确；小球沿圆环缓慢上升，处于动态平衡状态，对小球进行受力分析，小球仍然只受重力mg、拉力F、支持力N三个力，由几何知识仍然有eq\f(mg,R)＝eq\f(F,AB)＝eq\f(N,R)，该过程半径R不变，AB减小，故F减小，N不变，D正确，B、C错误。同步练习1、如图所示，三个重均为100N的物块，叠放在水平桌面上，各接触面水平，水平拉力F＝20N，作用在物块2上，三条轻质绳结于O点，与物块3连接的绳水平，与天花板连接的绳与水平方向成45°角，竖直绳悬挂重为20N的小球P.整个装置处于静止状态．则()A．物块1和2之间的摩擦力大小为20NB．水平绳的拉力大小为20NC．桌面对物块3的支持力大小为320ND．物块3受4个力的作用【答案】B【解析】对物块1受力分析，受重力和支持力，假如受水平方向的摩擦力，则不能保持平衡，故物块1和物块2间的摩擦力为零，A错误；对O点受力分析，受到三根绳子的拉力，如图，根据平衡条件有，x方向：FT2cos45°＝FT1，y方向：FT2sin45°＝GP，解得FT1＝GP＝20N，所以水平绳中的拉力大小为20N，B正确；对物块1、2、3整体受力分析，受重力、支持力、向左的拉力、水平绳的拉力，竖直方向：FN＝3G＝300N，C错误；对物块1和物块2整体研究，受重力、支持力、向左的拉力F和向右的静摩擦力Ff23，根据平衡条件得：Ff23＝F＝20N